第一章_基本概念_2010_2.ppt

1、群 论,Theory of Group （Group Theory）,戴振文 理科2号楼338室85167966（办） ,1,群论： 近二百年历史 代数学的一个分支，数学中的重要研究内容,背景介绍,物理学、化学中不可缺少的重要数学工具 研究对称性问题的数学基础 可直接得到与对称性质有关的结论 简化计算,2,定态Schrdinger方程,假设H是某晶体的哈密顿算符，Oa是晶体对称操作a对应的算符，有,是与Oa对应的变换矩阵。,a集合构成群G，D(a)集合称为群G的表示。 可以看出：能级简并度=表示矩阵的维数,3,群论创立者N. H. Abel（阿贝尔，1802-1829

2、，生于奥地利，移居挪威） 群论和近代数学创始人E. Galois（伽罗华，1811-1832，法国人）。,量子力学诞生后，要求对对称性进行深入研究，美籍匈牙利物理学家E. P. Wigner（19021995）将群论引入量子力学，从而使群论得到迅速发展。（1927年提出宇称的概念）,学习群论，最重要的基础知识是 线性代数和量子力学,4,参考书目 徐婉棠，喀兴林，群论及其在固体物理中的应用，高等教育出版社，1999. 丁培柱，王毅，群及其表示，高等教育出版社，1990. 马中骐，物理学中的群论(第二版)，科学社，2006. J. P. Elloitt, Symmetry in Physics,

3、Vol., London: Macmillan, 1979. 张瑞明，钟志成，应用群论导引，华中科技大学出版社，2001。 韩其智，孙洪洲，群论，北京大学出版社，1987。 王萼芳，有限群论基础，清华大学出版社，2002。,5,第一章 群的基本概念,一、群的定义,封闭性:,结合律：,有一个非空集合 ，其中各元素之间存在一种运算(称为乘法( )，指元素之间的一种连续操作)，若满足以下条件：,6,存在单位元：存在一个单位元素eG ，对于任 一元素a G ，有 a e=e a=a .,称此特殊集合G为群。群中的元素简称群元。,存在逆元素：对任一元素a G ，存在逆元素 a1 G，且有 a1 a =

4、a a1 = e .,7,群的例子,所有整数的集合（运算：数的加法） 构成群。 单位元：0, n + (n) = 0, n 是逆元。,所有整数的集合（运算：数的乘法）,不构成群。无逆元。,所有实数的集合（数的乘法）,不构成群。元素0无逆元。,推论：不含零的实数在数的乘法运算下构成群。,8,推论：非奇异方阵的集合在矩阵乘法下构成群。, 在乘法下构成群。单位元是1；逆元是自身。,在乘法下构成群。加法下不构成群。,在乘法下构成群。单位元是1；逆元是？, n 一定时，nn 阶矩阵 A 的集合（矩阵乘法） 不构成群。因为只有 det A 0 的矩阵有逆矩阵。,9, 石，剪，布，无 是否构成群？,假设：设

5、单位元为无；逆元为元素本身；,10,二、有限群和无限群,群阶(order of group)：一个群中的元素数目,有限群：群阶是有限数，记为g，即群阶为g,无限群：群阶是无限的（无穷大）,11,例如：正三角形，绕中心轴旋转120，其空间位置不变，该操作就是正三角形的一个对称操作。,三、对称操作群,3.1 对称操作,使物质体系所占空间位置不变的空间变换，称为该体系的对称操作。,3.3 对称操作群,某一物质体系（几何实体）的所有对称操作构成的集合，称为该体系的对称操作群。 对称操作的乘法定义为相继操作。,3.2 对称元素,施行某一对称操作所凭借的点、线、面等几何元素称为对称要素，或对称元素。,12

6、,以正三角形为例： 对称元素：对称轴 一个3重轴（3次轴）： z轴 三个2重轴： 定义：轴次n 360/基转角,正三角形所有对称操作的集合 构成群，称为D3群。 c表示旋转,13,群元运算,注意：对称元素不随对称操作而运动。,14, 纸面外的点 纸面内的点,D3 群,15,群的第5个特征：交换律,群的乘法表,记录群中元素乘积的表称为群的乘法表，简称群乘表或群表。,对于某些群，任两个群元a和b之间满足ab=ba （交换律），称为Abel群（阿贝尔群）或交换群（exchange group）。它是最简单的群。,若e处为a，则a=e，不成立。,二阶群表仅有一种形式！,16,四阶群表有二种形式！,三阶

7、群的群表,四阶群的群表,三阶群表仅有一种形式！,17,D3 群的乘法表,18,四、群的重排定理 (Rearrangement theorem),在群的乘法表的任一行和任一列中，群的任一元素都要出现，且只出现一次。,若出现重复元素，即 可证 .,证明：(反证法) 若 ， 则 得 此情况不会出现，所以不会出现重复元素。,19,运用群的重排定理，重新查考前面的群表。,20,五、子群 (Subgroup),群G有子集H，若H按群G的乘法运算也满足群的定义，则H为G的子群。,例1. 整数加法群为群G，则所有偶数在加法下构成G的子群。,例2. D3 群中， 为D3 群的子群； 也为D3 群的子群。,21,

8、六、真子群,对任意一个群，群元e和群本身均是其子群，除此两子群外的其他子群，称为真子群。而e和群本身则称为平庸子群(显然子群)。任何一个群都有两个平庸子群。,6.1 Lagrange定理(子群阶定理),若群G1 (群阶为 g1)为有限群G (群阶为g) 的子群，则 g1 必为 g 的因子，即 g g1 = 整数。（有限群的子群的阶是群的阶的因子） 其证明需引入陪集概念,22,6.2 陪 集,定义：若 G1是 G 的一个子群，G 中任取一元素 a，则有 称该集合为 G1 的一个左陪集 (由 a 生成的 G1的左陪集) 。还有右陪集,分析：如果 ，则 。,如果 ，则 必不是子群。 证： 与 矛盾

9、陪集中无单位元。,23,性质：每一个真陪集和子群无公共元素。,真陪集：所选元素 但 (符号： )， 不是子群 G1本身的陪集。,24, 陪集和子群包含相同数目的元素。, 若两陪集(同左或同右)有公共元素，则二者全同。（两陪集或全同，或无一元素相同。）,证：假设 中有两个元素相同： ， 则有 即 与 为同一元素。 所以，陪集应与G1拥有相同数目的元素。,证：假设 与 中有公共元素，即 则 ， 即,25,举例 D3群：子群C3，3个左陪集 此例验证了三个性质, 对于一般的群 Abel群 非Abel群也可能有 （例如D3群子群C3）,26,1. 由e生成G1的左陪集 任取 ，生成左陪集 有 。若 ，

10、 再任取 ，生成 如此重复进行。因 G 是有限群，经有限次， 设进行至 时，有,Lagrange 定理的证明：,2. 由性质(3)，左陪集 中任意两个无公共元素,3. 由性质(2)，左陪集 的元素 个数 =,综上三步，显然有： 群 G 的阶数 g = 子群 G1 的阶数 g1 左陪集的个数n 即 g g1 = 整数 证毕。,27,6.3 陪集分解,举例 D3群：子群C3 ， D3群按陪集分解为 或者 等,陪集分解还可写作,把群 G 按子群 G1 及其陪集 ajG1 瓜分(aj (GG1) )，则有 这称作群按子群的陪集分解。,28,6.4 正规子群,6.5 子群的指数,定义： 子群的指数 n

11、= 群阶g /子群群阶 g1 子群的指数等于子群的不同陪集的个数,29,若 G1 是 G 的子群，且对 ，有 ，即左陪集与右陪集相同，则该子群称为正规子群或不变子群。 注意：可理解为 但未必有, 群阶为质数的群无真子群 若 g = 质数，除平庸子群外，无真子群 真子群可使 G 做陪集分解； 质数群阶的群无法做陪集分解,举例 D3群： g = 6 子群： ； n = 2 n = 3 陪集分解： （另一种见28页）,30, 指数为 2 的子群必为正规子群,但是，G 只有一个真陪集 证毕。,例： 群是 的正规子群，而 不是。,证明： ，则 ，有,取 左陪集 ，右陪集 ，均是真陪集,31,七、循环群和

12、生成元 (Cyclic group and generating element),7.1 循环群 对aG，我们记 这些元素均G ，并且 即，常规的幂指数运算规则对群元素成立。,32,若任何有限的 n 无法使 ，则群G为无限循环群。,如果循环群G 为有限群，即有限循环群，必有某正整数 n ，有 ； ； ； 即，群G 仅含n个不同元素： a的幂次超过之后就出现循环，循环群因此得名。,33,如果G 的全部元素皆可表示为某一元素a的乘幂， 即 则称G 为循环群。循环群是Abel群。,如：C3群中，c3 ，c32 都是生成元。,7.2 生成元, 生成元不一定唯一 若 n 是奇数，有 为偶次幂，则 是

13、的生成元 是 G 的元素，也就是 G 的生成元,34,循环群中所有元素由a的乘幂（连乘）生成，则a称为循环群的生成元。有an = e，n为生成元的级。（n级， 级） C3 ：3阶循环群，c3 ：3级生成元 整数加法群：无限循环群，1： 级生成元,35,非循环群 无生成元，但G 的子集M =a,b,c,中元素的各种可能乘幂的乘积能够生成群 ，则称M 为G 的生成元系。, 生成元系,若M 的任何子集均不是 的生成元系，则M 为G 的不可约生成元系。,举例： M =c3, c2, c2 是D3的生成元系，但是由c3c2 = c2 ， M 的真子集M 也是D3 的生成元系；而 均不能独自生成，所以，M

14、 是D3 的不可约生成元系。易证， M =c3, c2 和M =c2, c2 也是D3 的不可约生成元系。,举例： D3群中， 为3阶元 为2阶元, 有限群的群元自乘若干次后必等于单位元 (有限群的普遍性质，可由群乘表看出),7.3 群元的阶 (有限群，但不一定是循环群)，必有 ，若 ，则 是 阶的元素， 称为群元的阶。,注意：区别于生成元的级,36,习题：证明二、三阶群都是循环群。,37,八、共轭元素和共轭类 (Conjugate element and class),8.1 共轭元素,对于群G，A、B G，如果存在某一群元 x G，使得 ，则称B与A共轭，A与B互为共轭元素（简称共轭元）。

15、,对于矩阵群，两个群元共轭就是两个矩阵相似。,2、 传递性, 如果A与B共轭，则必定存在元素S使得A与 B共轭；, 如果B与C共轭，则必定存在元素R使得B与 C共轭，于是A与C共轭。,证明： A与C共轭,38,特点： 1、互相性 由,39,8.2 共轭类,群G 中互为共轭的元素的完整集合，构成G 的一个共轭类，简称类，用C 表示。,举例： C3v 群的类,* 由 ，对x 取遍所有群元，算出与A共轭的所有B元，就得到含A元的一个类。,40,41,类的特点： 单位元： ，自成一类。 两个不同的类没有相同元素。,习题：确定C3群的所有类。, 除单位元外，任一类都不是子群。(无单位元) 对于Abel群

16、，每一个元素均自成一类。 证：, 同类的元素具有相同的阶。 证： A、B同类，则有 ，如果 则A 的阶为n， 即B的阶也为n 。,42, 对于矩阵群，同类中各元素具有相同的矩阵迹。,证明： 确定一个特殊的子群 S x x是群G的某一元素，S是G的另一元素，x与S间存在关系： ，即S是与x对易的，满足这种关系的所有元素S 构成集合 ，则S x 是G的子群。,8.3 定理 每一个共轭类中的元素数目必为群阶的因子。,证：如果 ，同时 ， 而 封闭性成立,43,将G按 S x 的陪集分解 对于真陪集 中任一元素 有 并且 同理 有 并且,44,证：若 ， 则有 于是 即 ，这与陪集分解原则矛盾 ,所以

17、， 为属于同一类的不同元素， 其个数为n 其中 为子群S x 的阶。 证毕。,45,46,8.4 共轭类分解 群 ，其所有共轭类是 ，共有c个 类，因 的任一元素A 必属于且仅属于某一个类， 所以必有 ，这称为群的共轭类分解。, 阶为质数的有限群必定是循环群。 证： 中任一元素A， ， 构成 的一个子群 ，是循环群。 此时子群 就是群 ，即 为循环群。,逆命题：如果一个子群包含群的若干个完整的类， 则该子群必为正规子群。,证： 得证。,证：正规子群S 满足：左陪集 右陪集 有 若 ，则 ，与S 为正规子群 矛盾。 一定有 得证。,47, 群的正规子群必定由群的若干完整类构成。,九、商群 (fa

18、ctor group, quotient group),设S是G的正规子群，xS=Sx，有S的所有左陪集x1S，x2S，.。把一个陪集视为一个元素，按群的乘法进行陪集间的乘法运算。两陪集相乘时，两组元素均互乘一次，但相同元素只取一个，这样就形成一个结果集合，这个过程就是集合的乘法。,48,49,以群G 的正规子群S 的所有陪集为元素，以集合的乘法为群乘，构成一个群，称为群G 对其正规子群S 的商群，记作 G / S 。,集合 构成群？,50, 逆元素：, 结合律：,51,举例：,群阶 = 2,十、群的同构 (isomorphism),商群 的群表,52,两个群 ，其群阶 ， 两个群的元素间有一一对应关系： ， 在各自的群乘下，若ab=c，就有ab=c 对一切群元成 立，则称 与 同构，或说 和 是同构群。 记作 或 。例如：,十一、群的同态 (homomorphism),多对一的对应关系,53,在各自的群乘下若满足： ： 则称 和 同态，也称准同构。 记作 或,54,2. 商群 中的 分别与 群中的 和 对应。所以，商群 与 同态。,则可以构造一个群G,