量子力学补充2-一维势阱.ppt

1、一维定态 问题,13-4 一维定态问题,求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能量值和波函数。,一、无限深势阱,质量为m的粒子在外场中作一维运动，,势能函数为：,定态薛定谔方程为：,当 x a 时，,求解定态薛定谔方程,令,代入薛定谔方程得：,此方程的通解为：,由于阱壁无限高，所以,由式（1）得 B = 0,波函数为：,由式（2）得,于是,即:,由此得到粒子的能量,称为本问题中能量E 的本征值.,势阱中的粒子其能量是量子化。,当 n = 1, 粒子具有最低能量,n叫作量子数,称为基态能级,与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：,式中常数可由归一化条件求得。,最后得到

2、薛定谔方程的解为：,得到,1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。电子(m=9.110-31千克)在宽为a=10的势阱中运动，有En=0.38n2eV, En=0.75neV, 量子化明显；若a=1cm,则En=0.7510-14eV ,量子化不明显。,讨论,2 能量为En的粒子在x-x+d x内被发现的概率,几率密度分布,例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。问,每次可能测到的值和相应概率？,能量的平均值？,解：已知无限深势阱中粒子的,则,多次测量能量(可能测到的值

3、),能量的平均值,概率各1/2,二、方势垒的穿透 隧道效应,在经典力学中,若 ,粒子的 动能为正,它只能在 I 区中运动。 即粒子运动到势垒左边缘就被 反射回去，不能穿过势垒。,在量子力学中, 无论粒子能量是大于还是 小于 都有一定的几率穿过势垒，也有 一定的几率被反射。,我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。,势垒的势场分布写为：,在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为：,定态薛定谔方程 的解又如何呢？,令：,定态解的含时部分：,三个区间的薛定谔方程化为：,若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 在III区只有透射波。粒子在

4、处的几率要大 于在处出现的几率。,其解为：,根据边界条件：,时、空异号 为右行波,求出解的形式画于图中。,定义粒子穿过势垒的贯穿系数：,隧道效应,当 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。, 隧道效应和扫描隧道显微镜STM,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。,只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖 之

5、间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。,Scanning tunneling microscopy,因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖 高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布；,使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上的排 列状态以及与表面电子行为有关 的性质。在表面科学、材料科学 和生命科学等领域中有着重大的 意义和广阔的应用前景。,利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系,利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)