结构力学 静定结构的位移计算1.ppt

1、静定结构的 位移计算,1位移的种类,一、概述, A ,（A结点的水平线位移，转角）,1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）,A,（A截面的转角）,A B,A B,（A、B两点的相对位移=A+B）,1) 荷载。由于材料的应变而产生位移 2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移 3) 支座移动。地基沉降 4) 材料的干缩、制造误差,2使结构产生位移的因素, A C,（结点C左右截面的相对转角=A+B）,A,B,1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的,3计算结构位移的目的,（框架结构的侧移要满足刚度要求）,3) 为分

2、析超静定结构作准备。,2) 为制作、架设结构等提供依据,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移,将各下弦杆做得 比实际长度短些，拼 装后下弦向上起拱。,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。,1）结构的变形或位移与其作用力成正比,4线弹性体系的特征,P1=1,K ,若单位力P1=1作用下产生的位移，则力P作用下在K处产生的位移为P,2）结构的变形或位移服从叠加原理,P1 P2 Pi Pn K ,=,K i 表示Pi=1时在K处产生的位移。,P1,荷载P1加在梁上，在荷载作用点产生位移11 则力P1作功,梁上再加荷载P2 ，此时P1处有位移12,11,W1=,1.实功、虚功

3、的概念,11 12,P1 P2,P1是恒力，继续作功W2=P112,A,A,B,22,P2作功W3=P222 /2,分析：作功过程,，存在两种情况：,力在其自身引起的位移上作功，称为实功；,在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，,虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。,P1,11,11 12,P1 P2,A,A,B,22,变形体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所作的虚功总和W外，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。,2变形体系的虚功原理的表述,用公式表示为： W

4、外=W变,虚位移可以是与力状态无关的任何原因引起的，甚至是假想的，但虚位移必须是微小的，且为约束条件和变形连续条件允许的。,结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立的状态。分别称为结构的位移状态和力状态,3位移计算的一般公式,1）位移状态的设定,dx,设：结构受荷载的作用，及支座移动，求A点的竖向位移。,W外=W变,外力所作的虚功总和W外，等于各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。,dx,M M+dM,N N+dN V V+dV,d,轴力作用下伸长d 剪力作用下的变形d 弯矩作用下的变形d （微元在内力作用下的变形）,d,d,（微元段dx的受力）,这样，体系在荷载及支

5、座移动的作用下，所有的虚位移为：,外部：支座移动C1、C2、C3，A点的竖向位移,内部：微段dx的变形d、d、d，,dx,2）虚力状态的建立,（在A点作用虚设的单位力）,A,W外=W变,外力所作的虚功总和W外，等于各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。,R3 R1 R2 支座反力,这样，体系在虚设力作用下，所有的虚力为：,（微段的受力）,3）公式的建立,微段dW变=,微段所在杆件所作虚功之和：,体系所有杆件所作虚功之和，即：,W变=,依虚功原理：,+,=,这就是求位移的一般公式。,若计算结果为正，表示单位荷载所作虚功为正，故所求位移的实际指向与所假设的单位荷载P的指向相同，为负

6、则相反。,P=1,A,W外=W变,4虚功原理的说明,1). 虚功原理适用于线弹性、非线弹性、弹塑性、塑性，静定结构、超静定结构， 2). 适用于由荷载、温度变化、支座移动、制造误差、材料收缩等情况。 3). 求位移时，需在拟求位移处作用与位移方向一致的单位力,a) 若求结构上C点的竖向位移，,2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。,若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取 1/d。作用于杆端且垂直于杆(d等于杆长)。,3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。,4) 若求梁或刚架上两个截面的

7、相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。,式中，k为截面形状系数。这样，位移公式的表达式可写为：,从公式中可见，计算位移时只须写出两套内力的表达式。 MP、NP、VP表示荷载作用下的内力。,d=,，d=,，d=,4). 依材料力学的结果，上述d、d、d可写为：,5）特殊情况,（2）静定体系仅发生支座移动时（结构无内力，从而无W变）：,（3）桁架结构,（4）梁和刚架结构（忽略轴向及剪切变形）,（1）体系无支座移动时：,（5）组合结构（忽略受弯杆件的轴向及剪切变形）,例1 试求等截面简支梁中点C的竖向位移Cy。已知EI常数。,q,l,C,解：,1）荷载作用下的弯矩表达式（坐标如图中所示

8、）,MP（x）=q(lx-x2)/2（规定下侧受拉为正），0xl/2,2）虚拟状态下的弯矩表达式（坐标同1中规定）,5应用例题,例2 求：1）C点的竖向位移 2）结点B的转角,解：,1）荷载作用下各杆的弯矩表达式（各杆坐标如图中所示）,BC杆：MP（X）=2X（规定上侧受拉为正），0X4,AB杆：MP（X）=8 （规定左侧受拉为正），0X4,X,X,B X X,*为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=1,2）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定）,则，,（正号表示位移方向与虚拟力方向一致，向下）,=,+,=,*为求结点B的转角，在结点B处作用单位力矩M=1,BC杆：M（X）=

9、0,AB杆：M（X）=1,（正号表示位移方向与虚拟力方向一致，顺时针）,X X,1图乘法解决的问题,2应用图乘法的条件,3图乘公式,x,MP图 A B,M 图,x,=,=,-（1）,y,MP,=,x,MP图 A B,M 图,x,y,dx,式（2）表示MP图的面积对Y轴的静矩。xC表示面积的形心到Y轴的距离,-（2）,=,=,=,式中，yC为MP图面积形心对应的,图的纵标。,就是图形相乘公式,-（3）,由（1）、（2）两式，,x,MP图 A B,M 图,x,y,dx,4应用公式（3）应注意的问题,2) yC必须取自沿的整个长度内是一直线变化的图形，是折线，要分段图乘。, XC h,h L/2 L

10、/2 =2Lh /3 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载）,2L/3 L/3 L =Lh /2 三角形,3) 由于图乘过程中需计算图形的面积及形心，要熟记以下四个基本图形。,h =2Lh /3 5L/8 3L/8 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）,h =Lh /3 L/4 3L/4 标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载）,4）梯形图形的处理,=,a,=,5）非标准二次抛物线的处理,b,b = a + a,例1:求梁B段转角。,梯形 标准二次抛物线,A,B,等截面简支梁，已知EI常数。 中点C的竖向位移Cy。A端的角位移A,q,l,C,A,例2：求图示梁C点的挠度。,解,.,2,例

11、3梁的位移计算,EI=常数，求CV及截面D的转角D,解：,1）作MP图（荷载作用下的弯矩图）,6,A B,图,P=1,C,A,B,1.5,=,（向下）,+,例2刚架的位移计算,12 kN 6 kN D C 4 m 2 kN/m A B 4m 3m,EI=常数，求DH,解：,图,图,4 12 /7,1）作MP图、,2）图乘过程,8 8 12/7 4 CD杆图乘,8 C 4 A AC杆图乘,+,4,例3组合结构的位移计算,D EA 2m 10 kN/m EI 3EI 6m B EI C,6m 6m,已知，A=,求B点的水平位移BH,图,-1 P=1 6 6,，,MP图,解：,-80,45,2）图乘

12、过程,=,图,-1 P=1 6 6,20 -80 480 160 MP图,D E 45 B C A,EI 3EI,CD杆图乘办法：,20 45 160,6,20 -80 480 160,D E B C A,-1 P=1 6 6,例4桁架结构的位移计算,A D 4 m B C 8 kN,64=24m,EA=常数，求：1）B点的竖向位移 2）CD杆的转角 3）AB、BC杆的相对转角ABC,2）计算B点的竖向位移时，在B点作用P=1，求出各杆的轴力,解：1）计算桁架在荷载作用下的各杆内力NP,3）计算CD杆的转角时，,D,C,作用力偶，如图，计算各杆的轴力,A D B C 8 kN,4）计算AB、B

13、C杆的相对转角ABC时，,A B C,P=,P=1/d,P=1/d,P=,在AB杆的杆端作用力偶矩1；在BC杆的杆端作用力偶矩1，,如图所示。求出,计算含弹簧约束的结构的位移时，与无弹簧约束的结构的位移计算方法相同，只是在位移计算公式右边增加虚拟状态的弹簧约束力在实际状态的弹簧约束位移上所作的虚变形功即可。,，得：,（向右）,解：,2）作MP图，,图,qL2/3,MP图,图,（向下）,qL/3,Hc,qL/2,q,注：,因而弯矩L要在该变形上作虚功 。,1）虚拟力P=1作用于结构C点时，B处有弯矩L；,荷载作用下，B处有变形（转角） ，,L 1 1,qL2/3,MP图,图,-qL/3,A,C,

14、Hc,qL/2,3）上述两虚功正负号规定如下 力方向与变形同向，取正号；反之，取负号。,2）同样，虚拟力P=1作用于结构C点时，C支座处有约束反力1；,因而，约束反力1要在该伸长上作虚功,荷载作用下，C支座处有伸长 ，,L 1 1,qL2/3,MP图,图,-qL/3,A,C,Hc,qL/2,P C D KN EA L KM EI=,例6具有无限刚性杆结构位移的求法,L L L,EA=,，,求：,已知，,，,无限刚性杆不产生变形，因而内力虚功为零，计算位移时不予以考虑,1）MP图，,图,PL/2 -P/2 PL/2 P/2,P,解：,L/2 -1/2 L/2 1/2,P= 1,MP图,图,2）,

15、=,（向下）,注：EI=杆件不产生变形，因而内力 虚功为零。或计算位移时不予以考虑。,例7弹簧支座与二力杆（链杆）的等效关系。,KN L EA 图1 图2,图2中的链杆可等效为图1弹簧支座。,由虎克定律，对链杆：若受拉（压）力N，则其伸长（缩短）,由刚度的定义，链杆的抗拉（压）刚度K=,图1中的弹簧也是抗拉（压）装置，故，取,K=,那么，图1、图2其余杆的受力及变形就完全一样。,2. 制造误差因素也不引起内力，但产生结构其它杆件（结构）的刚体位移。,体系变为机构（可变体系），A、B两点的位置自由，任何位置都没有结构内力。AB杆由于温度改变或制造误差因素造成的结果只是A、B两点距离的改变，即，A

16、、B两点位置的改变。不会引起内力。同理，其余杆由于温度改变和制造误差因素都将不产生内力。,1. 静定结构由于温度改变不引起内力，只产生杆件的变形；,例如，桁架结构中，,如果没有AB杆，,3温度改变引起的杆件变形计算,高度线性变化（平截面假设）。,则，该微元体的变形有两个方面：,1）轴向伸长,h/2 h/2 dx,2）微元体两端截面的相对转角d,式中，,d=,4,5由虚功原理，3中的位移状态在4中的虚力状态上作虚功， 满足： W外=W变,3）微元体两端截面的剪切位移d=0,即，,即，,=,1) 等号右第一项：若虚力使微元体轴向受拉（压），温度t0又使该微元体伸长（缩短），则该项取正号；其它情况取

17、负号。 2) 等号右第二项：若虚力使微元体下侧（上侧）受拉，温度 t2t1（t2t1） 则，该项取正号，其余情况取负号。,注：等号右各项正负号的确定方法,例1图示刚架施工时的温度为300，冬季外侧温度为-200 ，内侧温度为100，各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h ，材料的线膨胀系数为。杆长都是L，求刚架在冬季温度时B点的水平位移。,6计算例题,-500 -500 -200,1）外侧温度变化 t1=-200-300=-500 ， 内侧温度变化 t2=100-300= -200,，,2）t0=,解：,3）建立虚拟力状态如图。,A B,L L,4）,=,=,，,运用虚功原理，注意以下两方面

18、,解：,1）变形状态 下弦各杆各缩短2cm，其余杆无变形,2）虚设力状态,在C结点作用单位力,+1/2 +1/2 +3/2 +3/2 +1/2 +1/2,3）让虚力状态在变形状态上作虚功，满足：W外=W内 ，得：,（实际向上）,求出各杆轴力（关键是下弦各杆的轴力）,即，刚体的虚功原理,3计算例题,支座移动不引起结构内力（因而所有杆件不变形），只产生 结构位移,2.运用变形体的虚功原理时，内虚功为零，因而计算公式为：,解：1）虚设力系，只需求支座反力,2）,例2AB杆温度升高t0，BC杆由于制造误差缩短。试求ABC的相对转角,B t0 t0 L A C,L L,解：,1）先计算温度改变时产生的角

19、度变化,由于AB杆两侧温度相同，只产生轴向伸长，故，作如图的虚拟力,2）再计算制造误差产生的角度变化,3）叠加上述转角，得两种情况共同作用下的角度变化,BC杆缩短,作同样的虚拟力系，,1虚功互等定理,I I表示PI作用下在I处产生的位移；J I表示PI作用下在J处产生的位移,I J表示PJ作用下在I处产生的位移；J J表示PJ作用下在J处产生的位移,七、线弹性体系的互等定理,1）把第I状态看作力系统，把第J状态看作位移变形系统， 依变形体的虚功原理，,（a）,2）把第J状态看作力系统，把第I状态看作位移变形系统， 依变形体的虚功原理，,（b）,比较（a），（b）两式，得：,PI在由于PJ产生的位移上所作的虚功等于PJ