第四章拉普拉斯变换1.ppt

1、1,第4章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析,4.1 引言,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,4.3拉普拉斯变换的基本性质,4.4拉普拉斯逆变换,4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型,4.6系统函数H(s),4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性,4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性,4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布,4.11线性系统的稳定性,2,4.1 引言,拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种好方法。线性时不变系统方法的回顾：,时域分析法：卷积积分只能求解零状态响应,变换域分析法：傅氏变换分析法把时间变量函数变换到变换域中的某一变量的函数。,分析的实质：(1)

2、是将激励信号分解成某种基本的单元信号；(2)求基本单元信号通过系统的响应；(3)最后叠加起来求得总的响应。,3,卷积分析法的单元信号是冲激函数； 傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。借助于傅里叶变换的时域卷积定理，可将卷积分析法转换为傅里叶变换分析法,傅氏变换分析法的优点：物理意义明确，也是信号分析的有效工具。,4,傅氏变换的不足： (1)要求信号满足狄里赫利条件（绝对可积条件），使一般周期信号、阶跃函数等只能虽借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中出现冲激函数，使计算带来困难； (2)求傅氏反变换有时比较麻烦； (3)只能求解零状态响应。,5,拉氏变换的优点： 1）求解简化； 2）把微分、积

3、分方程转化为代数方程； 3）将复杂函数转化为简单的初等函数； 4）将卷积转化为乘法运算。,下面将介绍拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域扩展为复频域。,6,4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域,一、 从傅氏变换到拉氏变换,信号不满足绝对可积条件的原因是,称 为衰减因子；称 为收敛因子。,只要 取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。,若 不满足狄里赫利条件，为了能获得变换域中的函数，人为地用一个实指函数 去乘 。,7,1、 求 的傅氏变换：,显然，可表示成,记为,8,上两式称一对拉普拉斯变换式，正

4、变换、反变换。,其反变换，为,拉氏变换扩大了信号的变换范围。,9,拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：,（变量 t、 都是实数）,10,2、 单边拉氏变换,由于1.实际信号都是有始信号，即,或者只需考虑 的部分；2.我们观察问题总有一个起点。此时,积分下限用0-，的是把 时出现的冲激包含进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态 ，但反变换的积分限并不改变。,以后重点讨论单边拉氏变换。,11,由于重点讨论单边拉氏变换，所以 和 的拉氏正变换 是一样的。,反之，已知 求拉氏反变换式，也无法求得到 时的 表达式。,单边拉氏变换的优点：,不仅可以求解零状态响应，还可以求解零输入响

5、应或全响应。单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中了；而且，只需要了解t=0- 时的情况就可以了。,12,信号 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还要看 的性质与 的相对关系。,二、拉氏变换的收敛域(单边拉氏变换),通常把使 满足绝对可积条件的 值的范围称为拉氏变换的收敛域 。,13,如：有始有终的能量信号,按指数规律增长的信号，如,比指数信号增长的更快的信号，如,满足上述条件的最低限度的 值，称为 。 (绝对收敛横坐标)。,周期信号是功率信号,14,单边拉氏变换的收敛域是：,复平面(s)内，Re(s)= 区域,单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条件，且总存在收敛域，一般

6、非特别说明，不再标注收敛域。,凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉氏变换。我们称这类函数为指数阶函数。即指数阶函数均可以用乘以一个 的方法将其分散性压下去。 凡指数阶函数都有拉氏变换。,15,由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换,1、指数信号,(这里 无任何限制),三、常用信号的拉氏变换,16,(b) 单边正弦信号,17,(c)单边余弦信号,18,(d)单边衰减或增长的正弦信号,即,19,2、 t的正幂信号 (n为正整数),由定义：,对上式进行分部积分，令,可见：,20,依次类推：,特别是n=1时，有,3、冲激函数,根据冲激函数作为广义函数的定义,21,小结：(拉氏变换有三类情况) 第一类：

7、增长的指数信号(如双曲函数等),只有拉氏变换而无傅氏变换,22,第三类：,拉氏变换,付氏变换都存在，但不满足第二类。,如 的傅氏变换,拉氏变换,23,4.3 拉普拉斯变换的性质,在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。 拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似 ，只要把傅氏变换中的j用s替代即可。 但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。,24,1. 线性（linearity）,解：,例：求 的拉氏变换,25,2. 原函数（时域）微分,主要用于研究具有初始条件的微分方程。,若f(t)为有始函数，则,26,例

8、,27,由于f (0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。,28,3. 原函数(时域)积分(integration in the time domain),则,29,例4-4 图示电路，在t=0时开关S闭合，求输出电压vc(t),（2）将微分方程两边取拉氏变换，得,（3）求 的拉氏逆变换,30,4 延时特性(time delay),若,则,31,32,33,34,例： 求图示锯齿波 f (t) 的拉氏变换,解：,根据时移性，有,所以：,35,利用时移性可以求(单边)周期信号的拉氏变换：设f1(t)表示第一个周期的函数，则有,36,抽样信号的拉氏变换,抽样序列,抽样序列的拉氏变换,时域抽样信号,抽样

9、信号的拉氏变换,37,5. s域平移特性(shifting in s-domain),与傅氏变换比较：,这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。,38,例,39,6 尺度变换特性(scaling),解法一：,40,解法二：,先尺度：,再延迟：,例:,41,7 初值定理(initial-value theorem),注意：,设 且 存在(F(s)为真分式),则,42,初值定理条件: 必须存在,时域中意味着 本身不能包含冲激。因为 的存在,不影响 的值 , 可把 移去后再应用初值定理, 即只取真分式。,43,解：,如果不用长除法，而直接用 则将得到 的错误结论。,44,8. 终值定理(expi

10、ration-value theorem),条件是 存在，这相当于 的极点都在复频域S平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话， 只能在原点处有单极点。,其极点 s = 在 s 平面的右半平面，不能用终值定理。否则会得到 的错误结果。,45,例如：,（在虚轴上）,所以，f(t)的终值不存在。,例：已知 ，试求 的终值。,解：因为 F(s) 的极点为 s=0，-1和-2，满足终值定理的条件。所以有,求终值首先判断极点位置!,46,9 卷积定理（convolution theorem ）,时域卷积定理,复频域卷积定理,其中：,47,解：,48,10 复频域微分(differentiation i

11、n s-domain),设：,则：,证明:,49,11. 复频域积分(integration in s-domain),证明:,设：,则：,50,法一. 按定义式求积分,51,法二. 利用线性叠加和时移定理,52,法三. 利用微分积分性质。,53,求单边拉氏变换.,54,4.4 拉普拉斯逆变换,拉普拉斯反变换的常用方法： 查表法 部分分式展开法 围线积分法留数法 利用拉普拉斯变换的性质,55,一、 简单的拉普拉斯反变换 直接应用典型信号的拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表4-2）得到。,56,例:,例:,57,解：,频域微分:,例：,58,常见的拉氏变换式一般形式为:,如果 A(s)

12、的阶次高于 B(s) 的阶次,可以用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和，例如,多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如,所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。,二、 部分分式展开法,59,1、极点为实数，无重根 (mn),式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数 ， pi为 的极点.,60,例：求下列函数的逆变换,解：将F(s)展开成部分分式形式,分别求K1,K2,K3,61,对于m n的情况,62,2、包含共轭复数极点,设：,则,其中：,由待定系数法求出。,其中：,63,例：求下列函数的逆变换,解：,64,上两式的分子应相等，即,解之得：,65,66,例：求下示函数的逆变换,67,6