高中数学课件 第三章 第3节 《三角函数的图象和性质》.ppt

1、1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解 三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质 (如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)， 理解正切函数在区间( ， )内的单调性.,1.周期函数 (1)周期函数定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫周期函数.T叫做这个函数的周期 (2)最小正周期定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 就叫做f(x)的,f(xT)f(x),最小正数,最小正周期,思考探究1 如果函数yf(x)的周期是T，那么函数yf(x)的周期是多

2、少？,提示：函数yf(x)的周期是 .,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,x|x 2k，kZ,R,R,y|1 y 1,y|1 y 1,R, 2k，,( ,上递增，kZ； 上递减，kZ,上递增，Z； 上递减，kZ,上递增 kZ,x 时， ymax1(kZ)； x 时， ymin1(kZ),x 时 ， ymax1(kZ)； X 时， ymin1(kZ),K， + K),2k, 2k， 2k,(2k1)，2k,2k，(2k1),2k,-,2k,2k,2k,奇,偶,奇,(k，0)，kZ,(k ,0) kZ,( ，0)，kZ,2,2,xk ，kZ,无,xk，kZ,思考探究2 正弦函数和余弦函

3、数的图象的对称轴以及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？,提示：ysinx与ycosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点.,1.函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则 等于 () A.0B. C. D.,解析：要使函数ysin(x )为偶函数，则 k.,答案：C,2.设函数f(x)sin(2x )，xR，则f(x)是 () A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,解析：f(x)sin(2x )cos2x 函数f(x)的周期为，且为偶函数.,答案：B,3.函数ysin(2

4、x )的图象 () A.关于点( ,0)对称 B.关于直线x 对称 C.关于点( ,0)对称 D.关于直线x 对称,解析：当x 时，ysin0， 当x 时ysin( ) cos ， 函数ysin(2x )的图象关于( ,0)对称.,答案：A,4.y23cos(x )的最大值为. 此时x.,解析：当cos(x )1时，函数y23cos(x )取得最大值5，此时x 2k，而x 2k，kZ.,答案：5 2k，kZ,5.函数ysin(x )，x(0， 的值域是.,解析：,答案：,求三角函数的定义域时，转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利 用单位圆，对于周期相同

5、的可以先求交集再加周期的整数 倍即可.,1.用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法 (1)找出使sinxa(cosxa)的两个x值的终边所在位置. (2)根据变化趋势，确定不等式的解集. 2.用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法. (1)作直线ya，在三角函数的图象上找出一个周期内(不 一定是0,2)在直线ya上方的图象. (2)确定sinxa(cosxa，tanxa)的x值，写出解集.,求下列函数的定义域：,思路点拨,课堂笔记(1)要使原函数有意义，必须 有： 由图知，原函数的定义域为：,(2)要使函数有意义， 则 得 函数定义域是x|0 x 或x4.,如何求函

6、数ylg(sinxcosx)的定义域？,解：要使函数有意义，必须使sinxcosx0. 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示.,在0,2内，满足sinxcosx的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为x| 2kx 2k，kZ.,1.形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间， 基本思路是把x 看作一个整体，由 2kx 2k(kZ)求得函数的增区间，由 2kx 2k(kZ)求得函数的减区间.,2.形如yAsin(x)(A0，0)的函数，可先利用 诱导公式把x的系数变为正数，得到yAsin(x )， 由 2kx 2k(kZ)得到函数的减 区

7、间，由 2kx 2k(kZ)得到函数 的增区间.,3.对于yAtan(x)(A、 为常数)，其周期T ， 单调区间利用x (k ，k )(kZ)，解出x 的取值范围，即为其单调区间.,特别警示求三角函数的单调区间时，一定要注意A和的符号.,已知函数f(x)log2 (2x ). (1)求函数的定义域； (2)求满足f(x)0的x的取值范围； (3)求函数f(x)的单调递减区间.,思路点拨,课堂笔记(1)令 sin(2x )0sin(2x )0 2k2x 2k，kZk xk , kZ.故函数的定义域为(k ，k )，kZ.,(2)f(x)0，sin(2x ) 2x 2k 或2k ，kZxk 或x

8、k ，kZ， 故x的取值范围是x|xk 或xk ，kZ.,(3)令2k 2x 2k，kZ2k 2x2k ，kZk xk ，kZ， 故函数f(x)的单调递减区间是k ，k )，kZ.,如何求函数y 2x)，x，的单调减区间？,解：由ysin( 2x)得ysin(2x )， 由 2k2x 2k得,函数ysin( 2x)，x，的单调递减区间为,求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为： 1.yasinxbcosx型可引用辅助角化为y sin(x )(其中tan ). 2.yasin2xbsinxcosxccos2x型可通过降次整理化为y Asin2xBcos2x.,3.yasin2xbcosxc

9、型可换元转化为二次函数. 4.sinxcosx与sinxcosx同时存在型可换元转化. 5.Y 或y 型，可用分离常数法或由 |sinx|1来解决. 6.Y 型，可用斜率公式来解决.,求下列函数的值域： (1)y2cos2x2cosx； (2)y3cosx sinx； (3)ysinxcosxsinxcosx.,思路点拨,课堂笔记(1)y2cos2x2cosx2(cosx )2 . 当且仅当cosx1时，得ymax4， 当且仅当cosx 时，得ymin ， 故函数值域为 ,4. (2)y3cosx sinx ( cosx sinx) |cos(x )| 1， 该函数值域为 .,(3)ysinx

10、cosxsinxcosx sin2(x ) sin(x ) sin(x ) 21， 所以当sin(x )1时， y取最大值1 . 当sin(x ) 时，y取最小值1， 该函数值域为1， .,若将本例中xR改为x0， 求三个函数的值域.,解：(1)y2(cosx )2 又x0， ，cosx0,1，,当且仅当cosx0时，ymin0，cosx1时，ymax4. 故函数值域为0,4.,(2)y cos(x )， x ， . cos(x ) ， ， y3， 故值域为 ,3. (3)ysin(x ) 21，且x0， ， sin(x ) ,1，当且仅当sin(x ) 时， ymin1，sin(x )1时，

11、ymax 故函数的值域为1， .,新课标更加注意三角函数知识的系统性与完整性，并且强调与向量、不等式等知识的联系，因此三角函数的图象和性质与三角变换、向量等知识结合命题，是高考一个新的考查方向.,考题印证 (2009安徽高考)已知函数f(x) sinxcosx(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是 () A.k ，k ，kZ B.k ，k ，kZ C.k ，k ，kZ D.k ，k ，kZ,【解析】f(x) sinxcosx2sin(x )(0). f(x)图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，恰好是f(x)的一个周期， ，2. f(x)2si

12、n(2x ). 故其单调增区间应满足2k 2x 2k (kZ).k xk (kZ).,【答案】C,自主体验 使奇函数f(x)sin(2x) cos(2x )在 ,0上为减函数的的值为 () A. B. C. D.,解析：f(x)为奇函数，f(0)sin cos0. tan ，k ，kZ，f(x)2sin2x， 在 ,0上为减函数， f(x)2sin2x， .,答案：D,1.(2009广东高考)函数y2cos2(x )1是 () A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,解析：y2cos2(x )1cos(2x )sin2x T，

13、且为奇函数.,答案：A,2.(2009全国卷)如果函数y3cos(2x)的图象关于点 ( ,0)中心对称，那么| |的最小值为 () A. B. C. D.,解析：由题意得3cos(2 )3cos( 2) 3cos( )0，cos( )0， k ，k ， 取k0，得|的最小值为 .,答案：A,3.若函数y2cosx在区间0， 上递减，且有最小值1， 则的值可以是 () A.2 B. C.3 D.,解析：由y2cosx在0， 上是递减的，且有最小值为1，则有：f( )1，即2cos( )1cos ， .,答案：B,4.函数f(x)sin2xsinxa，若对xR,1f(x) 恒成 立，则a的取值范

14、围为.,由题意知 3a4.,解析：f(x)sin2xsinxa a a ， t1,1. t1时，f(x)mina2； t 时，f(x)maxa .,答案：3a4,5.(文)对于函数f(x) 给出下列四个 命题： 该函数是以为最小正周期的周期函数； 当且仅当xk(kZ)时，该函数取得最小值是1； 该函数的图象关于x 2k(kZ)对称； 当且仅当2kx 2k(kZ)时，0f(x) . 其中正确命题的序号是(请将所有正确命题的 序号都填上).,解析：画出函数f(x)的图象，由图象易知正确.,答案：,(理)(2009上海高考)当0 x1时，不等式sin kx成立，则实数k的取值范围是.,解析：0 x1时，ysin 的图象如图所示， ykx的图象在0,1之间的部分应位于此图象下方， 当k0时，ykx在0,1上的图象恒在x轴下方，原不等式成立. 当k0，kxsin 时，在x0,1上恒成立，k1即可. 故k1时，x0,1上恒有sin kx.,答案：k1,6.(文)已知函数f(x)2asin(2x )b的定义域为0， ， 函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值.,若a0，则 ， 解得 . 综上可知，a126 ，b2312 或a126 ，b1912 .