北京高考导数大题分类

1、.导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤： 确定定义域（易错点）求导函数 f (x)对 f ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理. f ( x) 中 x 的最高次系数是否为0，为 0 时求出单调区间 .例 1： f ( x)a x 3 a 1 x 2x ，则 f ( x)(ax1)( x1) 要首先讨论 a 0 情况32f( )最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若 f(x)0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增；x若 f (x)0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 .例 2： f (x)a x2ln x，则 f ( x) = ax 21

2、, ( x0)，显然 a0时 f ( x)0 ，此时 f (x) 的2x单调区间为 (0,) .f( )最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现f(x)0 或者 f( x) 0 的情况x求出 f ( x) =0 的根，（一般为两个） x1 , x2 ，判断两个根是否都在定义域内. 如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段 .若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数. 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即 x1x2 , x1x2 , x1x2 .例 3: 若 f ( x)a x2(a1)xln x, (a 0)，则 f ( x)( ax1)( x 1)， (x0)解方程 f

3、 ( x)21x0 得 x11, x2aa 0时，只有 x1 1 在定义域内 .a0 时 , 比较两根要分三种情况：a1,0a1, a1用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论f ( x) 在每个子区间内的正负，求得f (x)的单调区间。.（ 1）求函数的单调区间1.已知函数 f ( x) ln( x1)xk x 2(k0)2（）当 k2 时，求曲线 yf ( x) 在点 (1,f (1) 处的切线方程 .（）求 f ( x) 得单调区间 .2.已知函数 f ( x) ax 24lnx ， a R .（）当 a1 时，求曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；2（）讨论

4、f ( x) 的单调性 .3.已知函数 f ( x) ( x a)sin xcosx, x(0,) .（）当 a时，求函数 f ( x)2（）当 a时，求函数f ( x)2值域；的单调区间 .4已知函数 f (x)ex 1，其中 a R .4xax24（）若 a0 ，求函数 f (x) 的极值；（）当 a1 时，试确定函数f ( x) 的单调区间 .（二）求函数在给定的区间的最值问题5已知函数 f ( x)ax 21 (a 0) ， g( x) x3bx .（）若曲线f (x) 与 g(x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公切线，求（）当 a 24b 时，求函数 f (x)g( x) 的单

5、调区间，并求其在6已知函数 f ( x)1ax2ln x ， aR 2（）求函数f ( x) 的单调区间；a,b 的值 .(, 1) 上的最大值 .（）若函数f ( x) 在区间1,e的最小值为 1，求 a 的值7. 已知函数 fxlnx ax 2bx（其中 a, b 为常数且 a 0 ）在 x1处取得极值 .( )（）当 a1 时，求函数f ( x) 的单调区间；（）若函数f ( x) 在区间 0,e上的最大值为 1，求 a 的值 .8已知函数f ( x)x1 ax2 ln(1 x) ，其中 a R .2（）若 x2 是 f ( x) 的极值点，求a 的值；（）求f ( x) 的单调区间；（

6、）若f ( x) 在 0,) 上的最大值是0 ，求 a 的取值范围 .9. 已知 f ( x)1 ax2 x ln(1 x) ，其中 a 0 2( ) 若函数f (x) 在点 (3, f (3) 处切线斜率为0 ，求 a 的值；( ) 求 f ( x) 的单调区间；( ) 若 f ( x) 在 0,上的最大值是0 ，求 a 的取值范围10. 设函数f (x)exax ， xR （）当 a2 时，求曲线f ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）在（）的条件下，求证：f ( x)0 ；（）当 a1 时，求函数f ( x) 在 0, a 上的最大值二、恒成立问题的几种问法：1对于xa

7、, b ， f ( x)k 恒成立，等价于函数f ( x) 在 a, b2对于xa, b ， f ( x)a 恒成立，等价于函数f ( x) 在 a, b上的最小值f (x)mink . 诉讼上的最大值f (x)maxk .3. 对于x , xa,b ， f ( x )g( x ) ，等价于f ( x)在区间 a,b 上的最小值f ( x)min，大于等于g( x)1212在区间 a,b上的最大值 g( x)max ，即 f ( x) ming( x) max .4. 对于x1 , x2a,b ， f (x1 )g (x2 ) ，等价于f (x) 在区间 a, b 上的最大值f (x) max

8、 ，小于等于 g( x)在区间 a,b上的最小值 g( x)min ，即 f (x) maxg( x) min .5. 对于xa, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最小值h( x) min0.6. 对于 xa, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x)f ( x)h( x) max0 .7.f (x) 在区间a, b 上单调递增，等价于f ( x) min0, xa, b8.f (x) 在区间a, b 上单调递减，等价于f (x) max0, xa,bg( x) ， h(x) 在区间

9、a, b 上的最大值.x1. 已知函数f ( x)( xk) 2 ek .（）求f ( x) 的单调区间 .（）若对于任意的x (0,) ，都有 f (x)1，求 k 的取值范围 .xe在点 (1,0)处的切线 .2. 设 l 为曲线 C: yln x（）求 l 的方程 .（）证明：除切点外，曲线C 在直线 l 下方 .3. 已知函数 f ( x)x cos xsin x ， x0,2（）求证：f (x)0（）若 asin xb 在 0,上恒成立，求 a 的最大值和 b 的最小值 .x25. 已知 a 0 ，函数 f ( x)ax2a ， g( x) a ln xx a .x21（）求函数f

10、(x) 的单调区间；（）求证：对于任意的x1, x2(0,e)，都有 f (x1)g (x2 ) .6. 已知函数 f ( x)e2 x1ax1 ， a R （）若曲线yf ( x) 在点 (0,f (0) 处的切线与直线x ey 1 0 垂直，求 a 的值；（）求函数f ( x) 的单调区间；（）设 a2e3 ，当 x 0, 1 时，都有 f ( x) 1 成立，求实数 a 的取值范围.7. 已知函数f ( x)( xa) ln x, a R（）当 a0 时求 f (x) 的极小值 .（） 若函数 f ( x) 在区间 (0,) 上为增函数，求a 得取值范围8. 已知 f ( x) xln

11、x, g( x)x2ax 3 .（ I ）求函数 f ( x) 在 t,t2( t0) 上的最小值；（ II ）对一切 x(0,),2 f ( x)g( x) 恒成立，求实数a 的取值范围 .9. 已知函数f ( x)x2axln x,aR.（ I ）若函数f (x) 在 (1, f (1) 处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；(II)在（ I）的条件下，求函数f ( x) 的单调区间；(III)若 x1时 , f ( x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 .10. 已知函数，其中 aR 当时，求f( x) 的单调区间； 当 a 0 时，证明：存在实数m 0 ，使得对于任意的实数x，都

12、有f( x) m成立三、存在性问题的几种问法：1.x0a, b , 使得2.x0a, b , 使得f (x)k 成立，等价函数f (x) 在 a, bf (x)k 成立，等价函数f (x) 在 a, b上的最大值f ( x) maxk .上的最小值f ( x) mink .3.x1 , x2a,b ，使得 f ( x1 )g( x2 ) 成立，等价于f ( x) 在区间 a,b 上的最大值 f ( x) max ，大于等于g(x) 在区间 a,b 上的最小值g( x)min ，即 f (x) maxg( x) min .4.x1 , x2a,b ，使得 f ( x1 )g( x2 ) ，等价于

13、f ( x) 在区间 a,b 上的最小值 f ( x) min ，小于等于 g( x)在区间 a,b 上的最大值 g( x) max ，即 f ( x)ming( x) max .5.x a, b ，使得 f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h( x) 在区间 a, b 上的最大值h( x) max0 .6.xa,b ，使得 f ( x)g( x) ，等价于构造函数h(x)f ( x)g( x) ， h( x) 在区间a,b 上的最小值h(x) min0 .7. f (x) 在区间 a, b8. f (x) 在区间 a, b上存在单调递增区间，等

14、价于f (x) 的最大值f (x)max0 .上存在单调递减区间，等价于f (x) 的最小值f (x)min0 .1. 已知曲线f ( x)axex ( a0) .（）求曲线在点（0, f (0) ）处的切线方程；（）若存在x0 使得 f ( x0 ) 0 ，求 a 的取值范围 .2. 已知函数 f ( x)a( x1) 2ln x (a R ) x（）若 a2 ，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程；（）求函数f ( x) 的单调区间；（）设函数g( x)a 若至少存在一个 x0 1,e ，使得 f ( x0 )g (x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围x3.

15、已知函数 f ( x)1a ln x ( a 0, a R )x（）若 a1 ，求函数 f (x) 的极值和单调区间；（） 若在区间 1,e 上至少存在一点x0 ，使得 f (x0 )0 成立，求实数 a 的取值范围 .4.已知函数 f ( x)xa e x （）当 a e2 时，求 f ( x) 在区间 1,3上的最小值；（）求证：存在实数x0 3,3 ，有f (x0 ) a .四、切线问题1. 已知函数f ( x)xa ln x, aR （）求函数f (x) 的单调区间；（）当 x1,2 时，都有f (x)0 成立，求 a 的取值范围；（）试问过点P(13)， 可作多少条直线与曲线yf ( x) 相切？并说明理由.2. 已知函数 f ( x) x3 x（I ）求曲线yf (x) 在点 M (t，f (t) 处的切线方程；（II ）设 a0 ，如果过点