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文档简介

1、第四章 函数的连续性,4.1 连续性概念,4.2 连续函数的性质,4.3 初等函数的连续性,4.1连续性概念,一、函数在一点的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义; 2.极限存在,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,例4 证明,证,只须证明,二、函数的间断点,间断=不连续,1.在x0 及其附近定义; 2

2、.极限存在,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例7,解,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为跳跃间断点.,G,间断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断

3、点称为无穷间断点,G,间断的演示,：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10 讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,3.间断点的分类与判别;,间断点,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,(见下图),第一类间断

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