“PA+k_PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)

1、.“PA+kPB”型的最值问题当 k 值为 1 时，即可转化为 “PA+PB”之和最短问题， 就可用我们常见的 “将军饮马 ”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当 k 取任意不为1 的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2 类研究。其中点 P 在直线 上运动的类型称之为“胡不归 ”问题 ；点 P 在圆周 上运动的类型称之为“阿氏圆 ”问题 。一、“将军饮马”模型“将军饮马 ”：把河岸看作直线 L，先取 A（或 B ）关于直线 L 的对称点 A（或 B），连接 AB（或 BA），并与直线交于一点 P，则点 P 就是将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。例 1.如图

2、，在锐角 ABC 中， AB=4 ， BAC=45 ， BAC的平分线交 BC 于点 D， M 、N 分别是AD 和 AB 上的动点，则BM+MN的最小值是。例 2. 如图，在矩形 ABCD 中，AB 10，AD 6 ，动点 P 满足 SPAB 1S3矩形 ABCD ，则点 P 到 A ， B 两点距离之和PA+PB 的最小值为例 3.如图，AOB=30 ，点 M 、 N 分别是射线OA 、 OB 上的动点， OP 平分 AOB ，且OP=6 ， PMN的周长最小值为；当 PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为。变式：“造桥选址”模型例 4.如图，已知直线a b，且a 与 b 之间

3、的距离为4 ，点 A 到直线a的距离为2，点B 到直线b 的距离为3， AB= 230 试在直线a 上找一点 M ，在直线b 上找一点N ，满足MN a 且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为。例 5.如图， CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2 ，点A（ 4 ，0），连接 AC 、AD ，设 C 点横坐标为m，求 m 为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值。.二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他， 在弥留之际，老人在不断喃喃地

4、叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图） A 是出发地，B 是目的地； AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB 。但是，他忽略了在驿道上 （V1）行走要比在砂土地带 （V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线 （尽管这条路线长一些， 但速度可以加快） ，是可以提前抵达家门的。解题步骤：将所求线段和改写为“BD V2 AD”的形式（ 0 V2 1）；V1V1在 AD 的一侧， BD 的异侧，构造一个角度，使得 sin V2 ；V1过 B 作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值例 6.如

5、图，ABC 中， BC=2, ABC=30 ，则2AC+AB的最小值为。例 7.如图，四边形ABCD是菱形， AB=4 ，且 ABC=60 ， M为对角线1BD （不含B 点）上任意一点,则AM+BM 的最小值为。2例 8. 如图，等腰 ABC 中， AB=AC=3 ， BC=2 ， BC 边上的高为AO ，点 D 为射线 AO 上一点，一动点P 从点 A 出发，沿 AD-DC运动，动点P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒， 动点 P 在 CD 上运动的速度为1 个单位每秒， 则当 AD=.时，运动时间最短为秒。 中考真题1.（ 2016?徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax

6、2+bx+c的图像经过点A （ -1 ， 0）， B（ 0， -3 ）、 C（ 2， 0），其中对称轴与x 轴交于点D 。若 P 为 y 轴上的一个动点，连接PD ，则 1 PBPD 的最小值为。22. （ 2014. 成都）如图，已知抛物线83x2 x4 与 x 轴从左至右依次交于点A 、y9B ，与 y轴交于点C ，经过点B 的直线y3x43 与抛物线的另一个交点为33D（ -5 ， 33 ）。设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点 A 出发，沿线段AF 以每秒 1 个单位的速度运动到F，再沿线段 FD 以每秒2 个单位的速度运动到D 后停止， 当点 F 的坐

7、标为时，点 M 在整个运动过程中用时最少？.三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA=kPB（ k 1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图所示2-1-1 ， O 的半径为r, 点A 、B都在 O 外， P 为 O 上的动点，已知r=k OB. 连接PA 、 PB ，则当“PA+k PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？图2-1-1图2-1-2图2-1-3本题的关键在于如何确定“ kPB ”的大小， （如图2-1-2 ）在线段OB 上截取OC使OC=k r, 则可说明BPO与 PCO相似

8、，即k PB=PC 。本题求“PA+k PB ”的最小值转化为求“PA+PC ”的最小值，即A 、 P、C 三点共线时最小（如图2-1-3 ），本题得解。“阿氏圆 ”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1 的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接 OP、 OB ；第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、 OB 长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPk ；OB第四步：在OB 上取点 C，使得 OCOPk ；OPOB第五步：连接AC ，与圆 O 交点即为点P例 9. 如图，点 A 、B 在 O 上，且 OA=OB=6 ，且 OA OB ，点C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上

9、，且 OD=4 ，动点 P 在 O 上，则 2PC+PD的最小值为.例 10.如图，半圆的半径为1 ， AB 为直径，AC 、 BD为切线，AC=1 ， BD=2 ， P 为弧AB 上一动点，求2PC+PD 的最小值2为例 11.（ 1 ）【问题提出】：如图1，在 Rt ABC 中， ACB 90， CB 4， CA 6， C 半径为2， P 为圆上一动点，连结AP ， BP，求 AP1 BP 的最小值为2（ 2 ） . 【 自 主 探 索 】 ： 在 “问 题 提 出 ”的 条 件 不 变 的 情 况 下 ，为1 APBP 的 最 小 值3（ 3 ） .【拓展延伸】：已知扇形COD中， CO

10、D 90o， OC 6 ， OA 3， OB 5，点 P 是 CD 上一点，则2PA PB 的最小值为【模型类比】 “胡不归 ”构造某角正弦值等于小于1 系数起点 构造所需角（ k=sin CAE ） - 过终点作所构角边的垂线 - 利用垂线段最短解决 “阿氏圆 ”构造共边共角型相似构造 PAB CAP推出PA 2= AB ? AC即：半径的平方=原有线段构造线段.拓展：“费马点”问题背景资料：在已知 ABC 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点 ”如图，当 ABC 三个内角均小于120时，费马点P 在 ABC 内部，此时 APB= BPC= CPA=120 ，此时， PA+PB+PC 的值最小解决问题：（ 1 ）如图，等边 ABC 内有一点P，若点P 到顶点A 、 B 、 C 的距离分别为3，4， 5，求 APB 的度数为了解决本题，我们可以将 ABP 绕顶点A 旋转到 ACP处，此时 ACP ABP ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA ，PB ，PC 转化到一个三角形中，从而求出APB=；基本运用：（ 2 ）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问