微分中值定理.ppt

1、,一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 五、泰勒公式,第一节 微分中值定理,一、引理,引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .,二、罗尔定理,定理4.1 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,罗尔定理几何意义：,若曲线弧在a,b上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.,例如f(x)=|x|在1,1

2、上连续，且f(1)=f(1)=1,但是|x|在(1,1)内有不可导的点，本例不存在 使 .,又如f(x)=x在0,1上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .,再如 f(x) 在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在0,1上不连续，本例不存在,还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.,例如 在0,3上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ，使 .,三、拉格朗日中值定理,定理4.2 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)

3、内可导；,则至少存在一点,分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.,作辅助函数,即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,弦线的方程为,证 令,由于f(x)在a,b上连续，因此 在a,b上连续.,由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.,又由于,因此 在a,b上满

4、足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即,从而有 ，或表示为,上述结论对ba也成立.,如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即,因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,其中 为之间的点.也可以记为,或,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.,推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有,其中C

5、为某常数.,由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.,f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得,例1 选择题.选出符合题意的选项.,下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ).,不难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.,对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0， ，因此应排除B.,对于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.,综合之，本例应单选.,例2 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线(

6、 ).,A.仅有一条；,B.至少有一条；,C.不一定存在；,D.不存在.,又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.,例3 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =( ).,由拉格朗日定理可知，必定存在,由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而 因此有,可解得 ，因此本例应选D.,例4 试证,对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.,证 设f(x)=arctan x ,不妨设ab .,由于arctan x在a,b上连续，在(a,b)内可导.,可知必定存在

7、一点 ,使得 由于,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于 ，因此,从而有,例5 当x0时,试证不等式,分析,取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.,则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.,说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的.,即,进而知,四、柯西中值定理,定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足：,(1)在闭区间a,b上都连续，,(2)在开区间(a,b)内都可导，,(3)在开区间(a,b)内，,则至少存在一

8、点,在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.,五、泰勒公式,由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 处可导，则有,从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.),上述近似公式有两点不足：,1. 精度往往不能满足实际需要；,2. 用它作近似计算时无法估计误差.,因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望能用多项式,来近似表达函数f(x)，并使得当 时， 为比 高阶的无穷小,还希望能写出 的具体表达式，以便能估计误差.,设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使与f(x)尽可能相近，希望,可知,从而得到由f(x)构造的n次多项式,若用 在点 附近来逼近f(x)，有下列两个结论：,(1)余项rn(x)=f (x)Pn(x)是关于(xx0)n的高阶无穷小，即,(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以表示为,综上所述，可以描述为：,泰勒公式 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)