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1、第四章 部分相干理论,前面讨论的情况都假设光波是完全相干或完全不相干的，完全相干光对应绝对的单色光。由于热振动，原子在发射辐射时，原子的能级的寿命有限，原子间的碰撞和多普勒效应使得光源不可能是完全相干的。可用互相干函数表达相干性。,1. 时间相干性 空间某一个点，两个不同时刻光场间的相干性。,相干性包括两个方面：,2.空间相干性 同一时刻，空间两不同点上光场的相干性。,相干性的度量 将不同时刻、不同空间位置引入的光相干涉。若光场完全相关则形成的干涉条纹最清晰；若两个光线不能形成干涉条纹则称不相干。一般情况下都是部分相干，这时条纹有一定的对比度。,光场是由大量的具有一定随机性的辐射元产生的。光场

2、中任一点的振幅和相位都随时间作一定的随机变化，由此要引入统计理论来处理。,统计方法,4.1 多色光场的解析信号表示 4.1.1 单色信号的复表示 一个单色信号ur(t)（实信号）可表示成,A、v0和f表示常数振幅、频率、和初相位。该信号的复表示 (复信号）为,其实部等于原来的实信号ur(t)。这个复信号的复振幅为,它表示单色信号的振幅和相位。复数表示的虚部不是任意加上去的，这一点在频率域中可以看的更清楚 。实信号ur(t)可用复数表示为,对上式两边作付里叶变换得,（4.1.2）,(参羊国光),对（4.1.2）的表示的复信号作付里叶变换得,比较 和 表达式可见，在频域中两者的差别是，复信号完全去

3、掉了实信号的负频率成分，并将正频率成分加倍。因此，复信号与实信号间的关系可用一个一般式表示，即,4.1.2 多色信号的复表示 设实多色信号ur(t)具有傅里叶变换，其频谱为 。下面讨论如何用复信号u(t)表示实信号ur(t)。采用与讨论单色信号时一样的方法，我们同样定义多色复信号,称复函数u(t)为实函数ur(t)的解析信号。 由实函数的傅里叶变换性质证明,说明 的负频率分量和正频率分量载有相同的信息，因而可以只研究正频率分量。,对于实函数有,引进一个复值函数u(t)，使它满足,（4.1.8）,它的实部就是原来的实信号ur(t)，称u (t)为解析信号。,设解析信号u(t)的频谱为 ，由（4.

4、1.8）,从而实现了由ur(t)构造了一个解析信号u (t)。,将符号函数引入,（4.1.12）,对于零频分量，v=0处有一d函数，解析函数中应保留,因此,在构造解析函数时应去掉ur(t)的负频率分量，保留零频分量，加倍正频率分量。 上述解析信号表示法强调了物理意义。下面介绍的表示法方便进一步的数学运算。 将（4.1.12）两边作逆傅里叶变换,（4.1.14）,其中 表示在at处的柯西主值，即,上式表示的积分称为ur(t)的希尔伯特（Hilbet）变换。 由（4.1.14）和（4.1.15）可看出 解析信号u(t)的虚部ui(t)不是任意的，而是实信号ur(t)的希尔伯特变换，即,（4.1.1

5、5）,积分回路分析和留数定理,小结： 1.由实信号ur(t)构造解析信号的方法：对该实信号实行希尔伯特变换得出ui(t)，所求的解析信号为u(t)=ur(t)-iui(t).,3.希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲 响应为,而,脉冲响应对应的传递函数为,4.解析信号虚部ui(t)的频谱,2. 函数ur(t)的希尔伯特变换可看作是函数ur(t)和1/pt的卷积。即,希尔伯特变换举例,解 由（4.1.17）有,例1 d(t )函数的希尔伯特变换,例2 求cos2pv0t的希尔伯特变换,求逆变换得到,同样,解 cos2pv0t的频谱为,例3 设,，其中,所以,的频谱为,式中 为高

6、斯概率密度函数。,（4.1.24),求ur(t)的希尔伯特变换ui(t),解 对高斯函数,因为,比较（4.1.24) 的推导过程和（4.1.25) 可以得出,（4.1.25),在3s外总概率为0.0027， 所以v03s时有,两点光源发出的光如果有确定的相位关系则是相干的。热光源发出的光是由组成光源的不同独立辐射振子发生的。不同点的辐射是不相关的。由于激光光源的发射时，受激辐射使辐射场的原子彼此耦合，大大增加了相关性，但总有着不可避免的无规涨落。这种涨落也无法准确描述。使得不可能精确描述光场，而只能作为随机过程来讨论。一般情况下可以通过研究二阶矩研究光场的相关性。 4.2.1互相干函数,3.2

7、互相干函数,一个有限带宽的的扩展光源S，照明在不透明屏上的两个针孔P1和P2，观察远离屏的Q点光波。由P1和P2针孔光源在Q点产生的光振动用解析信号u(P1,t)和u(P2,t)表示,t1=r1/c, t2=r2/c, c为真空中的光速。K1和K2为传播因子，分别与r1和r2成反比，和针孔处光波的入射角和衍射角有关。,角括号代表时间平均,将,（4.2.1）代入（4.2.2）,t时刻Q点的光振动为,（4.2.1）,（4.2.2）,探测器在Q点测得的信号是光强的一个时间的平均值,上式取平均时可以移动时间原点,假定光场是平稳的，其统计性质不随时间改变，设tt2- t1=(r2-r1 )/c,称 为光

8、场的互相干函数, 其共轭为,P1与P2点重合时，上式为,称 和 为自相干函数。它是一个关于时间差的函数，,简写为,当t0时,显然， 、 分别为P1和P2点的光强。单孔P1和P2单独在Q点产生的光强为,Q点的光强为,引入一个归一化函数,称 为复相干度。,Q点的光强为,（4.2.13）,K1K21,由（4.2.13）,利用许瓦兹不等式，易于证明,上式称平稳光场的普遍干涉定律。,复相干度与条纹可见度关系 设平均频率为 的窄带光，互相干函数和复相干度可分别表示为,式中 为 的模，a12(t)为两光波在P1、P2点的相位差。,Q点的光强为,式中 为光波从针孔P1、P2到达Q点的相位差， 与光源性质无关。

9、 为平均波长。a12与光源性质有关。,(4.2.20),当 时，P1和P2点的光振动是部分相干的。,当 取最大值1时，Q点的光强与使用完全相干光产生的干涉情况相同。,当 取最小值0时，Q点的光强为两光束在该点的光强简单叠加。这时P1和P2点的光振动是不相干的。,干涉条纹的可见度为 Imax和Imin分别是Q点附近干涉条纹的极大值和极小值，由（4.2.20）,表明，只要测出两光束光在Q点产生的光强及 就能够得到复相干度 的模。,于是,当两束光波在Q点的振动强度相同，即I1(Q)=I2(Q)时,复相干度 的模就等于干涉条纹的可见度。,是光波从P1和P2点到达Q所引起的相位延迟，与光源,的辐角 的意

10、义：,无关。a12(t)是光源面上各点光振动引起P1、P2点振动的相位差。,的物理意义 反映Q点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时的程度。 就是相干光部分所占总光强的比例。,4.2.2 互相干函数的谱表示,式中,为了保证能够进行傅里叶变换，定义截尾函数uT(P1,t),uT(P1,t)是与urT(P1,t)相对应的解析信号,由公式,类似有,傅里叶变换的存在条件要求 ,互相干函数为,称为互谱密度。,于是互相干函数,式中,G（v）为辐射场的功率谱密度函数，也即光源的光谱密度分布,对于自相干函数,即为自相关定理（参1.5.14）,称F*(x,h)G(x,h)为函数f(x,y)和g

11、(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）,互相关定理,对于复相干度也有类似的关系,对自相干函数相应有,归一化互谱密度为,式中,归一化功率谱密度,时间相干性指光场中一个固定点，两个不同时刻的光扰动之间的相干性。,4.3时间相干性,初级光源S位于轴上的有限带宽的点光源，P1、P2点的振动相同，两点间的互相干函数变成自相干函数。,如果S是扩展光源，则空间相关性则是主要的。P1和P2点的扰动不同。干涉条纹取决于G12（t） 。,4.3.1时间相干性,实际光源产生的光场中P点的振幅和相位都在随机涨落。其涨落速度取决于光源的有效频谱宽度Dv ，只有当时间间隔t比1/Dv小得多时振幅才大体上保持不变。称,为相干

12、时间,称相干长度,tc大则光波有较高的时间相干性。,两点间距比lc大得多，则不能相干。,由迈克耳孙干涉仪的干涉条纹描述和定义时间相关性,S 点光源； B 分束器； M1、M2 可动反射镜； D 探测器；C 补偿板。,两臂光程差2h，相当于P的场与t+2h/c时刻P点场的叠加，即同一点不同时刻场的干涉。,将光源发出的光信号用解析信号表示。u(t)为由P点发出的解析信号。 在D处两束光的解析信号分别为K1u(t)和K2u(t+t).,K1、K2是由两支路透过率决定的实数。t2h/c为时间延迟。,探测器上的合成解析信号为,探测器上的光强信号为对时间的平均,光强信号是统计量的平均，它与时间原点无关,依

13、据各态历经假设，可用时间平均代替统计量的平均，解析信号u(t)的自相关函数G(t)（光扰动的自相干函数）为,（4.3.2),（4.3.3),（4.3.4),（4.3.4)和（4.3.3)代入（4.3.2),用I0=P(0),来归一化,显然,D点的光强,若两路光透过率相等，即K1K2K1,由于u(t)是解析信号，其自相关函数G(t)也是具有单边频谱的解析信号。复相干度g(t)也是解析信号，也具有单边频谱。复相干度与归一化功率谱密度关系为,对于窄带光复相干度,式中,为光波的中心频率,检测信号,干涉条纹的可见度,两支光路透射系数相等时,4.3.2 相干时间,可借用复相干度来定义相干时间。L.Mand

14、el给出公式,在这种定义下，tc与1/Dv有相同数 量级。对不同的谱分布， tc值不同,高斯线型,洛伦兹线型,矩形线型,4.3.3傅里叶变换光谱术,光波的功率谱与迈克耳孙干涉仪观察的干涉图的特征有对应关系。通过测量干涉图来确定未知的入射光的功率谱的原理就是傅里叶变换光谱术。,测量时，移动反射镜从零程差的位置移动到大程差范围内。将光强作为时间函数进行测量。将得到的数据进行傅里叶变换得到光源的光谱分布。,在迈克耳孙干涉仪中设K1=K2=K=1，,即,其中利用了功率谱实函数性质G(v)=G*(v)，t换成-t时干涉强度不变。,上式的逆傅里叶变换,优点： 1.探测器任何时候接收的都是光源的全波段所有波

15、长光的联合作用结果，充分利用了光源能量。 2.更高的分辨率。分辨率与动镜移动的距离有关。 3.测量范围宽。近红外到远红外甚至毫米波。,t2h/c,4.4 空间相干性,在杨氏干涉实验中，如果S是扩展光源，则空间相关性则是主要的。P1和P2点的扰动不同。干涉条纹取决于G12（t） 。,考察中心条纹附近区域 r2-r1=0, t=0, 这时g12(0) 是P1和P2两点在同一时刻的复相干度。在零程差位置形成干涉条纹能力反映了空间相干效应。,互相干函数,复相干度,G12(0) 称为空间互相干函数，g12(0)称为复（空间）相干度。描述同一时刻光场中两点的空间相干性，为复数。,Q点的光强,a12为两光波在P1、P2点的相位差，与光源性质有关。,4.5在准单色条件下的干涉,满足窄带和小程差条件,称准单色光。,满足该条件后，可认为在观察范围内，条纹的可见度是常数。,两个解析函数的互相关函数,当,，积分的主要贡献来自很窄的Dv范围内。由Dv,决定的相干长度tc1/Dv，由（r2-r1)/c