量子力学习题1.ppt

1、量子力学部分,习题课,2011年12月27日,波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动。,表示 t 时刻, 微观粒子在空间 点出现的相对概率密度。,微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。t 时刻，波函数在空间某点的绝对值的平方与该时刻在该点附近找到粒子的概率密度成正比。,2) 要求,单值,任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值,3)波函数的连续性,概率不能在某处发生突变,4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1,- 波函数归一化条件,1)空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值,一.量子力学基本原理之一波函数,（1）它并非推导所得，最初是假设，后来通

2、过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。,（3）它是一个复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。,（2）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,因为薛定谔方程是线性偏微分方程。,（4）它是非相对论形式的方程。,二.量子力学基本原理之二薛定谔方程,经典波动微分方程,定态薛定谔方程,自由粒子,粒子在恒定势场中运动的情形，粒子的概率密度只与空间坐标有关，与时间无关。,薛定谔方程的应用,a. 无限深方势阱,本征函数：,本征值：,5,波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数 n 相等（节点的个数为n-1),b. 线性谐振子,线性谐振子定态波函数

3、为,零点能(基态能量)为:,能量本征值和零点能,c. 方势垒的穿透 隧道效应,隧道效应是微观粒子波动性的体现 已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜 （STM ),d. 量子力学中的氢原子问题,1、能量量子化和主量子数,式中 n 称为主量子数. n=1,2,3,2、角动量量子化和角量子数,式中 l 称为角量子数或副量子数.,3、角动量空间量子化和磁量子数,电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：,式中 ml 称为磁量子数.,角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能。,施特恩盖拉赫实验1921,乌伦贝克和高斯密特假设 - 电

4、子自旋假设1925,电子本身的内禀属性,自旋磁量子数,4.电子自旋,电子自旋角动量在外磁场方向上的分量,自旋角动量大小,自旋量子数s=1/2,四个量子数 (1) 主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量 (2) 角量子数 l 确定电子的轨道角动量 (3) 磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量 (4) 自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量,s , p , d , f , g .,最大电子数 2 , 6 , 10, 14, .,2(2l+1),把原子中具有相同主量子数 n 的电子称为同一壳层电子.,最大电子数 2 , 8 , 18, 32, 50 . ( 2n2 )

5、,主量子数 n= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .,壳层 K , L , M , N , O .,在每一壳中具有相同量子数 l 的电子组成支壳层.,l =0, 1, 2, 3, 4, .,电子数表示如 n=2, l =1 态用 2p表示,n=2, l =0 态用 2s 表示,a.泡利不相容原理,b.能量最小原理,e.原子中的电子分布,在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。,原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级,可用 （ n+0.7 l ) 的值确定能级的高低。注意 K、Cu 的核外电子排布,第1题证明：在原子内，

6、（1）n，l相同的状态最多可容纳2(2l+1)个电子； （2）n相同的状态最多可容纳2n2个电子。,证明：,根据泡利不相容原理和决定原子中电子状态的四个量子数：n，l，ml，ms,（1）n，l，ml都相同时，ms可以有2个数值；,在n，l取值相同时，ml有2l1个取值，再考虑到ms的差别，一共有2(2l+1)个不同状态。,（2）当n相同时，l可取从0到n-1，共n个不同数值，则n相同的电子最大数目为,第2题.下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？,(A).n =2, l =2, ml =0, ms=1/2,(B). n =3, l =1, ml = 1, ms= 1/2,(C). n

7、 =1, l =2, ml =1, ms=1/2,(D). n=1, l =0, ml =1, ms= 1/2,（B）,第3题. 原子内电子的量子态由n,l,ml及ms四个量子数表征。,当n,l,ml一定时，不同的量子态数目为（ ）， 当n,l,一定时，不同的量子态数目为（ ）， 当n一定时，不同的量子态数目为（ ）.,2,4l+2,2n2,第4题.锂 (Z=3) 原子中含有三个电子，电子的量子态可用 （n, l , ml , ms ）四个量子数来描述，若已知其中一 个的量子态为 （1， 0， 0， 1/2 ），则其余两个电 子的量子态分别为,和,(1, 0, 0, -1/2),第一个电子在

8、s 支壳层，故第二个电子应填满 s 层，量子 数为（1， 0， 0， -1/2 ）。,第三个电子在 n=2 的 s 支壳层，即取 l =0 ，因此有 ml =0, ms=1/2. 故第三个电子的量子数为 （2， 0， 0， 1/2 ） 或 （2， 0， 0， -1/2 ）。,(2, 0, 0, 1/2)。,常用算符,(能量算符),动量算符,动能算符,哈密顿算符,三.量子力学基本原理之三力学量算符,角动量算符,其平均值,通过 的本征方程,和本征值n,可求得本征函数,在量子力学中，力学量用一个算符 表示，,1.当体系处在n态时，,力学量有确定值，即本征值n,2.当体系处在叠加态 时，,力学量一般没

9、有确定值，,表示粒子处在 的概率,无限深方势阱,量子力学的几个基本原理,1.量子体系的状态由波函数（概率幅）完全描述。,2.概率幅（波函数）服从薛定谔方程。,3.力学量用算符表示，,4.关于“力学量测量”的原理。,量子体系处于某力学量的本征态时， 测量该力学量具有确定值；,量子体系处于某力学量本征态的叠加态时， 测量该力学量所得的值有一个 确定的概率分布。,力学量所能取的值是其相应算符的本征值。,第5题.当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) U(r)+c,粒 子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值 改变否?,解：由薛定谔方程,当势能函数,将U(r)+c代入方程中,故波函数与时间无关

10、的部分不改变,能量本征值 改变.,第6题.在如图所示的无限深斜底势阱中有一粒子。试画出它处于n=5的激发态时的波函数曲线。,n=5, U,(a) (b),解：,本题可以通过薛定谔方程求出本征函数，但计算非常烦琐。定性的波函数曲线可以通过对束缚态本征函数的特点进行分析得出。,在U越大的区域，p越小，越长。,（2）由一维谐振子概率密度分布图可知，U越大的区域，波函数的振幅也越大。,（3）由无限深和半无限深方势阱中粒子的波函数分布图可知，除边界外，节点数为n-1。,波函数的特征可以用波长、振幅、节点数及节点位置来描述。,（4）由无限深和半无限深势阱，势垒穿透的波函数分布图可知，在势为处，=0；在势不

11、为的边界处，波函数可穿透边界。,对于（a）图类型的“梯形”势阱，势阱两端为节点，中间有3个节点，波长和振幅随U的升高而增大。,对于（b）图类型的“三角”势阱，势阱一端为节点，中间也有3个节点，但斜坡边界区不为0，呈现一定的贯穿，在斜势垒区贯穿几率随U的升高而下降，波长和振幅随U的升高而增大。,解:在一维无限深方势阱中能量本征值,相应的能量本征函数为,测量能量为,其概率为,其概率为,题中所给波函数为本征函数的线性组合,做变换如下,第8题.谐振子的基态波函数为 ，式中A，a为常量，将此式代入一维谐振子的薛定谔方程，试根据所得出的式子在x为任何值时均成立的条件导出谐振子的零点能为,解：,一维谐振子的波动方程为,已知,，则,将 代入波动方程，注意基态的能量E即零点能E0，方程整理后有,在x取任何值时上式均成立，因此要求,得,第9题. 设一维运动的粒子处在 (x) =A x e -x ( x 0 ) , (x) = 0