人教A版数学名师一号选修2-21.3.1.ppt

1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数,自学导引(学生用书P18),了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.,课前热身(学生用书P18),函数的单调性与其导数的关系 在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内_;如果_,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;若恒有_,则函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.,单调递增,f(x)0,f(x)=0,名师讲解(学生用书P18),1.求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f(x),令f(x)=0,解此方程,求

2、出它在定义域内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即包括f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;,(4)确定f(x)的各个小区间内的符号,根据f(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 2.利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间.,(2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. (3)如果一个

3、函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“”联系,而只能用“逗号”或“和”字隔开. (4)一般地,在判断函数的单调性时,如果出现个别点使f(x)=0不影响包括该点在某个区间上的单调性.如f(x)=x3,f(x)=3x20,而f(0)=0,但增区间为(-,+),因此f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.,典例剖析(学生用书P18),题型一 求函数的单调区间,例1:求下列函数的单调区间. (1)f(x)=ax2+bx+c(a0); (2)f(x)=3x2-2lnx.,分析:求出导函数f(x),由f(x)0,得增区间.由f(x)0,得减区间.,规律技巧:求函数单调区间的步骤:

4、 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导函数f(x); (3)由f(x)0得函数f(x)的增区间,由f(x)0得函数f(x)的减区间.,解:(1)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令f(x)0,得x1或x-1. 令f(x)0,得-1x1. f(x)的增区间为(-,-1),(1,+),减区间是(-1,1).,题型二 已知函数的单调性,求字母参数的取值范围,例2:已知函数 ,x(0,1,若f(x)在(0,1上是增函数,求a的取值范围.,规律技巧:(1)若函数f(x)在某个区间上单调递增,则f(x)0在该区间上恒成立;若函数f(x)在某个区间上单调递减,则f(x)0在该区间上恒成

5、立. (2)本题中用到了一个非常重要的转化,即若mf(x)恒成立mf(x)的最大值;若mf(x)恒成立mf(x)的最小值.,变式训练2:若函数f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,求a的取值范围.,题型三 函数单调性的应用 例3:求证:函数f(x)=ex-x+1在(0,+)内是增函数,在(-,0)内是减函数. 分析:先求导数,再推证在该区间内导数恒大于零或恒小于零,即可证明函数单调性问题.,证明:由f(x)=ex-x+1,得f(x)=ex-1. 当x(0,+)时,ex-10,即f(x)0, f(x)在(0,+)内是增函数. 当x(-,0)时,ex-10,即f(x)0, f(x)在(-,

6、0)内是减函数.,变式训练3:求证:函数y=xcosx-sinx在(0,)内是减函数. 证明:y=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 当x(0,)时,sinx0, -xsinx0,即y0,在(0,)内恒成立. 函数y=xcosx-sinx在(0,)内是减函数.,技能演练(学生用书P19),基础强化,1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.在(0,)上增,在(,2)上减 D.在(0,)上减,在(0,2)上增,解析:f(x)=1-cosx0在(0,2)上恒成立,f(x)在(0,2)上为增函数.,答案:A,答案:C,3.若在区间(a,b)内有

7、f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)0 B.f(x)0. 答案:A,4.设f(x)在(a,b)内可导,则f(x)0是f(x) 在(a,b)内单调递减的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案:A,解析:f(x)在(a,b)内有f(x)0,则f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a,b)内单调递减,则f(x)0.f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.,5.设f(x)是函数f(x)的导数,y=f(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( ),解析:分析导函数y=f(x)

8、的图象可知,x0,y=f(x)在(-1,1)内为增函数;当x1时,f(x)0,y=f(x)在(1,+)上为减函数,只有B符合条件. 答案:B,6.已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于_.,-4,解析:f(x)=x2+2xf(1), f(x)=2x+2f(1). f(1)=2+2f(1),f(1)=-2. f(x)=2x-4,f(0)=-4.,7.已知导函数y=f(x)的图象如下图所示,请根据图象写出原函数y=f(x)的递增区间是_.,(-1,2),(5,+),解析:由图象可知,当-15时,f(x)0,f(x)的递增区间为(-1,2)和(5,+).,8.下列命题中,正确的是_. 若f

9、(x)在(a,b)内是增函数,则对于任何x(a,b),都有f(x)0; 若在(a,b)内f(x)存在,则f(x)必为单调函数; 若在(a,b)内的任意x都有f(x)0,则f(x)在(a,b)内是增函数; 若x(a,b),总有f(x)0,则在(a,b)内f(x)0.,能力提升,9.已知x1,求证:xlnx.,10.若函数 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+)上为增函数,试求实数a的取值范围.,解:函数f(x)的导数f(x)=x2-ax+a-1. 令f(x)=0,解得x=1或x=a-1. 当a-11即a2时,函数f(x)在(1,+)上为增函数,不合题意. 当a-11即a2时,函数f(x)在(-,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+)上为增函数.,依题意应有当x(1,4)时,f(x)0. 所以4a-16,解得5a7. 所以a的取值范围是5,7.,品味高考,11.(2009湖南高考)若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数,则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是( ),解析:依题意知,f(a)f(b),说明函数y=f(x)在区间a,b增长的越来越快,因此A适合. 答案:A,12.(2009北京高考)设函数f(x)=xe