材料力学赵振伟弯曲变形

1、,第七章 弯曲变形,1 梁变形的基本概念 挠度和转角 2 挠曲线近似微分方程 3 积分法计算梁的变形 4 叠加法计算梁的变形 5 简单超静定梁,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。,三、转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。,q,用“y” 表示。,q,7-1 梁变形的基本概念 挠度和转角,y = y（x） 挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。,=(x) 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠曲线为

2、一条平坦的曲线,一、曲率与弯矩的关系：,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得,7-2 挠曲线近似微分方程,挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”以及 对变形的影响,使用条件：弹性范围内工作的细长梁。,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,7-3 积分法计算梁的变形,步骤：（EI为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,连续条件：,边界条件：,（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于

3、零。,（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程 。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。,解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程,b) 写出微分方程并积分,c) 应用位移边界条件求积分常数,d) 确定挠曲线、转角方程,e) 自由端的挠度及转角,y,L,F,C,解：a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）,左侧段（0 x1a）：,右侧段（ax2L）：,e) 跨中点挠度及两端端截面的转角,d) 确定挠曲线

4、和转角方程,c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数,x = 0 , y = 0 ; x = L , y = 0 . x1 = x2 = a ，y1 = y2 ；y1 = y2,两端支座处的转角,讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。,左 侧 段：,右 侧 段：,当 ab 时,当 ab 时最大挠度发生在AC段,2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出微分方程并积分,c)应用位移边界条件求积分常数,d)确定挠曲线和转角方程,e)最大挠度及最大转角,x=0 , y=0 ; x=L , y=0 .,例：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角 ( E

5、I = 常数 ）,梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。,弯矩：,弯矩的叠加原理- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,7-4 叠加法计算梁的变形,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、前提条件：弹性、小变形。,二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征：,叠加法计算梁的变形,=,+,例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解、a)载荷分解如图,b)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。,c)叠加

6、,=,+,例：求图示梁C截面的挠度。,解：1、载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、叠加,=,+,例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。,解：1) 结构分解如图,2) 查梁的简单载荷变形表,3) 叠加,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。,、校核刚度：,、设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、刚度计算,、确定外载荷。,75 梁的刚度计算,在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素

7、：,材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂）,1、增大梁的抗弯刚度（EI）,2、调整跨长和改变结构,方法同提高梁的强度的措施相同,三、提高梁的刚度的措施,3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）,注意： 同类的材料，“E”值相差不多，“j x”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。 不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,例 一简支梁荷载如图示已知材料的许用应力160 MPa，许用挠度w=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢的型号。,解： 1、作出梁