高三数学教案函数的极值(2)

1、课题：教学目的：3 7 函数的极值 (2)1. 熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用教学重点： 极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握教学难点： 求可导函数的极值.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：C 0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x2.法则 1u( )(x) u (x)v( ) xvx法则 2u(x)v( x)u ( x)v(x) u( x)v (x) , Cu (x) Cu ( x)uu vuv 法则 3(v0)vv23.复合函

2、数的导数： 设函数 u=(x)在点 x 处有导数 u x= (x)，函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y u=f (u)，则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数，且 yxyu u x 或 f x( x)= f(u) ( x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代5. 对数函数的导数：(ln x)1(log ax)1 log a exx6.指数函数的导数：(ex ) ex( ax )a x ln a7. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 y / 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数； 如果在这

3、个区间内 y / f (x1 )（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点12. 判别 f( x0)是极大、极小值的方法 :若x0 满足 f( x0 ) 0，且在 x0的两侧 f ( x) 的导数异号， 则 x0 是 f (x)的极值点，f ( x ) 是极值，并且如果f( x)在 x0两侧满足“左正右负” ，则 x0是0f ( x) 的极大值点，f ( x0 ) 是极大值；如果 f( x) 在 x0两侧满足“左负右正” ，则 x0 是 f ( x) 的极小值点，f ( x0 ) 是极小值13. 求可导函数

4、f(x)的极值的步骤 :(1)确定函数的定义区间，求导数f (x)(2)求方程 f (x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值二、讲解范例：例 1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的()A. 充分条件B. 必要条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件答案： C. 充要条件由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件.由极大值点

5、的定义，任意x x00， f( x) f(x )所以左侧是增函数，所以f (x) 0，任意 xx0，f(x) f( x0).第 2页共 7页所以右侧是减函数，所以f (x) 0，所以 x0 两侧的导数异号当 x0 是极小值时，同样可以证明例 2 下列函数中， x=0 是极值点的函数是(B)A. y= x3B.y=cos2 xC.y=tanx x1D.y=x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断 x=0 是否是极值点，只要看 x=0 点两侧的导数是否异号就可以了 . 解： A. y= x3 ， y =( x3) = 3x2，当 x 0 或 x 0 时， y

6、0 x=0 不是极值点B. y=cos2x. y =(cos2x)=2cosx( sinx)= sin2x. 当 x 0 时， sin2x 0， y 0. 当 x0 时， sin2x 0， y 0. x=0 是 y=cos2x 的极大值点1 1,当 x 0 或 x 0 时， 0 cos2xC. y=tanx x， y=(tan x x) =cos2x 1， y 0. x=0 不是极值点111D. y=. y =() =, 当 x 0 或 x 0 时， y 0，xxx2 x=0 不是极值点故选 B例 3 下列说法正确的是(C)A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一

7、定是极大值C.对于 f(x)= x3+px2+2 x+1，若 p6 ，则 f(x)无极值D.函数 f(x) 在区间 (a， b)上一定存在最值答案： C f(x)=x3+px2+2x+1. f( x)=3 x2+2px+2. =4p2 4 32=4(p2 6)若 p6 .则 0， f (x)=0 无实根，即f (x) 0 f(x)无极值 .选项 A 、B 、 D 可以通过举出反例说明是假命题1例 4函数 f(x)=asinx+sin3x 在 x=处具有极值，求a 的值33第 3页共 7页分析：f(x)在 x=处有极值， 根据一点是极值点的必要条件可知， f( )=033可求出 a 的值 .1解

8、： f (x)=( asinx+ sin3x)=acosx+cos3x3 f ( )=0 ， a cos +cos3=0 ，1a 1=0 ，3332 a=2.例 5y=aln x+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处有极值，求a、 b 的值a解： y =(aln x+bx2+x)=+2 bx+1x y x=1=0， y x=2=0a2b10a23 a4b10b126例 6确定函数 y=x的单调区间，并求函数的极大、极小值x21解： y = (x)x21x 2x1x 2(1x)(1x)22222( x22x1( x1)(x1)1)令 (1x)(1x) 0，解得 1 x1( x21)2x y=的

9、单调增区间为( 1， 1)x21令 (1x)(1 x) 0，解得 x 1 或 x 1( x21)2第 4页共 7页 y=x的单调减区间为 (， 1)与 (1，+ )2x1令 y= (1x)(1 x)=0，解得 x1= 1，x2=1(x21)2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表:x,1-1(-1,1)1y0+0y极小值112极大值2当 x= 1 时， y 有极小值，且y 极小值 = 12当 x=1 时， y 有极大值，且y 极大值 = 12例 7求函数 y=13x的极值与极值点45x213x345x2(13x)210x)45x2解： y =(5x245x2412令 y=0，解得 x=5

10、x 变化时， y， y 的变化情况如下表：x121212,555y+0y极大值205101,12 5x3(45x2) 2第 5页共 7页12时， y 有极大值，且205当 x=y 极大值 =510例 8 求函数 y=x2lnx 的极值解：定义域为 (0， + )y =( x2lnx) =2xlnx+x2 1 =2xln x+x=x(2ln x+1)x1令 y=0，得 x= e 2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表:x1110,e 2e 2,e 2y0+y极小值12e11当 x= e 2 时， y 有极小值，且y 极小值 =2e三、课堂练习：求下列函数的极值.1.y=2x2+5x5解： y =(2x2+5x) =4 x+5. 令 y =0，解得 x=4当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表:x,545544,y y 0+25极小值8当 x= 5时， y 有极小值，且y 极小值 = 25482.y=3xx3第 6页共 7页解： y =(3x x3)=3 3x2=3(1+ x) (1 x)令 y=0，解得 x1 = 1， x2=1当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表：x, 1-1(-1,1)11,