2015届钻石卡学员全真模拟考试数学一答案

1、启用前2015 年全国硕士研究生入学统一考试（钻石卡学员全真模拟考试） 数学（一）答案 (科目代码：301)考生注意事项1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号.2.答案必须写在答题纸指定位置上，写在其他地方无效.3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔.4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回.一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1+ x3x 0,则曲线 y =()(1) 设 x(A) 有一条铅直渐近线和一条斜渐近线(C) 有一条

2、水平渐近线和一条斜渐近线【答案】(A) (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (D) 只有一条铅直渐近线 【解析】同侧的水平渐近线和斜渐近线至多有其一，不可共存，(C)错；铅直渐近线： x = a （ a: 无意义的点或端点）， lim y = .xa(1+ x3)本题中 lim y = limx0+x0+= +, 故 x = 0 为铅直渐近线；x(1+ x3)因 为 lim y = lim= +, 故无水平渐近线，(B)错； xx+x+(1+ x3 )y因 为 lim = lim = 1, 故曲线有斜渐近线，(D)错.x3x+ x故应选(A)x+(2) 设 f (1+ x) - 3 f

3、(1- x) = 8x(1+ | sin x |), 且 f (x) 可导，则 f (1) =()(B) -4(A) 0【答案】(C).(C) 2(D)不存在【解析】由于 f (x) 可导，故连续，等式两端 x 0 取极限，得f (1)- 3 f (1) = 0 f (1) = 0.等式两边同除 x, 并取极限得 f (1+ x) f (1- x)lim- 3lim= 8,xxx0x0 f (1+ x) - f (1) f (1- x) - f (1)lim+ 3 lim= 8,-xxx0- x0即得 f (1) = 2.故选(C)(x2 + y2 )cos1, x2 + y2 0f (x,

4、y) =x2 + y2在(0, 0) 处(3) 函数 (), x2 + y2 = 00针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨1(A) 有连续的偏导数 (C) 连续但偏导数不存在 【答案】(B) (B) 可微 (D)不连续但偏导数存在1| x | = 0,x2 cosf (x, 0) - f (0, 0) = lim【解析】(I) f (0, 0) = limxxxx0x01| y | = 0,y2 cosf (0, y) - f (0,0) = limf (0, 0) = limyyyy0y0则 f (x, y) 在(0, 0) 处偏导存在1lim f (x, y) = lim(x2 + y

5、2 ) cos= 0 = f (0, 0),x0 y0x0 y0x2 + y2所以 f (x, y) 在(0, 0) 处连续(II) 当 x2 + y2 0 时，1x1f (x, y) = 2x cos+sin,xx2 + y2x2 + y2x2 + y21y1f (x, y) = 2 y cos+sin,yx2 + y2x2 + y2x2 + y2又1x1lim f (x, y) = lim(2x cos+sin)xx01+ k2 | x |1+ k 2 | x |1+ k 2 | x |x0 y=kxx1= limsin(不存在)x01+ k 2 | x |1+ k 2 | x |所以li

6、m fx(x, y) fx(0, 0), 即 fx(x, y) 在(0, 0) 处不连续.x0 y0同理可证 f y(x, y) 在(0, 0) 处不连续.(III) f = f (x, y) - f (0, 0) = f (x, y), r =x2 + y2 ,1(x2 + y2 ) cosx2 + y2f (x, y)r1= lim r cos= 0,lim= lim= limrrr 0r 0r 0r 0x2 + y2故 f (x, y) 在(0, 0) 处可微.针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨2综上，故选(B).上有 f (0) = g (0) = 0, f (1) = g(1)

7、 = a 0,且 f (x) 0,g (x) 0, f (x) 凹， g (x) 0, g(x) 凸，且 f (0) = g(0) = ax |x=0 = 0, f (1) = g(1) = ax |x=1 = a,于是当 x 0,1 时， g (x) ax f (x), 从而有 I2 I3 I1, 故选(C).(5)设矩阵 A45 =(a1,a2,a3,a4,a5 )经过初等行变换化为如下行阶梯形1210053002-1 103-20A004520则()(A) 向量a1 不能由向量a2 ,a3 ,a4 线性表示 (B) 向量a2 不能由向量a2 ,a4 ,a5 线性表示 (C) 向量a3 不

8、能由向量a1 ,a2 ,a4 线性表示 (D) 向量a4 不能由向量a1 ,a2 ,a3 线性表示 【答案】(D)【解析】本题考查非齐次线性方程组解的判定或利用秩的性质来求解. 由 r (a1,a2 ,a3 ) = 2 , r (a1,a2 ,a3,a4 ) = 3则向量a4 不能由向量a1 ,a2 ,a3 线性表示或者利用： (a1,a2 ,a3 ) x = a4 无解 向量a4 不能由向量a1 ,a2 ,a3 线性表示即正确选项为 D.其余利用同样的方法均可验证.(6)设 A, B 均为 n 阶矩阵, A 可逆且 A 与 B 相似,则下列命题中 AB 与 BA 相似 A2 与 B2 相似

9、AT 与 BT 相似 A-1 与 B-1 相似针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨3()正确的个数有(A)1【答案】(D)(B) 2(D) 4(C) 3【解析】本题考查相似. A 可逆, A-1 ( AB) A = BA ,所以 AB 与 BA 相似 A 与 B 相似 存在可逆矩阵 P ,使得 P-1AP = B B2 = P-1APP-1AP = P-1A2P ,所以 A2 与 B2 相似 A 与 B 相似 存在可逆矩阵 P ,使得 P-1AP = B (P-1AP)T = BT即 AT 与 BT 相似 PT AT (P-1 )T= PT AT (PT )-1 = BT A 与 B 相似

10、 存在可逆矩阵 P ,使得 P-1AP = B (P-1 AP)-1 = B-1 P-1 A-1 (P-1 )-1 = P-1 A-1P = B-1即 A-1 与 B-1 相似 综上所述正确个数有 4 个.(7) 设随量 X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布 N (0,1) ，则()(A) PX + Y 0 = 14(C) Pmax( X ,Y ) 0 = 14【答案】(D). (B) PX - Y 0 = 14Pmin( X ,Y ) 0 = 14(D)【解析】由题设 X 与Y 相互独立，且 X N (0,1),Y N (0,1) ，故X + Y N (0, 2), X - Y N (0,

11、 2) . X + Y - 00 - 0PX + Y 0 = P = F(0) =1 ，因此选项(A)不正确.222同理， PX - Y 0 = 1 ，选项(B)不正确. 2Pmax( X ,Y ) 0 = 1 - Pmax( X ,Y ) 0 = 1 - PX 0,Y 0= 1- PX 0PY 0 = 1- e, 则 E( X + X ) = .-112【答案】2 .【解析】已知 X1, X 2 相互独立，且服从参数为l1, l2 的泊松分布，所以由题设得PX1 + X 2 0 = 1- PX1 + X 2 0 = 1- PX1 + X 2 = 0= 1- PX1 = 0, X 2 = 0

12、= 1- PX1 = 0PX 2 = 0= 1- e-l1 e-l2故l1 + l2 = 1.= 1- e-(l1 +l2 )= 1- e-1,E( X1+ X) = E( X + 2 XX 2+ X 2 )2 = E( X 2 1) + 2E( X )1E( X )2+ E( X 2 )222211D( X1 )E 2 ( X )2E( X )E( X )D( X )E (2X )11222= l + l +2 l l + l + l = (l + l ) + (l + l )2 = 2.22111 2221212三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答

13、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 9 分)设 f (x) 在 x = 12 的邻域内为可导函数，且lim f (x) = 0, lim f (x) = 998 ，求极限 x12x12()x12tf (u)du dt12tlim.(12 - x)312x12)(x12tf (u)du dtxf (u)du12t= lim【解析】limx 2 分(12 - x)3x12 -3(12 - x)2x1212f (u)du - xf (x)= limx 4 分6(12 - x)x12针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨7= lim - f (x) - f (x) - xf (

14、x) 6 分-6x12= 1 lim f (x) + 1 lim xf (x) = 1996 . 9 分3 x126 x12(16) (本题满分 9 分)求由曲线 y = 4 - x2 及 y = 0 所围成的图形绕直线 x = 3 旋转一周所得旋转体的体积.【解析】如图所示， 选择 y 为积分变量，且0 y 4 ，图中阴影部分绕直线 x = 3 旋转所成图形的体积为dv = (p PM 2 - p QM 2 )dy .注意到 x1 =- 4 - y , x2 = 2 分4 - y ，则 4 分dv = p(3 +4 - y )2 - (3 -4 - y )2 dy = 12p4 - ydy

15、， 7 分4所以V = 12p4 - ydy = 64p . 9 分0(17) (本题满分 10 分)设二元函数 f (x, y) 在单位圆区域 x2 + y2 1上有连续的偏导数，且在单位圆的边界曲线上取值为零， f (0, 0)=1 .f(I)令 x = r cosq , y = r sin q ，证明 xf (x, y) + yf (x, y) = r；xyrxfx(x, y) + yf y(x, y)ds ，其中区域 D 为圆环域：e 2 x +2 y 21 .(II)求极限 limx2+ y2e 0+Df= f x + f y =f cosq + f sinq ，两边同乘 r ，得【

16、解析】(I)因 xyrx ry rr f=f r cosq + f r sinq = xf + yf . 3 分rxyxy针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨8r f xx f (x, y) + yf (x, y)f rr2p (II) lim r 21s = limrdrdq = limdqyddr 5 分x2 + y2ee 0+e 0+e 0+0DD2p+ = lim f (r cosq , r sinq )dq1ee 002p2p= limf (cosq , sinq )dq -0f (e cosq ,e sinq )dq e 0+0因 f (x, y) 在单位圆的边界曲线上取值为零

17、，得 f (cosq , sinq ) = 0 ，再由积分中值定理，得 7 分原极限= lim-2p f (e cosq ,e sinq ) = -2p f (0, 0) = -2p . 10 分e 0+(18) (本题满分 11 分)设幂级数 a xn 在(-, +) 内收敛，其和函数 y(x) 满足 y - 2xy - 4 y = 0 ，且 nn=0y(0) = 0, y(0) = 1 .2(I)证明： a=a ,n = 1, 2, 3,L；n+2nn +1(II)求 y(x) 的表达式.【解析】(I)因幂级数在(-, +) 内收敛，故其和函数 y(x) 在(-, +) 内任意阶可导，故

18、有 y = na xn-1 , y =n(n -1)a= (n + 2)(n +1)an=0x n-2xn ， 1 分n+2nnn=1n=2于是得y- 2xy - 4 y = (n + 2)(n +1)an=0n+2nxn -2na x -4anxnnn=1n=020 = 2a - 4a +(n + 2)(n +1)an=1- 2(n + 2)a xn = 0 3 分n+2n na = 0 ，再由上式得 a = 0 .进而得 y(x)=a x 及 ny(0) = 0 ，得 由 02n=0(n + 2)(n +1)an+2 - 2(n + 2)an = 0,n = 1, 2, 3,L.2所以 a

19、n+2 = n +1 an ,n = 1, 2, 3,L. 5 分(II)由(I)知， a2 = a4 = L= a2n = 0,n = 1, 2, 3,L. 6 分针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨9由 y(0) = 1，得 a1 = 1，于是仍有(I)得a = a = 1, a = 2 a = 1 , a = 1 a = 1 , a = 1 , L, a1n!= 8 分2n+131537594233!4!2 n 1n!(x )n!n=0n=0所以 y(x)= an xn= ax=2n+1x= x2n+12= xex .11 分2n+1n=0n=0(19) (本题满分 11 分)求 (

20、 y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dz ，其中 L 为球面 x2 + y2 + z2 = 1在第一卦 L限部分的边界线，从球心看 L ， L 为逆时针.【解析】方法一：参数法，将 L 分成 3 段. 在 xoy 平面上的一段记为 L1 ，参数式为 x = cos t, y = sin t, z = 0 ，从t = p 到t = 0 . 3 分2( y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y )dz= p (sin t (-sin t) - cos2 t cos t)dt = 4 8 分 0223L12其它两段计算类似，

21、所以( y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dz=3 4 =4 . 11 分3L方法二：用斯托克斯公式，取曲面S：x2 + y2 + z2 = 1, x 0, y 0, z 0 ，法向量指向原点.于是 ( y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dzL= -2 ( y + z)dydz + (z + x)dzdx + (x + y)dxdy 4 分x + y 1, x 0, y 0.22S取(x + y)dxdyS于是 计算之. S 在 xoy 面上的投影 D = (x, y)xyp21(x + y)dxdy =

22、-(x + y)dxdy = -dqr2 (cosq + sinq )dr = -.2 8 分300SDxy其它两个类似，所以( y2 - z2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dz = (-2) (- 2 3=4 .) 11 分3L(20)(本题满分 11 分)已知向量组a1 = (1,2,1) ,a2 = (2,3, a) ,a3 = (1,a + 2, -2) 与向量组 TTTb = (1, 3, 0)T , b = (2,1, b)T 等价.12(I)求常数 a,b ；针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨10(II)求向量组 b1 , b2 由向量组a

23、1 ,a2 ,a3 线性表示的表达式.【解析】向量组等价以及线性表示，本题可以采用初等变换来求解. (I)123a1a + 2-21212-1a - 21a-311-12(a ,a ,a , b , b )=231 0-3 123121b0b-20 12-1 01aa2 - 2a - 311a -320-30-3a + b + 4由向量组a1 ,a2 ,a3 与向量组 b1 , b2等价且 r (a1,a2 ,a3 ) 2 , r (b1, b2 ) 2(a1,a2,a3 ) X = (b1, b2 )有解,解得： a = 3-3a + b + 4 = 0 , b = 52 分3 分(II)由

24、(I)得：112112 1-323315-22-1 0130(a ,a ,a , b , b )=231 0 12312150000 得(a1,a2 ,a3 ) x = b1 相应齐次线性方程组基础解系为： x = (-7, 3,1)T(a1,a2 ,a3 ) x = b1 特解为：h = (3, -1, 0)T5 分 7 分得1, 2,x7,3,12 相应齐次线性方程组基础解系为： 3T1, 2 ,x4, 3, 02 特解为：32T9 分则： b1 = (-7k + 3)a1 +(3k -1)a2 + ka3 ,其中k 为任意常数.b2 = (-7l - 4)a1 + (3l + 3)a2

25、+ la3 ,其中l 为任意常数.(21)(本题满分 11 分)设 A 为 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0 ，并且(1, 2, -1)T 是特征值l = 2 的一个特征向量.(I) 求 A ； 11 分针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨11(II)求正交矩阵 P ，使 PT AP 为对角矩阵；(III)设 x = ( x , x , x )T ，求在条件= 2 下的 xT Ax 的最大值.x123【解析】 0x2 1 0x2 1 1 x10x10(I)设 A = xx ，由 A 2 =xx2 =2 2 3 3 11x0 -1x0 -1-1xx 23 2 32x1 - x2 =2

26、x1 2 = 2得方程组： x - x = 4 解 得 ： x 2 13 -22+ 2x3= -2x 3 020-22所以 A = 2-23 分20(II)l-2-2-2l2-2 2l-2l4-2211= (l - 2) 0= (l - 2) 0lE - Al2= -22ll + 2-210= (l - 2)(l 2 + 2l - 8) = (l - 2)2 (l + 4) = 0解得： l1,2 = 2 , l3 = -4-22-2(2E - A)000000()()= (1, 0,1)Tx = 1,1,0xT解得齐次线性方程组 2E - A x = 0 的基础解系为： 12 -4-2-4-

27、2221111(-4E - A)=-2 0-33 01-12 -2-403-30020 解得齐次线性方程组4EA x0 的基础解系为： 3 =1,1,1T,仅需把x1 ,x2 正交化,然后所有向量单位化即可.()令 b = x = 1,1, 0T11 1 1111(b ,x )b =0 -1 =-1b = x -12 2 2 (b , b )22110 2 11 1 -111b =2 1， g166 13 1g =bg =x =-1 ， 112233230 2 1 针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨12x3b2b1 23 6 6- 6 663-23) = 2 3 333P = (g,g

28、,g123202则 PT AP = 27 分-4(III)由(II)得：令 x = Py (矩阵 P 可逆,则 x, y 的值具有一一对应的关系)则 yT y = yT PT Py = ( Py )T Py = xT x =2 = 4x()xT Ax = 2 y 2 + 2 y- 4 y= 2 4 - y- 4 y= 8 - 6 y22222123333显然 y30 时, xT Ax 取最大值8.(22) (本题满分 11 分)11 分0 2x y 2,其他 1设二维随量( X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y) = ，求0,(I) X ,Y 的边缘概率密度 f X (x), fY ( y) ；(II) Z = 2 X - Y 的概率密度 fZ (z) ； (III) PY 12X 1. 220 x 1, = 2(1- x),0 x 1,dy,+-【解析】(I) f (x) =f (x, y)dy =2 x2 分X0,其他 其他 y y0 y 2,其他 0 y 2, = 2,dx,+2-f ( y) =f (x, y)dx = 04 分Y 0,0,其他(II)先求 Z 的分布函数 FZ (z) . 当 z -2 时，