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1、电子科技大学应用数学学院,矩阵分析,向量范数 矩阵范数 矩阵分解,电子科技大学应用数学学院,向量范数,向量范数定义,正定性 齐次性 三角不等式,常用向量范数,1-范数 2-范数 -范数,电子科技大学应用数学学院,矩阵范数,常用矩阵范数,1-范数 2-范数 -范数,电子科技大学应用数学学院,例 求A的逆矩阵：,解,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,例 解矩阵方程 ：,解,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,实际问题数学问题提供计算方法 程序设计上机计算结果分析,第二章 科学计算方法,电子科技大学应用数学学院,基

2、本的数学问题,1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。,电子科技大学应用数学学院,求精确解(值)一般非常困难：,1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。 2. 特征值定义,电子科技大学应用数学学院,3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如,希望： 求近似解,但方法简单可行,行之有效(计算量小，误差小等).以计算机为工具,

3、易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算 数值方法。,电子科技大学应用数学学院,例:用Gauss-Seidel 迭代法求方程组,电子科技大学应用数学学院,设方程组Ax=b的系数矩阵A按行严格对角占优即：,或按列严格对角占优，即,定理1 若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则求解Ax=b的Jacobi方法与Gauss-Seidel方法对任意 初始向量都收敛.,定理2 若A为对称正定矩阵, 则Gauss-Seidel迭代收敛.,电子科技大学应用数学学院,排列、组合,一、加法规

4、则和乘法规则,1、加法规则,也可叙述为：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产生方式。,电子科技大学应用数学学院,2、乘法规则,也可表述为：若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产生方式。,电子科技大学应用数学学院,例1 求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。,电子科技大学应用数学学院,二、排列与组合,按照元素的排列方式，排列分：线排列、圆排列和重排列三类。,1、线排列,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,例2 将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行排列，要求字母A总是紧跟在字母R的右边，

5、问有多少种这样的排法？,解：A紧跟在字母R的右边，可以把这样的排列看作是8个元素的集合F，RA，G，M，E，N，T，S的全排列。所以个数为：P(8,8)=8!=40320。,电子科技大学应用数学学院,鸽笼原理与容斥原理,一、 鸽笼原理,鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理，也叫抽屉原理。即,定理 如果有n+1个物体放到n个盒子中，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。,例1 367人中至少有人的生日相同。,例2 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。,例3 把5个点放到边长为2的正方形中，至少存在两个点之间的距离小于等于,电子科技大学应用数学学院,DeMorgan定理,二

6、、 容 斥 原 理,电子科技大学应用数学学院,设A,B为两个有限集合，易知A与B的元素的个数为,定理1 设 为有限集合，则,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,例2 4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？,电子科技大学应用数学学院,例3 数510510能被多少个不同的奇数整除？,电子科技大学应用数学学院,例4 求从1到1000的整数中不能被5,6,和8中任何一个整除的整数个数.,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,例5 某餐厅有7种不同的菜，为了招待朋友，一个顾客需要买14个菜，问有多少种买法？,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,例7 四对夫妇前

7、来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，夫妇不相邻，问有多少种入座方式？,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,图 哥尼斯堡七桥问题,电子科技大学应用数学学院,定义2一个图是一个序偶，记为G，,其中： 1) Vv1,v2,v3,vn是一个有限的非空集合，vi(i1,2,3,n)称为结点,简称点,V为结点集； 2) Ee1, e2, e3, em是一个有限的集合，ei (i1,2,3,m)称为边，E为边集， E中的每个元素都有V中的结点对与之对应。,电子科技大学应用数学学院,1. 若边e与无序结点对(u,v)相

8、对应，则称边e为无向边,记为e=(u,v)，这时称u,v是边e的两个端点； 2. 若边e与有序结点对相对应，则称边e为有向边，记为e=，这时称u是边e的始点,v是边e的终点，统称为e的端点； 3. 每条边都是无向边的图称为无向图； 4. 每条边都是有向边的图称为有向图； 5. 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。,图的分类(按边的方向):,电子科技大学应用数学学院,例1 设图G如右图所 示。这里 Vv1, v2, v3, v4, v5， Ee1, e2, e3, e4, e5, e6， 其中,e1(v1, v2)，e2，e3(v1, v4)， e4(v2, v3)，e5，e6(v3

9、, v3)。,图中的e1、e3、e4是无向边，e2、e5是有向边。,电子科技大学应用数学学院,1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的；,几个概念:,2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 3) 图中关联同一个结点的边称为环； 4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 5) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 6) 仅含一个结点的零图称为平凡图.,电子科技大学应用数学学院,二、 图的矩阵表示,设图G=,V=v1,v2,vn,E=e1, e2, em, 则,G的关联矩阵为:,为 关联,的次

10、数,G的邻接矩阵为:,为联接,的边数,例2 设G如图所示,则,电子科技大学应用数学学院,在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边， 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边； 两结点vi, vj间相互平行的边的条数称为边(vi, vj)或 的重数； 含有平行边的图称为多重图； 非多重图称为线图； 无环的线图称为简单图。,图的分类(按边的重数):,电子科技大学应用数学学院,例4,G1、G2是多重图，G3是线图，G4是简单图。,电子科技大学应用数学学院,在无向图G中，与结点v(vV)关联的边的条数(有环时计算两次)，称

11、为该结点的度数，记为deg(v)； 在有向图G中，以结点v为始点引出的边的条数，称为该结点的出度,记为deg+(v)；以结点v为终点引入的边的条数，称为该结点的入度,记为deg-(v)；而结点的引出度数和引入度数之和称为该结点的度数，记为deg(v)，即deg(v)deg+(v)+deg-(v)； 对于图G ，度数为1的结点称为悬挂结点，它所关联的边称为悬挂边。 在图G中，称度数为奇数的结点为奇度数结点，度数为偶数的结点为偶度数结点。,2结点的度数,电子科技大学应用数学学院,数学期望和方差,4.1数学期望,随机变量的数字特征,一. 随机变量的数学期望,例1：一射击手进行射击考核，其命中的环数为

12、一随机变量。分布律为：,设甲共射了100发子弹，求甲命中的平均环数与偏离程度。,电子科技大学应用数学学院,甲命中的平均环数为：,定义：,设 X是离散型随机变量, 其分布律为,电子科技大学应用数学学院,设X是一连续型随机变量，密度为f(x)，取分点：,则随机变量X落在 中的概率为,当 很小时，有,这时，分布列为：,电子科技大学应用数学学院,数学期望为：,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,二. 随机变量的函数的数学期望,定理：,设 Y是随机变量X的函数Y=g(X), g(x)为连续函数,1) X是离散型随机变量，其分布律为,2) X是连续型随机变量，其概率密度为f (x),电子科

13、技大学应用数学学院,三. 随机变量的数学期望的性质,设X , Y 是随机变量，c是常数。,1）E( c ) = c,2）E( c X) = cE(X),4）若X,Y 相互独立，则,证：,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,2随机变量的方差,例1：一射击手进行射击考核，其命中的环数为一随机变量。分布律为：,设甲共射了100发子弹，求偏离程度。,电子科技大学应用数学学院,定义：,设 X是随机变量, 若E X E(X)2存在，称,D(X)= E X E(X)2 为X的方差。称 为X的标准差或均方差,注：1）D(X)是随机变量X的函数的数学期望。 当X为离散型时 当X为连续型时,2）D

14、(X)0,常用计算公式：D(X)E (X2)-E(X)2,电子科技大学应用数学学院,随机变量的方差的性质,设X , Y 是随机变量，c是常数,若X,Y 相互独立，则,1) D( c ) =0,2) D( c X) = c2 D(X),证：,电子科技大学应用数学学院,3协方差.相关系数,定义：,若EX-E(X)Y-E(Y)存在，称 cov( X,Y )=EX-E(X)Y-E(Y) 为随机变量X,Y的协方差。,一.协方差,协方差的性质：,cov( X,Y ) cov( Y,X ),cov( aX,bY ) ab cov( X,Y ),常用计算公式：,cov( X,Y )E(XY)-E(X)E(Y)

15、,电子科技大学应用数学学院,定义：,设n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差 Cij = cov( Xi,Xj ) 均存在。称矩阵,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。,电子科技大学应用数学学院,随机过程,例1 电子元件由于电子的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压，它在任意时刻t的值是一随机变量，记为V(t).,例2 在通信中，若传输过程用“0”和“1”通过编码来传递信息，由于信号在传输中存在干扰和误差，因此在某一时刻t接收到“0”还是“1” 是一随机变量，记为X(t).,设T是一无限实数集，把依赖于参数 的一族随机变量称为随机过程，记为X(t)， 。T称为参数集, X(t)称为时刻t时

16、过程的状态,对于 , X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.,一.随机过程的定义,电子科技大学应用数学学院,二.随机过程的分布及数字特征,设X(t)是一随机过程, 对于任一 , 随机变量X(t)的分布函数记为F(t;x), 即 称F(t;x)为随机过程X(t)的一维分布函数.,对于任意 , 是一个二维随机变量,其联合的分布函数为 , 即 称为随机过程X(t)的二维分布函数.,称m(t)为随机过程X(t)的均值函数; 称D(t)为随机过程X(t)的方差函数.,设,电子科技大学应用数学学院,(1) X(t)的状态空间是离散的, 有,(2) 当对任一t, X(t) 是连续型随机变量

17、时, 有,电子科技大学应用数学学院,设给定随机过程X(t), 对于任意 , 随机变量 , 的协方差 记为 称 为随机过程X(t)的协方差函数.,称为随机过程X(t)的相关函数.,(1) X(t)的状态空间是离散的, 有,(2) 当对任一t, X(t) 是连续型随机变量时, 有,电子科技大学应用数学学院,例4 设g(t)为以周期为L的矩形波如图所示,Y为服从两点分布的随机变量, 其分布如下:,t,定义随机过程X(t)如下: 对任意实数 t, X(t) =Yg(t). 则,电子科技大学应用数学学院,例5 设随机变量 , Y 相互独立, 均服从正态分布N(0,1), 定义随机过程如下: 求X(t)的

18、数字特征及一二维概率密度函数.,解:,电子科技大学应用数学学院,例6 设随机余弦波 其中, 为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。求X(t)的数字特征.,解：,的概率密度为,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,求向量组的秩和最大无关组的方法.,例3 求向量组 1=(1,2,0,3), 2 =(2,-1,3,1), 3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性.,解,A=(1T, 2T, 3T),所以,秩(1, 2, 3) = 2,1, 2 ,3 线性相关., 3,1, 2为一个最大无关组.,电子科技大学应用数学学院,例4 求向量组 1=(1,2,0,3)

19、, 2 =(2,-1,3,0), 3 =(4,-7,9,-3) 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出.,解,A=(1T, 2T, 3T),电子科技大学应用数学学院,例1 计算矩阵A的范数,解：,电子科技大学应用数学学院,例2 计算矩阵A的范数，行列式的值，秩,解：,电子科技大学应用数学学院,由于,因此，R(A)3,电子科技大学应用数学学院,例3 计算矩阵A的范数，行列式的值，秩,解：,电子科技大学应用数学学院,由于,因此，R(A)3,电子科技大学应用数学学院,例4估计矩阵A特征值的实部和虚部的范围,解：,又由 可得,由于,故,于是，,电子科技大学应用数学学院,例5估计矩阵A特征值

20、的实部和虚部的范围,解：,又由 可得,由于,故,于是，,电子科技大学应用数学学院,电子科技大学应用数学学院,解：,推论 1,电子科技大学应用数学学院,例6 用高斯消元过程求解方程组,解：方程组的增广矩阵为,电子科技大学应用数学学院,将第1行乘以3/2加到第2行得,将第1行乘以2加到第3行得,电子科技大学应用数学学院,将第2行乘以3加到第3行得,将第2行乘以2得,电子科技大学应用数学学院,解得,于是，方程组变为：,电子科技大学应用数学学院,例7 求解线性方程组,解：方程组的系数矩阵为,于是，方程组变为,因此，方程组的解为,电子科技大学应用数学学院,例8 设有2个梨子，3个苹果，4个桃子和5个桔子. 求从这些水果中取出10个的不同方案数.,解：令S为给定的四类水果中取出5个的组合构成的集合