高一数学教案：48正弦函数、余弦函数的图象和性质(3)

1、课题： 4 8 正弦函数、余弦函数的图象和性质（3）教学目的：1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3 掌握正弦函数 y Asin( x )的周期及求法教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1y=sinx， xR 和 y=cosx， xR 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线y1-6-5-4-3-2-023456 x-1f x= sinxy1-6-5-4-3-2-023456 x-1f x= cosx2用

2、五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx， x 0， 2 的图象中，五个关键点是：3(0,0)( 2 ,1)( ,0)( 2 ,-1)(2 ,0)余弦函数y=cosxx0,2 的五个点关键是3(0,1)( 2 ,0)( ,-1)( 2 ,0)(2 ,1)3定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或 (， )，分别记作：y sinx， xRy cosx， x R4值域正弦函数、余弦函数的值域都是1， 1其中正弦函数y=sinx,xR当且仅当x 2 2k， k Z 时，取得最大值1当且仅当x 2 2k， k Z 时，取得最小值1而余弦函数ycosx， x R当且仅当x

3、 2k， kZ 时，取得最大值1第 1页共 6页当且 当x (2k 1)， k Z ，取得最小 15周期性一般地， 于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定 域内的每一个 ，都有 f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做 个函数的周期 于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期1周期函数 x 定 域 M ， 必有 x+T M, 且若 T0 定 域无上界； T0 定 域无下界；2“每一个 ”只要有一个反例， f (x)就不 周期函数（如 f (x0+t) f (x0) ）3T 往往

4、是多 的 （如 y=sinx 2 ,4, ,-2 ,-4 ,都是周期） 周期 T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k (kZ 且 k 0)都是它的周期，最小正周期是26奇偶性y sinx 奇函数， y cosx 偶函数正弦曲 关于原点O 称 ,余弦曲 关于y 称7 性正弦函数在每一个 区 2 2k， 2 2k (kZ)上都是增函数，其 从1 增大3到 1；在每一个 区 2 2k，2 2k (k Z)上都是减函数，其 从1 减小到1余弦函数在每一个 区 (2k1)， 2k (k Z)上都是增函数，其 从1 增加到1；在每一个

5、区 2k， (2k 1) (k Z)上都是减函数，其 从 1 减小到 1 二、 解范例：例 1 求下列函数的周期：(1)y 3cosx， x R；(2)y sin2x， x R；1(3)y 2sin( 2 x 6 )， x R解： (1) ycosx 的周期是2只有 x 增到 x 2 ，函数 才重复出 y3cosx， x R 的周期是 2(2)令 Z 2x，那么 x R 必 并且只需Z R，且函数 y sinZ， Z R 的周期是2即 Z2 2x2 2(x )只有当 x 至少增加到x，函数 才能重复出 ysin2x 的周期是1(3)令 Z 2 x 6，那么x R 必 并且只需Z R，且函数 y

6、 2sinZ， Z R 的周期是 2，11由于 Z 2 ( 2 x 6 ) 2 2(x 4 ) 6 ，所以只有自 量x 至少要增加到 x 4，第 2页共 6页11函数值才能重复取得，即T 4是能使等式2sin 2 (x T) 6 2sin( 2 x 6 )成立的最小正数1从而 y 2sin(2 x 6 )， xR 的周期是 4从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关一般地，函数y Asin( x )，x R 及函数 y Acos( x)， x R(其中 A、为常2数，且 A 0， 0)的周期 T根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：2(1)T

7、2， (2)T21， (3)T 2 2 4例 2 不通过求值，指出下列各式大于0 还是小于0(1)sin( 18 ) sin( 10 )；2317(2)cos(5)cos(4)解： (1) 2 10 18 2 且函数 y sinx， x2 ， 2 是增函数 sin( 10 ) sin( 18 )即 sin( 18 ) sin( 10 ) 023233(2)cos(5)cos5 cos 51717cos( 4) cos 4cos 430 4 5第 3页共 6页且函数 y cosx， x 0，是减函数3 cos 5 cos 43即 cos 5 cos 4 02317 cos( 5 ) cos( 4

8、 ) 03cos x1例 3 求函数 y cos x2的值域2 y12y12y1解：由已知： cosx 3y 3y cosx 1( 3y )2 1 3y2 2y 8 04 2 y 34 ymax 3 ， ymin 2例 4 f(x) sinx 图象的对称轴是解：由图象可知：对称轴方程是：x k 2 (k Z)例 5 (1)函数 ysin(x 4 )在什么区间上是增函数?(2)函数 y3sin( 3 2x)在什么区间是减函数?解： (1)函数 y sinx 在下列区间上是增函数：2k 2 x 2k 2(k Z)函数 y sin(x 4 )为增函数， 当且仅当2k 2 x 4 2k 2即 2k 3

9、 x2k 4 (k Z)为所求第 4页共 6页(2) y 3sin( 3 2x) 3sin(2x 3 )由 2k 2 2x 3 2k 25得 k 12 x k 12(k Z)为所求或：令 u 3 2x，则 u 是 x 的减函数又 y sin在 2k 2 ， 2k 2 (k Z)上为增函数，原函数y3sin( 3 2x)在区间 2k 2 ， 2k 2 上递减设 2k 2 3 2x 2k 25解得 k 12 x k 12 (k Z)5原函数 y3sin( 3 2x)在 k 12 ， k 12 (k Z)上单调递减三、课堂练习：1 函数 y cos2（ x 12A 奇函数而不是偶函数C奇函数且是偶函

10、数） sin2（ x 12 ） 1 是 ()B 偶函数而不是奇函数D 非奇非偶函数52 函数 y sin（ 2x2 ）图象的一条对称轴方程是 ()5A x 2B x 4C x 8D x 433 设条件甲为“ yAsin( x )是偶函数”，条件乙为“2 ”，则甲是乙的 ()A 充分非必要条件B 必要非充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件第 5页共 6页4函数 y sin4x cos4x 的最小正周期为5函数 y sin2xtanx 的值域为6函数 y x sinx，x 0，的最大值为 ()32A 0B2 1C D 427求函数 y 2sin22x 4sin2xcos2x 3cos22x 的最小正周期8求函数 f（ x） sin6x cos6x 的最小正周期，并求f （x）的最大值和最小值1sin x cos x9已知 f（ x） 1sin x cos x ，问 x 在 0，上取什么值时，f（ x）取到最大值和最小值参考答案：1 A 2 A 3 B