线性代数(数学系辅导)参考答案

1、28道复习题参考答案1、五阶行列式有5！项，其中一项为：，该项为负，则i 4 ；j 5 。提示：先把写为，因为该项为负，则项列标排列必为奇排列，即：（i，1，j，2，3）的逆序数为奇，则i4、j5。2、A为五阶方阵，且|A|=3，则 | |A| A | 729 。提示：公式：3、，A为三阶方阵，且|A|5，求|B| 30 。提示：对矩阵B的行列式进行若干次列变化，就可以找出和A的行列式的关系。4、若有：，则x 1， 2， 5 。提示：把2提出来，再转置，原行列式就变为范得蒙行列式，则有：2（12）（15）（1x）（x2）（x5）（52）0。5、。提示：做变换：，6、。7、。提示：该题应该有一个

2、条件：。该题为“箭头矩阵”。做变换：，。8、，求： 0 。提示：把D的第三列的4个元素分别乘第3列4个元素对应的代数余子式，显然即为所求：，根据定理有：该值为0。9、，求： 3E 。A的特征多项式为：，则有：，则有：10、先求、，该题考查对角分块矩阵的求逆法：；。11、设n阶方阵满足：，若有AXX2E，求：X 。提示：，而（AE）（2004A2010E）2010E5EO，则：12、判断下列命题是否正确：若可以由线性表示，但不能由线性表示，则：可以由线性表命题正确。提示：若可以由线性表示，则有：；又根据：“但不能由线性表示”，可以知道，。则，显然有：13、已知：向量组线性无关，则向量组、是： 。

3、A、线性相关 B、线性无关 C、可能线性相关，也可能线性无关答案为：C提示：题目的意思是向量组、可以由向量组线性表示，即有：系数矩阵的行列式按第一行展开，得：。显然有：当n奇数时，行列式不为零，即向量组、线性无关；当n偶数时，行列式为零，即向量组、线性相关。14、非常重要！（见三导丛书）会证明，且会用其结论。（如13题）15、设A为三阶方阵，A的三个不同特征值为：，它们对应的特征向量为：，证明：线性无关。证明：（必会！）设： （1）已知：、，把它们代入（1）式，并化简，有：因为各不相同，则线性无关，则有方程组：，其矩阵表示为：，显然系数矩阵为范得蒙行列式，各不相同，则系数行列式不为零，故，方程

4、组只有零解：，证毕。16、已知线性无关，线性相关，线性无关，则是： 。A、线性无关 B、线性相关 C、可能线性无关，也可能线性相关答案为A。提示：可以这样理解：线性无关，线性相关，则可以由线性组合出来，则显然有：矩阵（）进行若干次初等列变换，可得到：矩阵：（）。17、求向量组、的秩，并求一个最大无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。提示：（必会！）相当于解两次非奇次线性方程组。则为最大无关组，且有、18、验证，是的一个基，并将向量、用这个基来表示。提示：与17题类似。先验算矩阵（）的行列式不为零。再解非奇次线性方程组。步骤为：对矩阵进行行初等变换，变为行最简形式：如为：，则有结论：、。

5、19、对n元方程，下列命题正确的是：A、Ax0只有零解，则Axb有唯一解B、Ax0有非零解，则Axb无穷解C、Axb有唯一解，则Ax0有唯一解D、Axb有唯一解， r(A)=n答案为：C提示：因为Axb常常无解。故，从“Axb有解”出发的命题往往是对的。当然要具体问题，具体分析啦！20、已知为Axb的两个不同的解向量；为Ax0的基础解系，则，Axb的通解为： 。A、 B、C、 D、答案为：B提示：为基础解系，则也为Ax0的解，且与线性无关。当然（，）也为基础解系了。另显然为Axb的一个特解。21、问a、b为何值时，下列方程有唯一解；无解；有无穷解？并求出无穷解时的通解。提示：这类题目有两种方法

6、，该题目若用第一种方法，则很难得出完整的答案。故，选第二种方法。对增广矩阵进行行初等变换。三行交换第二行乘a加到第三行中第三行和第二行交换，并化简新的第三行1、则当时方程组有唯一解；2、要让0，且时方程组有矛盾方程。则有：当a1且；或b0。时，方程组无解。3、当0，且，即a1且时方程组有无穷多组解。其方程组的增广矩阵进行行初等变换为：，则通解为：k22、试问a取何值，方程组有非零解，并求其解。答案：，；，。23、已知：、。 （1）a、b取何值时，不能由线性表示。（2）a、b取何值时，由唯一的线性表示。答案：无解；唯一解。提示：（1）、（2）分别对应方程组无解和唯一解。24、设（b0）。若f的矩

7、阵A的所有特征值之和为1，所有特征值之积为12。（1）求a、b的值（2）利用正交变换将f化为标准型，并写出正交矩阵。（3）若，求的最大值和最小值。答案：（1）a1，b2（2）（3），则显然有： ，因为正交变换不改变向量长度，则2，所以有： 25、是： 。A、正定 B、负定 C、不是正定，也不是负定。答案为C。26、设A为正定矩阵，证明：|E+A|1。证：因为A为正定阵，则，其中为对角阵，且对角线元素必为正，则|E+|主对角线上的元素都大于1，在|E+A|1。27、设A为n阶正定矩阵，证明：存在n阶正定矩阵B，使A因为A为正定阵，则，其中，且对角线元素必为正。则有：，令，显然B也为正定阵。则ABB。28、设：