第1章 算术运算中的误差分析初步.ppt_第1页
第1章 算术运算中的误差分析初步.ppt_第2页
第1章 算术运算中的误差分析初步.ppt_第3页
第1章 算术运算中的误差分析初步.ppt_第4页
第1章 算术运算中的误差分析初步.ppt_第5页
已阅读5页,还剩32页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、,Computing Method,计算方法,数理学院信息科学系,数值计算方法课程的重要性,计算方法是计算机科学的重要内容.如何将解决各类问题的数学方法转化为能利用计算机实现的数值计算方法将直接关系到我们解决实际计算问题的能力以及计算机的应用广度, 随着科学技术的快速发展和计算机的广泛应用,学习和掌握常用的数值计算方法及有关的基础知识, 已经成为理工科大学教育的一个重要内容。,计算机解决实际问题的步骤,第一章 绪论,本章内容 1.1 计算方法的对象与特点 1.2 误差的来源及误差的基本概念 1.3 机器数系 1.4 误差危害的防止,计算方法:研究数值方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现。

2、计算方法又称计算数学、数值方法、数值分析等。 计算方法的分支有最优化方法、计算几何、计算概率统计等,计算方法的含义,1.1 计算方法研究的对象与特点,连续系统的离散化 离散性方程的数值求解,计算方法的内容,计算对象,有精确解计算公式而无法手工计算的数学问题 (如:解300阶的线性方程组) 理论上有解而无计算公式 (如:计算定积分 ),1.2 误差的来源及误差的基本概念,绝对误差:e=x*-x, x* 是准确数,x是近似数 绝对误差限:|e|=|x*-x| 常表示为 x=x* 或 x*-xx*+ 相对误差:er =(x*-x)/x* , x* 是准确数, x是近似数 相对误差限r:|e/x*|=

3、|x*-x|/|x*| r 实际计算中通常是:er =(x*-x)/x , x*是准确数, x是近似数 注:相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 例:考虑 1.x* =10, x=11 e=-1 er=-0.1 2.x* =1000, x=1001 e=-1 er=-0.001,误差定义,有效数字,对于非零近似值x的规格化标准形式. 如果有绝对误差 则称x有n位有效数字。 进而当 时,称x是有效数字。,注: a)用四舍五入得到的数都是有效数 b)有效数字越多,误差越小,计算结果越精确,例如:设,解:因为,故x1有三位有效数字。,故x2有五位有效数字。,故x3有四位有效数字。,x1=1

4、.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别,有几位有效数字?,有效数字与相对误差的关系,Th1 如果形如(1.1)式的x有n位有效数字,,Th2 如果形如(1.1)式的x的相对误差满足,则x至少有n位有效数字。,有效数字 相对误差限,相对误差限 有效数字,简要证明,简要证明,TH1 证明:,TH2 证明:,例:为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字?,解:假设 取到 n 位有效数字,则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%,只要保证其上限满足,已知 x1 = 3,则从以上不等式可解得 n 6 log6,即 n 6,应取 = 3.1415

5、9。,一元函数的误差估计,问题:对于 y = f (x*),若用x取代x* ,将对y 产生什么影响?,分析:e (y) = f (x*) f (x) e (x) = x* x,Mean Value Theorem,= f ( )(x* x),x 与 x*非常接近时,可认为 f ( ) f (x) ,则有: |e (y)| | f (x)|e (x)|,即:x产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x)|倍。故称| f (x)|为放大因子 或 绝对条件数。,相对误差条件数,f 的条件数在某一点是小大,则称 f 在该点是好条件的 坏条件的 。,例:计算 y = ln x。若 x 20,则

6、取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ?,解:设截取 n 位有效数字后得 x* x,则,估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系, n 4,例:计算 ,取 4 位有效,即 , 则相对误差,设函数y=f(x1,x2)中x1、x2是近似值, x1*、x2* 是准确值,那么函数的绝对误差和相对误差如何?,二元函数的误差估计,函数的相对误差:,函数的绝对误差:,四则运算的误差,绝对误差:,在数值计算中,为防止误差扩散,要避免绝对值很小的数作除数。,相对误差:,当两个几乎相等的同号数相减时,损失精度,称为相减相消,要通过数学加工避免这种相减计算。,例1 求方程 的两个根。,直接求该

7、方程的根的公式为,当b0且,计算x1则会产生相减相消,,为此将计算公式改为:,例2 计算1-cosx,当 x接近0时,直接计算会导致相减相消,利用恒等式,规格化浮点数 x= 0.a1 a2.at10c ai0,1,2,9, a10,LcU 一般情况: x= 0.a1 a2.atc ,=2,8,10,16, ai0,1,2, -1, LcU F(,t.L,U)表示以上数集全体加数0, 它是计算机中使用有限离散集。,尾数,阶码,1.3 机器数系,不难证明集合F仅含有: 个数,而且这些数不是等间隔地分布在数轴上。 溢出(overflow) 机器数(fl(x)) 舍入机(rounding) 截断机(t

8、runcating),一、使用数值稳定的计算公式 例1、建立积分,1.4 数值计算中需注意的问题,例2、各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 解: 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失(因为原数字有五位有效数字),说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.,二、防止相近的两数相减 (会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做).,例3、当 较大时,计算,解:化成,三、防止大数吃小数. 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数“吃掉”从而引起计算结果很不可靠. 例 在一台虚

9、构的4位十进制计算机上计算S=A+b,其中 A=10000,b=1 计算结果为10000 与实际结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式.,加减法先对阶,后运算,再舍入,1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (对阶,靠高阶) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 104,四、防止接近零的数做除数 分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.,.,五、注意计算步骤的简化,减小运算次数.,简化计算步骤是提高程序执行速度的关键,它不仅可以节省时间,还能减少舍入误差。 例4:计算x31的值 若逐个相乘要用31次乘法,但注意到 x31=xx2x4x8x16 令x2=xx x4=x2x2 x8=x4x4 x16=x8x8 只需做8次乘法运算即可。,学习方法,1.注意掌握各种方法的基本原理 2.注意各种方法的构造手法 3.重视各种方法的误差分析 4.做一定量的习题 5.注意与实际问题相联系,1. 数值分析(第四版),

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论