兰州大学姜孟瑞电动力学 1-2 电流和磁场.ppt

1、第二节 电流和磁场,Electric Current and Magnetic Field,本节主要讨论磁场的基本规律，因为磁场是与电流相互作用的，而Amperes law在静磁学中的地位同Coulombs law 在静电学中的地位相当，所以，这节中的电流元相当于上节中的点电荷，在讨论磁场规律之前，先讨论电流分布的基本规律。,一、电荷守恒定律,1. 电流的描述,（1）电流强度 I：,对于导线中的电流，用电流强度描述完全可以满足要求，但对于横截面不能忽略的导体来说，仅用电流强度描述太粗略了。,单位时间内穿过某一横截面的电量。,I = dq/dt,（2）电流密度矢量J ：,大小：它等于单位时间垂直

2、通过单位面积的,方向：沿着该点的电流方向。,电量。,2. I 和 J 的关系,由电流密度 I 的定义，可知,通过面元 dS 的电流dI为：,通过任一曲面S的总电流强度 I 为：,所以，电流强度就是电流密度的通量。,讨论：,a. 电流由一种运动带电粒子构成，,b. 电流由几种带电粒子构成，,J =v,3.电荷守恒定律,所以,这是电荷守恒定律的积分形式。,若在通有电流的导体内部，任意取一小体积V，包围这个体积的闭合曲面为S。,而流出去的电量应该等于封闭曲面S内总电荷在,S曲面流出去的电量为：,单位时间内穿过,单位时间内的减少量,应用高斯定理，将闭合面的通量化为体积分，即：,这就是电荷守恒定律的微分

3、形式，称为电流连续性,由此可得：,由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即,方程。,讨论：,1. 当V是全空间，S为无穷远界面，由于在S上没有电流,表示全空间的总电荷守恒。,2. 当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化，,即有,因此，,这就表示恒定电流的场线处处连续，因而是闭合的。,流出，则有,二、毕奥萨伐尔定律,1. 磁场:电流之间存在作用力,这种作用力是通过一,2. 恒定电流激发磁场由毕奥萨伐尔定律给出。,设J(x)为源点x上的电流密度，r为由x点到场点x的距离，则场点上的磁感应强度为,种物质作为媒介来传递,这种特殊物质称为磁场.,若激发磁场的源是面电流,则毕奥萨伐尔定律为,对于

4、细导线上恒定电流激发的磁场,毕奥萨伐尔,三、磁场的环量和旋度,1.安培环路定理：,注：当电流连续分布时，环路定理表达为：,定律为,2.磁场的旋度,根据旋度的定义，我们可以得到,上式是恒定磁场的一个基本微分方程。,四、磁场的散度,由电磁学知识，我们知道由电流激发的磁感应线,这说明磁场是无源场。（无散场）,其微分形式为,总是闭合曲线。因此，磁感应强度是无源场。,五、磁场旋度和散度公式的证明,1.用毕奥萨伐尔定律推导磁场散度,由毕奥萨伐尔定律出发：,注意算符对x的微分算符，与x无关,由附录知识,因此,式中,由附录知识可以求得,2.计算B的旋度,由附录(2.14)式和附录(1.25)式，,注意不作用于

5、J(x)上，得,先计算A。由附录(2.15)式和附录(1.19)式，,由于,因而对r的函数而言,对x微分与对x微分仅差一负号,用附录(1.19)式可得,因此，,上式右边第一项可以化为面积分，由于积分区域包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积积分为零。在右边第二项中，由恒定电流的连续性，因此这积分也等于零。,所以,再计算2A，由(2.15)式可得,由直接计算得，当r0时，,因此上式的被积函数只可能在x x点上不为零，因而体积分仅需对包围x点的小球积分。这时可取J(x)= J(x) ，抽出积分号外，而,注意r是由源点x指向场点x的径矢，它和面元dS反向，因此上式为,因此，,由上面的式子我们可以得出,磁场的旋度得以求证。,例：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求,解：在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心,先求磁感强度：,(1) 当ra时，通过圆内的总电流为I，用安培环路,在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应,强度有相同数值，并沿圆周环绕方向。,定理得,空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度。,(2) 若ra,则通过圆内的总电流为,应用安培环路定理得,式中e为圆周环绕方向单