2020届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）VIP

1、2020届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）2020届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题 一、单选题 1若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）a b c d 答案b 解析直接利用复平面的对称得到答案. 详解 数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 故选：点睛 本题考查了复平面的对称问题，属于简单题. 2已知集合，若，则实数的值为( ) a或 b或 c或 d或 答案d 解析根据集合并集的定义即可得到答案. 详解 集合，且，所以或. 故选：d 点睛 本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题 3若，则（ ）a b c d 答案c 解析根据得到，再

2、利用二倍角公式得到答案. 详解 ， 故选：点睛 本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力. 4已知命题：，则为（ ）a， b， c， d， 答案d 解析直接利用全称命题的否定定义得到答案. 详解 命题：，则为：， 故选：点睛 本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力. 5某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在50，100内，按得分分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( ) a b c d 答案a 解析根据频率分布直方图求得中位数

3、即可. 详解 在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：. 故选：a 点评 本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题 6设等差数列的前项和为，且，则( ) a b c d 答案d 解析将s9，s5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论. 详解 由等差数列的前项和为，且，3. 故选：d 点睛 本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题 7已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) a若，且，则 b若，且，则 c若，且，则 d若，且

4、，则 答案c 解析由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案 详解 由m，n，且，得mn或m与n异面，故a错误；由m，n，且，得mn或m与n相交或m与n异面，故b错误；由m，得m，又n，则mn，故c正确；由m，n且，得mn或m与n相交或m与n异面，故d错误 故选：c 点睛 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题 8将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( ) a b c d 答案a 解析利

5、用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 详解 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象. 故选：a 点睛 本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 9已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为( ) a b c d 答案b 解析抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可. 详解 由抛物线方程，得其准线方程为：，设， 由抛物线的性质得，中点的横坐标为， 线段的中点到轴的距

6、离为：. 故选：b 点睛 本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题 10已知，则( ) a b c d 答案c 解析利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c1 详解 ，且=， 故选：c 点睛 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题 11已知直线与双曲线：相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）a b c2 d 答案b 解析如图所示：为双曲线右焦点，连接，计算得到，再利用余弦定理得到，化简得到答案. 详解 如图所示：为双曲线右焦点，连接，根据对称性知 ， 在和中，分别利用余弦定

7、理得到：， 两式相加得到 故选： 点睛 本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出是解题的关键. 12已知定义在上的函数满足，当时，若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）a b c d 答案a 解析根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案. 详解 当时， 函数在上单调递减，在上单调递增，且 ，函数关于对称，过定点 如图所示，画出函数图像：当与相切时，设切点为 则 根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时 故答案为 故选： 点睛 本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键. 二、填空题 13

8、已知实数满足约束条件，则的最大值为_. 答案6 解析作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值 详解 作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分） 由得yx+z，平移直线yx+z， 由图象可知当直线yx+z经过点a时，直线yx+z的截距最大，此时z最大 由，解得a（2，2），代入目标函数zx+2y得z22+26. 故答案为：6 点睛 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题 14设正项等比数列满足，则_. 答案 解析将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a

9、1，q，进而可以得到an 详解 在正项等比数列中， 得，解得，an33n13n. 故答案为：3n 点睛 本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题 15已知平面向量，满足，且，则向量与的夹角的大小为_. 答案 解析根据得到，计算得到答案. 详解 设向量与的夹角为， 故答案为：点睛 本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力. 16如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，现将，分别沿，折起使点，重合，重合后记为点，得到三棱锥则三棱锥的外接球体积为_ 答案 解析根据两两垂直得到，代入体积公式计算得到答案. 详解 易知两两垂直， 将三棱锥放入对应的长方体内得到 故答案为：点睛

10、 本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 三、解答题 17在中，角的对边分别为，且. （1）求的值；（2）若的面积为，且，求的周长. 答案（1）；（2）解析（1）由已知条件结合余弦定理可求cosa的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sina的值 （2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长 详解 （1），由余弦定理可得2bccosabc，cosa， 在abc中，sina （2）abc的面积为，即bcsinabc，bc6， 又sinb3sinc，由正弦定理可得b3c，b3，

11、c2，则a2b2+c22bccosa6， ，所以周长为. 点睛 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5g手机购买意向的调查，将计划在今年购买5g手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5g手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人. （）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关； 属于“追光族” 属

12、于“观望者” 合计 女性员工 男性员工 合计 100 （）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案（）表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（）解析（）完善列联表，计算得到结论. （）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，列出所有情况计算得到答案.

13、 详解 （）由题，列联表如下： 属于“追光族” 属于“观望者” 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 ， 没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关. （）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，”.则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；”共20种. 其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；”共9种. 抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率. 点睛 本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，分别为

14、，的中点 （）证明：平面；（）点在棱上，且，证明：平面 答案（）证明见解析（）证明见解析 解析（）证明和得到平面. （）根据相似得到证明平面. 详解 （）如图，连接.底面为菱形，且， 三角形为正三角形. 为的中点，.又平面，平面， . ，平面，平面. （）连接交于点，连接. 为的中点，在底面中，. ，在三角形中，. 又平面，平面， 平面. 点睛 本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 20已知函数，为函数的导函数. （）讨论函数的单调性；（）当时，证明对任意的都成立. 答案（）见解析（）证明见解析 解析（）求导得到讨论，和四种情况得到答案. （）要证明即，求导得到

15、函数 得到证明. 详解 （）. ， 当时，函数在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增， 在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减， 在内单调递增. （）当时，. . 令，则. 令，函数在内单调递增， 存在唯一的，使得. 当时，；当时，；函数在内单调递减，在内单调递增. 又， ，即对任意的都成立. 点睛 本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键 21已知椭圆：的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，为线段的中点，直线与直线的交点为. （）求四边形（为坐标原点）面积的

16、取值范围；（）证明直线与轴平行. 答案（）（）证明见解析 解析（）令直线：，联立方程利用韦达定理得到，换元带入化简得到答案. （）直线的方程为，令得，.代入（）中式子化简得到答案. 详解 （）由题，令直线：，. 联立消去，得. ， . 四边形的面积. 令，. （当且仅当即时取等号），. 四边形面积的取值范围为. （），. 直线的斜率，直线的方程为. 令得，. 由（），. ，. 化简，得. 直线与轴平行. 点睛 本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的

17、正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的两点，求的面积. 答案（1）曲线：，曲线：；（2）解析（1）由题意，点q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合2x2+y2，xcos，ysin，可得曲线c1，c2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设a，b的极径分别为1，2，求得|ab|12|，再求出m（3，）到射线的距离h，即可求得mab的面积 详解 （1）由题意，点q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线c2：， 2x2+y2，xcos，ysin，曲线c1的极坐标方程为4sin，曲线c2的极坐标方程为4cos；（2）在极坐标系中，设a，b的极径分别为1，2， 又点到射线的距离为 的面积 点睛 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于