不等式的综合运用

1、.不等式的综合应用1. 不等式理论的应用主要体现在以下几个方面：（1）运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）.（2）运用不等式研究方程解的问题.（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.例如解集之间的包含关系，函数的定义域、值域及最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等式的知识相关联.2、不等式的解法及证明的基本应用：求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题判断函数的单调性及求相应的单调区间；利用不等式讨论方程实根的个数、分布范围和解含参数的方程；将不等式同数学其他知识结合起来，解决一些有实际应用价值的综合题。3.不等式在实际中的应用是指用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.在解

2、题时要过“阅读理解”关，阅读关是指读懂题目，能够概括出问题涉及哪些内容；理解关是指准确理解和把握这些量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题的结论.4、解不等式应用问题的几个主要步骤： 审题，必要时画出示意图； 建模，简历不等式模型，即根据题意找出常量与变量间的不等关系，注意文字语言、符号语言、图形语言的转换； 求解，利用不等式的有关知识解题。5.运用基本不等式求最值，常见的有两类（已知x、y都为正数） （1）若x+y=s(和为定值)，则当 时，积xy取得最大值 ; （2）若xy=p（积为定值），则当 时，和x+y取得最小值 .基础自测1.已知a1a2a30，则使得（1-a

3、ix）20的图象在点1，f1处的切线方程为y=x-1,（1） 用a表示b，c；（2） 若fxlnx在1，+）上恒成立，求a的取值范围；（3） 证明：1+12+13+1nlnn+1+n2n+1n1.变式2 已知函数fx=12x2-ax+a-1lnx，a1 。（1） 讨论函数f（x）的单调性；精品.（2） 证明：若a-1。例3 设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0） f（1）0,求证:(1) 方程f(x)=0有实根; (2) (3)设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则 变式3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0

4、,且0x0. (1)证明: 是方程f(x)=0的一个根; (2)试比较 与c的大小; (3)证明:-2b 的解集.变式5 已知函数y=f(x)是定义域为r的偶函数，其图象均在x轴的上方，对任意的m、n0,+)，都有f(mn)=f(m)n，且f(2)=4，又当x0时，其导函数f(x)0恒成立. （1）求f(0),f(-1)的值； （2）解关于x的不等式： 其中k(-1,1).例6已知函数 a0,讨论f(x)的单调性.精品.题型四 不等式在解决实际问题中的应用例7 甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次购买粮食价格不同，两位采购员的购粮方式不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙

5、每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？变式7 设绝对值小于1的全体实数的集合为s，在s中定义一种运算*，使得 求证：若a,bs，则a*bs.题型五 不等式在解决数列问题中的应用例8 已知数列an，a1=b，b0，an+1=an-1ann*。 （1） 若a3，求b2的取值范围（2） 当b1时，求fb=ba3-5b的最大值，并求出对应b的取值。变式8 各项均为正数的数列an，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有精品.am+an1+am1+an=ap+aq1+ap1+aq（1） 当a=12，b=45时，求通项an；（2） 证明：对任意a，存在于a有关的常数，

6、使得对于每个正整数n，都有1an。题型六 不等式在解析集合中的应用例9 设椭圆中心在坐标原点，a（2，0）、b（0，1）是它的两个顶点，直线y=kxk0与ab相交于点d，与椭圆相交于e，f两点。（1） 若ed=6df，求k的值；（2） 求是变形aebf面积的最大值。练习：1.设a0，b0,若 是3a与3b的等比中项，则 的最小值为 .2.已知函数 则不等式f(x)1的解集为 .3设函数f(x)=|x-4|+|x-a|,则f(x)的最小值为3，则a= ,若f(x)5，则x的取值范围是 .4.若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两部分，则k的值是 .5.当x(1,2)时，不等式x2+mx+4 ,且当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围.11. 如图所示，公园内有一块边长为2a的等边abc形状的三角地，现修成草坪，图中de把草坪分成面积相等的两部分，d