二次型及其矩阵表示.ppt

1、第6章 二次型,6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 二次型的标准形 6.3 惯性定理和二次型的正定性 总结 习题课,在上一节中，数域P上的任一二次型，都可经过 适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。,问题：能否找到有关标准形的不变量？,P148例1与P152例4,6.3.1 惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质,定义6-4：在实二次型的标准形中，正平方项的项数p 称为二次型的

2、正惯性指数；负平方项的项数q=r-p（ r为二次型的秩）称为二次型的负惯性指数；它们的 差p-q=2p-r称为二次型的符号差。,注：类似可以定义实对称矩阵的正惯性指数、 负惯性指数以及符号差。,推论6-1 两二次型可以经过非退化线性变换互相变换 的充要条件是：它们具有相同的秩和正惯性指数。,推论6-2 两个实对称矩阵合同的充要条件是： 它们具有相同的秩和正惯性指数。,6.3.2 二次型的规范形,二次型经过适当的非退化线性变换（包括改变变量 的次序），总可以变为标准形,由于在实数域中，正数可以开平方，在作一次非退化 线性变换,此为实二次型的规范形。,定理6-5 任一实数域上的n元二次型，总可以经

3、过非 退化线性变换变为规范形，且规范形是惟一的。,定理6-6 任一实对称矩阵A必合同于一个形如,的对角矩阵，其中p+q=r=R(A)，p是正惯性指数， q是负惯性指数。,小结,1.秩、正负惯性指数都是实二次型的不变量。,2.实二次型的规范形惟一。,为正定二次型,为负定二次型,6.3.4 正定二次型,例如,注：本节的二次型都是实二次型。,证明,充分性,故,定理1 n元实二次型 为正定的充分必要条件 为：它的标准形的n个系数全为正。,必要性,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,推论1 n元实二次型正定的充分必要条件是， 它的规范形为,推论2 n元实二次型正定的充分必要条件是

4、， 它的正惯性指数为n。,6.3.5 正定矩阵,定义2 设A是实对称矩阵，如果二次型 是 正定二次型，则称A是正定矩阵。,定理2 实对称矩阵A正定的充要条件是,定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是：存在可逆 矩阵C，使得,证明：由推论2。,定理4对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,证明：因为任何n元实二次型 都可经过 正交线性替换 化为标准形,例1 设A正定，则A可逆，且 也正定。,证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆C，使得,下面给出正定矩阵的必要条件和充分必要条件,定理5（必要条件）设A为正定矩阵，则,(1) A的主对角元素,(2) A的行列式,证明：,(2)因为A是正定矩

5、阵，所以存在可逆C，使得,注：此定理只是必要条件，,虽满足,但A不是正定矩阵。,称为A的k阶顺序主子式。,定义3 设 是一个n阶矩阵，如果A的k阶子式,的行标等于列标，即 ，则称为 k阶主子式（principal minor），其中主子式,这个定理称为霍尔维茨定理,定理6（充分必要条件） 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式全为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,6.3.6 其他类型的实二次型,定义4 设 为n元实二次型，对于 任意一个非零向量x，,

6、(1) 都有 ，则称f是半正定的；,(2) 都有 ，则称f是负定的；,(4) 如果 既不是半正定也不是半负定， 则称f是不定的。,(3) 都有 ，则称f是半负定的；,注：以上二次型对应的对称矩阵分别叫做半正定矩阵， 负定矩阵，半负定矩阵。,定理7 对于n元实二次型f，下列命题等价：,f负定； f的负惯性指数是n，即其规范形为 f的矩阵A的特征值全小于0； f的矩阵A的的顺序主子式 满足 即，奇数阶顺序主子式小于0， 偶数阶顺序主子式大于0，,定理8 对于n元实二次型f，下列命题等价：,f半正定； f的正惯性指数是n，即其规范形为 f的矩阵A的特征值全大于等于0，且至少有一个 特征值为0。 (4)f的矩阵A的的顺序主子式全大于等于0， 且至少有一个等于0。,解,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值