2002年-车灯线光源的优化设计论文

1、2002年-车灯线光源的优化设计论文 车灯线光源的优化设计 摘 要 本文是关于汽车照明灯线光源长度的优化设计问题，即在给定反射镜面为旋转抛物面和给定设计规范的条件下，确定线光源的长度，使其功率最小（见图1）。 本文从光的反射定律和能量分布规律两种视角解决该问题，建立了两个数学模型。 模型一：利用能量、功率与光照强度之间的关系，利用能量积分法建立了反射屏上任意一点光照强度与线光源上光源点之间、光源点与反射镜面上的反射点之间关系的数学模型，计算出了满足光照强度要求和功率最小要求的线光源的最大长度。并利用计算机程序对以上结果进行了校核。 模型二：根据光线反射定律，建立了测试屏上反射光线的位置、入射光

2、线的光源点及其反射点之间对应关系的数学模型。在此模型的基础上讨论了反射镜面不同区域的反射规律，计算出了在满足光照强度要求下的线光源长度。 由于模型二中没有考虑功率最小的要求（因为功率与线光源长度成反比，当线光源长度最短时，其功率最大），同时C点的光照强度在模型二中很小，所以满足题目要求的最终线光源的长度为lmax?4.18mm。 根据所建立的两个数学模型，对满足设计要求的线光源长度在测试屏上所形成的反射光亮区进行了模拟，在有标尺的坐标系中得到了能够反映反射光变化规律的亮区模拟图（见图2）。最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。 图1 投影示意图（单位：毫米） 图2 测试屏上所形成的反

3、射光亮区（单位：毫米） （注：黑度反映光照强度的大小，黑度越深，光照越强） 车灯线光源的优化设计 1 问题的提出： 在汽车的照明装置中，前照灯是核心装置，它的反射镜是主要的光学器件。经过真空镀铝的反射镜镜面通常制成旋转抛物面形，将灯丝发出的散射光聚合，以集中光束的形状射向汽车前进方向的路面。灯泡灯丝是照明效果的关键，通常制成螺旋形。灯丝的长度直接决定着光源功率的大小和照明的效果。因此，在反射镜尺寸和设计规范一定（见A 题）的情况下，选择一定长度的灯丝就显得尤为重要。本论文试图从最优化的 角度，建立起满足设计要求的线光源光强的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出使功率最小的线光源

4、的长度，并画出测试屏上反射光的亮区。 2 问题的分析 为了分析问题方便，首先建立坐标系。以焦点F为坐标原点O，过原点的水平线FA为y轴的正方向，过原点垂直于y轴指向正前方的水平线为x轴的正方向，过原点垂直于xOy平面竖直向上的方向为z轴的正向建立迪卡尔坐标系。线光源与x轴重合，且关于焦点F对称放置。测试屏在焦点F前方25米处，且与坐标平面xOz平行，Fy轴与测试屏交于A点。过A点在测试屏上与x轴正向平行的方向有B、C两点，其中AC=2AB=2.6米（如图1所示）。在车灯反射镜的旋转抛物面上任取一点M(xM,yM,zM)，可以建立过该点抛物面的切线方程；在线光源上任取一点P(x0,0,0)，可建

5、立过M点的入射光线MP的方程；然后，根据光的反射原理可以建立从P点入射、在M点反射的反射光线方程。假设测试屏无穷大时，所有的反射光线必然经过测试屏。由此可以确定测试屏上任意一点Q(xQ,25000,zQ)与反射点M及入射点P三者之间的对应关系。根据此对应关系，如果假定过C点的反射光线只有一条时，可以计算出线光源的最短长度。由于线光源的功率与其长度成反比，此时的线光源长度并不能满足功率最小的要求。根据光强的定义和设计规范中B点光强至少是C点光强的2倍的要求可以计算出满足要求的线光源最长的取值，此时线光源的长度即可确定。根据线光源的长度和P、M与Q的对应关系，利用所建立的数学模型可以画出测试屏上反

6、射光的亮区。 图1 投影示意图 3 模型假设 （1）车灯反射镜的反射系数为100%； （2）车灯的反射光束在传播过程中不受中间介质的干扰，即反射光传播过程中能量无损耗； （3）测试屏上不考虑直射光的影响。 4 符号说明 F：旋转抛物面焦点； A：焦点F正前方25米处测试屏上的一点； B：在测试屏上过A点引出的一条与地面相平行的直线上距A点1.3米的点； C：在测试屏上过A点引出的一条与地面相平行的直线上距A点2.6米远的且与B点在A的同侧的一点； l：线光源总长； M(xM,yM,zM)：旋转抛物面上任一点； P（x0,0,0）：线光源上任一点； . Q（xQ,25000：线光源上任一点P发出

7、一条光线PM，经M点反射，反射光线与 ,zQ） 测试屏的交点为Q； ?入射：线光源上一点P发出的入射光线与其入射点M处的法线之间的夹角； ?反射：发射光线PM与M处的法线之间的夹角； 为简化中间迭带和运算，J、V、R、N、D、E、H、G、K、T、S为中间变量，其含义见文中。 5 模型的建立及求解 5.1建立旋转抛物面的方程，并求出焦点F 由A题题意可知，旋转抛物面的开口半径为45mm，深度为25mm，由此可得抛物面的方程为： x2?z2?81(y?20.25) （1） 根据抛物面方程与坐标平面xOy的交线可得一抛物线，其方程为： p)?x2 （2） 2 pp?20.25。根据以上建立坐标系的代

8、入已知点(?45,25?)，解得p?30，即抛物线的焦距为222p(y? 方法可知顶点坐标为(0,?20.25)。 5.2 建立入射光线方程 已知光源P(x0,0,0)和旋转抛物面上的点M（xM,yM,zM）由两点式方程得入射光线PM的方程为： x?x0yz?xM?x0yMzM 5.3 建立法线方程 （3） 已知抛物面上一点M（xM,yM,zM）可建立过该点的抛物面的法线方程： x?xMy?yMz?zM?2xM?812zM 5.4 建立反射光线方程 （4） 设由P点入射在M点反射后的光线经过测试屏上的点Q（xQ,25000,zQ)，可以建立如下的反射光线 MQ的方程 z?zQy?25000?x

9、M?xQyM?25000zM?zQx?xQ （5） 5.5 建立P、M与Q三点之间的关系 入射光线PM与过M点的法线之间的夹角为： 2xM?x0）*2xM?yM*（?81）?2zMcos?入射?xM?x0?y?z22 M2M*2xM2?81?2zM2 （6） 2 反射光线MQ与M点的法线之间的夹角为： . cos?反射? ?x?x?*2x?81*?y x?x?y?25000?z M2 Q M 2 M Q M MM ?2zM*?zM?zQ?25000 ?zQ* 2 2xM2 ?81?2zM2 2 7） 根据反射定律有：cos?入射?cos?反射 （8） MP与法线的公垂线可建立向量方程： i x

10、M?x02xM ? ? j yM kzM ? ?602zM ? ? =（2 yMzM?81zM）i?2zM?xM?x0?2xMzM?j?81?x0?xM?2xMyM?k yMzM?40.5zM)i?2zMx0j?2?40.5x0?40.5xM?xMyM?k (9) ? ? ? =2( 由MQ矢量与公垂线垂直（矢量点积为零）得： ?2?xM?xQ?yMzM?40.5zM?2zMx0?yM?25000 ?2?40.5x0?40.5xM?xMyM?zM?zQ?0 化简后得： （10） ?zM?xM?xQ?yM?40.5?zMx0?yM?25000?40.5x0?40.5xM 联立（8）与（11）可得

11、方程组： ?xMyM?zM?zQ?0 （11） ?cos?入射?cos?反射 ?z?x?x?y?40.5?zx?y?25000?QMM0M?MM ?40.5x?40.5x?xy?z?z?0 0MMMMQ? 由（13）得 (12) (13) zQ? 为简化运算，令： ?yM ?40.5?x0?xQ?25000x040.5x0?xM?xMyM *zM （14） J?40.5yM?xMx0?900 2 N?81yM?20.25?yM?25000 22 D?yM?2xMx0?x0?82yM?20.25 E?30yM?750900 根据以上所令参数则（12）可简化为： ? ? ?2? ? ? 22 JN

12、?DE2?J?DzQzQ?2DEzM?2JzM?2DxMzMxQ?zQ （15） 22V?JN?DE?2DExM?2JxM?xQ?J?DxMxQ?0 2 R?J?Dz 将上式中的常数再令为： M ? ? H?2DExM?2JxM 则（14）又可化为： G?2DzM?2JzM 22 VM?2RzQ?GzQ?2DxMzMxQzQ?HxQ?KxQ?0 （16） K?J?Dx . （12）式为： zQ? 令： yM?40.5?25000yM?40.5x0zM?zMxQ （17） 40.5x0?xM?xMyM40.5x0?xM?xMyM yM?40.5?25000x0zM40.5x0?xM?xMyM y

13、M?40.5zM40.5x0?xM?xMyMT?S? 则（17）式为：zQ?T?SxQ （18） 根据以上方程，可以得到最后的P、M与Q点坐标之间的关系式为： 22?V?RzQ?GzQ?2DxMzMxQzQ?HxQ?KxQ?0?zQ?T?SxQ(19) (20) 求解得： ?RS22?2DSxMzM?KxQ?2RTS?GS?2DTxMzM?H?xQ?V?RT2?GT?0（21） ? 由上式可解得Q点的横坐标为： xQ? 其中：?2RTS?GS?2DTxMzM?H?2RS2?2DSxMzM?K? （22） ?2RTS?GS?2DTxMzM?H?2?4?RS2?2DSxMzM?K?V?RT2?GT

14、? 5 6 计算线光源的最短长度 由于Q点与M点和P点的关系已由方程（19）和（20）确定。由该方程组可知，Q点与M点之间的对应关系。当zQ?0时，反射点落在AC及其延长线上， AC在x轴正向上，则此时xQ?0反射点才能落在AC之间。方程（19）和（20）则可转化为方程： 2?V?HxQ?KxQ?0?T?SxQ?0(23) (24) 由（24）可解得： xQ? ?)x0zM40.5(x0?xM)?xMyMT(yM?40.5?25000?S40.5(x0?xM)?xMyM(yM?40.5)zMyM?40.5?25000x0yM?40.5 （25） 由（25）式及反射角和入射光线之间的关系可知，所

15、有入射光线只有经过在xOy平面上的反射点反射后才能落在AC线上，为了计算线光源的最短长度，根据焦距和方程（2）可得抛物面与xOy平面的交线（抛物线）方程为： 81(y?20.25)?x2 （26） . 图2 反射区域示意图 建立坐标系（如图2），令x轴与抛物线的交点为M1，M2，则M1的坐标为（-30，0），M2的坐标为（30，0）。任取线光源上位于x轴负半轴的一点P(x0,0)，过P点作抛物线的法线，交抛物线于M3点。M3位于抛物线的上部。于是点M1、M2、M3把此抛物线分成四段弧，分别记为I、II、III、IV，如图2所示。从P点发出的一条光线PM，交抛物线于M点， M点为即反射点。 根据

16、抛物线方程和作图方法可知： （1） 当M点位于弧段I时，其反射光所照测试屏上区域为I?M1M4； （2）当M点位于弧段II时，其反射光所照测试屏上区域为II?M1M3； （3）当M点位于弧段III时，其反射光所照测试屏上区域为III?M3M5； （4）当M点位于弧段IV时，其反射光所照区域为IV?M2M5； 下面讨论水平线AB上的B、B、C、C点分别落在区域I、II、III、IV中 的可能性。 （1）B、C只可能落在区域I和IV内；（2）B、C只可能落在区域II和III内； 于是可以求出满足发射点位于如下临界位置条件下的x0值 （1）当点P发出光线经抛物线上部最边缘M4?30,0点反射，其反射

17、光线刚好通过B点，通过解方程求出对应的xOB?8.045mm； （2）当点P发出光线经抛物线上部最边缘M4?30,0点反射，其反射光线刚好通过C点，求出对应的xOC?13.35mm； （3）当点P发出光线经抛物线下部最边缘M530,0点反射，其反射光线刚好通过B点，求出对应的xOB?15.31mm； （4）当点PM530,0点反射，其反射光线刚好通过C点，求出对应的mm（因为xOC?r(?30)，所以不合实际，即作不出这样的反射线路）；（5）过B点xO.400?50C作抛物线的法线，使其刚好过xOB?40mm（不合实际，舍去，即作不出这样的法线），其具体计算方法是：根据反射、入射光线与法线重合

18、，建立方程，计算并化简后得：3x0x0B?4680000?0 （23） B?14990 （6）过C点作抛物线的法线，使其刚好过P点，可以求出相应的xOC?1.578mm，此时得到的方3程为：x0C?1499100x0C?2340000?0 （24） 求得的x0C所对应的xM?3.12mm。 （7）过B点作一反射光线，其交线光源于Px0,0，求出x0的最大值xOB?0.779mm。 于是可得出如下结论： （1）对弧I上反射出的光线： 当x0?8.045,0时，没有光线照到B、C； 当x0?13.35,?8.045时，有一条光线照到B、但没有光线照到C； 当x0?30,?13.35时，分别有一条光

19、线有光线照到B、C； （2）对弧IV上反射出的光线： 当x0?13.31,0时，没有光线照到B、C； 当x0?30,?13.35时，有一条光线照到B； （3）对弧II上反射出的光线： 当x0?0.779,0时，没有光线照到B、C点； 当x0?1.578,?0.779时，有一条光线照到B点，但没有光线照到C点； 当x0?30,?1.578，分别有一条光线照到B点和C点； ? . （4）对弧段III上反射出的光线： 当x0?0.779,0时，没有光线照到B、C； 当x0?1.578,?0.779时，由于过B点作不出刚好过Px0,0的抛物线的法线，于是也就没有光线照到B、C点； 当x0?30,?1.

20、578，分别有一条光线照到B点和C点； 根据以上结论作如下讨论： 对于点Px0,0发出的光线经抛物线反射形成的反射光束： 当x0?0.779,0时，光束中没有光线照到B、C； 当x0?1.578,?0.779时，光束中由于有一条光线照到B点，但没有光线找到C点； 当x0?8.045,?1.578时，光束中分别有两条光线照到B、C点； 当x0?13.35,?8.045时，光束中分别有两条光线照到B、C点，同时有一条光线照到B点； 当x0?15.31B、C点，同时有一条光线照到B、C点； ,?13.35时，当x0?30,?15.31时，B、C点，同时有两条光线照到B和一条光线照到C点； 另外，当x

21、0位于x轴正向时，由于线光源对称布置，故只需将上述结论中的B、C分别换成B、C，而B、C分别换成B、C即可。 于是要满足题设所给下述条件：C点的光强度不小于某一额定值（即由反射光照到C点），B点的光强l度不小于该额定值的两倍，则线光源的一半?0.779,13.35。 2反射，其反射光线的强度是不同的，该光线的强度与PM的 由P点发出的光线，经抛物线上不同点M平方成反比，但由于PM与不同点M对应的PM出的光经反射能照一次到该点（若两次照到该点，则其长度为都能照到该点一次的长度之和），在此条件下可求出l的粗糙值。然后考虑上述反射光线的强度不同，求出精确的l，再进一步考虑到实际情况中，线光源的长度不

22、会很长，在此具体情况中，不妨取l的上限值为30，也就是Px0,0，满足x0?15。 综合上述结论进行分析，可得出如下结论： ? 要满足题设所给的条件：C点的光强度不不小于某一额定值（即所有反射光照到C点），B点的光强度不小于该额定值的两倍，则线光源的一半长l?1.578,15?。 2 根据前面的对反射光线强度的近似处理和光的强度与线光源长度的关系，即所有反射光的强度相同，于 ll满足下述关系式：1.578?0.779?2(?1.578)?4(l?1.578)，解出l?3.935，即22 l?3.935时B点的光的强度恰好为C的光的强度的两倍。且当l?3.935时，B点光的强度小于C点光的强度的

23、两倍；当l?3.935时，B点光的强度大于C点光的强度的两倍；于是即为所求较粗糙的最大值。 是当 下面通过能量积分的方法求得精确值。 由以上分析通过计算机程序的计算可以得到最短线光源长度为：lmin?2?x0c （24） 但由于功率与线光源的长度成反比所以，当线光源的长度取其最短值时，功率最大，因此该结果并不满足设计规范的要求。 5.7 计算线光源的最大长度 u2 由P?Rl，R?ssu2su2得：P?总?l2?lmax （25） 其中lmax为线光源的最大长度。 由于线光源的功率均匀分布，对于给定的灯丝长度，其横截面积s一定，灯丝的电阻率也一定，所提供的电压也一定。则每点的线功率为： P?

24、线光源的总能量为： P总2lmaxsu2?24?lmax （26） W?P总t . 又由于光强I与能量之间满足以下关系：I 根据微积分的微元法有：dW 经反射后到某点的光强为： 其中： ?W4?r2 （27） ?P?dx （28） 假设线光源的作用时间为单位时间，则能量可以用功率代替。因此当从线光源一点照到抛物线上一点，I?P?4?r2 2 （29） r2?(x0?xM)2?yM 则整个线光源作用时对于屏上某点：I?I?dx （30） P?dxsu2 线光源的光强为：I?dx （31） 2?4?r2?16?r2lmax su2 令 ?216?lmax 而 2 M 则 I?dxr2 （32） x

25、?81(yM?20.25) 且yM?24970x?40.5xQ x?xQ ?20.25)?81 于是得：xM2?81(24970x?40.5xQ x?xQ24985x?20.25xQx?xQ （33） xM?81 由式（34）令xM24985x?20.25xQx?xQ （34） ?t 则： yM(900?t2)xQt2?20.25（35）x?2 （36） 81t?81*24985 dx?81xQ2(tQ25000dt2 （37） 2?81*24985) 将以上（35）、（36）及（37）式代入（32）式即可得到光强的计算公式为： I?1(?81)*250002*xdt （38） Q222t(t

26、?81*24985)(x?t)2?(?20.25)2 81 又由于： x?t? 由此可求得： 900xQ?t2xQ?t3?1499100tt?14991002 （39） . su2 I?1500000xQ?2 16?lmax ? dt2 t2 (900xQ?xQt?t?81*24985t)?(?20.25)2*(t2?81*24985)2 81 2 3 2 因为OB和OC为定值，令： lmax?tx而t?xm?81 IB?1500000xQB su2 ?2 16?lmax 24985x?20.25xQ x?xQ ? 得： lmax dt2 (900xQB t2 ?xQBt?t?81*24985

27、t)?(?20.25)2*(t2?81*24985)2 81 2 3 2 OB IB?1500000xQB su2 ?2 16?lmax dt2 t2 ?20.25)2*(t2?81*24985)281 ? tx OB (900xQB?xQBt2?t3?81*24985t)2 同理得到： Ic?1500000xQC su2 ?2 16?lmax dt (900xQC?xQCt 2 3 22 ? lmax OC t2 ?t?81*24985t)?(?20.25)2*(t2?81*24985)2 81 ?1500000xQC su2 ?2 16?lmax dt2 t2 ?xQCt?t?81*249

28、85t)?(?20.25)2*(t2?81*24985)2 81 2 3 2 ? tx OC (900xQC 在以上计算B点和C点光强的公式中xQB式可化简为： ?1300，xQC?2600，将B点即C点的坐标值代入上 IB?1500000xQB su2 ?2 16?lmax dtB 2 2 ? tx OB (1170000?1300tB?tB su2 ?2 16?lmax 23 t2 ?1499100tB)?(B?20.25)2*(tB?1499100)2 81 2 IC?1500000xQC dtC 2 ? tx OC (2340000?2600tC 2 ?tC 3 ?1499100tC)

29、 2 t2 ?(C?20.25)2*(tC?1499100)2 81 2 . 当条件为IB?2IC时可构造出目标函数，其中： txB?8124985lmax?20.25*130024985lmax?20.25*2600 txc?81 lmax?1300lmax?2600 lmax?2.09mm （40） 对目标函数用计算机程序求解即可得到最大线光源的长度： 则最大线光源的总长为2lmax?2*2.09?4.18mm。 所以得到的满足功率最小的线光源长度为：4.18mm。 57 合理线光源长度的确定 对于所得到的lmin?3.12mm，虽然节约材料，并且能够满足B点光强至少是C点光强的2倍这一设 ?4.18mm。 计规范，但不能满足功率最小的要求，因此不是本文的解，真正合理的解应是lmax 58 反射光的亮区 根据上文中得到的光源点P与测试屏上点Q之间的坐标函数关系，为了表明测试屏上的亮度变化趋势，对车灯旋转抛物面进行离散化后即可得到反射屏上反射光的亮区图（如图3所示）。 图3 测试屏上所形成的反射光亮区 6 设计规范合理性的讨论： 6.1合理的方面： （1）该设计规范中将测试屏放置在焦点前