高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值分层训练湘教版选修2

1、,名校名师推荐 ,4.3.2函数的极大值和极小值一、基础达标1. 函数 y f ( x) 的定义域为 ( a，b) ，yf (x) 的图象如图，则函数y f ( x) 在开区间 ( a， b) 内取得极小值的点有()A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个答案A解析当满足 f (x) 0 的点，左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2“函数 yf ( x) 在一点的导数值为0”是“函数 y f ( x) 在这点取得极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析对于 f ( x) x3，f (x) 3x2

2、， f (0) 0，不能推出 f ( x) 在 x 0 处取极值，反之成立故选B.3若 a 0，b 0，且函数 f ( x) 4x3 ax2 2bx 2 在 x1 处有极值，则ab 的最大值等于()A 2 B 3 C 6 D 9答案D解析( ) 12x22ax 2b，f(x) 在x 1处有极值，fx f (1) 12 2a 2b 0， a b6.又 a 0， b 0， a b2 ab， 2 ab6，ab9，当且仅当 a b 3 时等号成立，ab 的最大值为9.4函数 y x33x2 9x( 2 x 2) 有()A极大值5，极小值 27B极大值5，极小值 11C极大值5，无极小值D极小值 27，

3、无极大值1,名校名师推荐 ,答案C解析由y 3x2 6 9 0，得x 1 或x 3，当x 1 或x 3 时，y 0，当x1 x 3 时， y0. 故当 x 1 时，函数有极大值5；x 取不到 3，故无极小值5函数 f ( x) x3 3ax2 3( a 2) x 3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是_答案( ， 1) (2 ，)解析 f (x) 3x26ax 3( a 2) ，令 3x2 6ax 3( a 2) 0，即 x22ax a2 0，函数f() 有极大值和极小值，方程x2 2 2 0 有两个不相等的实数根，即xaxa 4a2 4a8 0，解得 a 2 或 a 1.6若函数 y

4、x3 3axa 在 (1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是 _答案(1,4)解析y 3x2 3a，当 a0时，y 0，函数 y x3 3ax a 为单调函数， 不合题意，舍去；当 0 时，y 3 2 3 0?xa，不难分析，当axa1a 2，即 1a 4时，函数 yx3 3ax a 在 (1,2) 内有极小值7求函数2x的极值f ( x) x e解 函数的定义域为R， x21f (x) 2xex ex 2xe x x2ex x(2 x)e x ，令 f (x) 0，得 x 0 或 x2.当 x 变化时， f (x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x( ， 0)0(0,2)2(2 ，

5、)f (x)00f ( x)04e 2由上表可以看出，当 x 0 时，函数有极小值，且为 f (0) 0；当 x 2 时，函数有极大值，且为 f (2) 4e2.二、能力提升8已知函数f ( x) ， xR，且在 x 1 处， f ( x) 存在极小值，则2,名校名师推荐 ,()A当x ( ， 1)时，f( ) 0；当x (1 ， ) 时，f( ) 0xxB当 x ( ， 1)时， f(x) 0；当 x (1 ， ) 时， f(x) 0C当 x ( ， 1)时， f(x) 0；当 x (1 ， ) 时， f(x) 0D当x ( ， 1)时，f( ) 0；当x (1 ， ) 时，f( ) 0xx

6、答案C解析 f ( x) 在 x1 处存在极小值，x 1 时， f (x) 0， x 1 时， f (x) 0.9(2013 福建 ) 设函数 f ( x) 的定义域为R，x0( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论一定正确的是()A ? x R， f ( x) f ( x0)B x0 是 f ( x) 的极小值点C x0 是 f ( x) 的极小值点D x0 是 f ( x) 的极小值点答案D解析x0( x00) 是 f ( x) 的极大值点，并不是最大值点故A 错； f ( x) 相当于f ( x) 关于 y 轴的对称图象的函数，故x0 应是 f ( x) 的极大值点， B 错

7、； f ( x) 相当于 f ( x)关于 x 轴的对称图象的函数，故x0 应是 f ( x) 的极小值点跟x0 没有关系， C 错；f ( x) 相当于 f ( x) 关于坐标原点的对称图象的函数故D正确10. 如果函数 y f ( x) 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：1函数 yf ( x) 在区间 3， 2 内单调递增；1函数 yf ( x) 在区间 2， 3 内单调递减；函数 yf ( x) 在区间 (4,5)内单调递增；当 x 2 时，函数 y f ( x) 有极小值；1当 x 2时，函数y f ( x) 有极大值则上述判断正确的是_ ( 填序号 )答案解析函数的单调性由导数的

8、符号确定，当x ( ， 2) 时，( ) 0，所以f(x)fx在( ， 2) 上为减函数，同理 f ( x) 在 (2,4)上为减函数，在 ( 2,2) 上是增函数，在(4 ， ) 上为增函数，所以可排除和，可选择. 由于函数在x 2 的左侧递增，3,名校名师推荐 ,右侧递减，所以当x 2 时，函数有极大值；而在x112的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x 2的左右两侧均为增函数，所以x 1不是函数的极值点排除和 .23122511已知 f( x) x 2mx2mx 4( m为常数，且m 0) 有极大值 2，求 m的值22，解 f (x) 3x mx 2m ( x m)(3 x 2m)2

9、令 f (x) 0，则 x m或 x m. 3当 x 变化时， f (x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x( ，m ，222，)m3m3m3mmf (x)00f ( x)极大值极小值(x) 极大值 ( ) 31 3 23 45， 1.ffmm2mm2m12设 a 为实数，函数f ( x) x3 x2 x a.(1) 求 f ( x) 的极值；(2) 当 a 在什么范围内取值时，曲线yf ( x) 与 x 轴仅有一个交点？解 (1) f (x) 3x22x 1.1令 f (x) 0，则 x 或 x1. 3当 x 变化时， f (x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x1111(1 ，

10、)， 3 3 3， 1( )00fxf ( x)极大值极小值15所以 f ( x) 的极大值是f 3 27 a，极小值是f (1) a1.(2) 函数 f ( x) x3 x2 x a ( x1) 2( x 1) a 1，由此可知， x 取足够大的正数时，有f ( x) 0，x 取足够小的负数时，有f ( x) 0，所以曲线 y f ( x) 与 x 轴至少有一个交点4,名校名师推荐 ,15由(1) 知 f ( x) 极大值 f 3 27 a， f ( x) 极小值 f(1) a 1.曲线 yf ( x) 与 x 轴仅有一个交点， f ( x) 极大值 0 或 f ( x) 极小值 0，55即

11、27 a 0或 a 1 0， a 27或 a1，5 (1 ， ) 时，曲线y(x) 与x轴仅有一个交点当 ，a27f三、探究与创新xx m) 13(2013 新课标 ) 已知函数 f ( x) e ln(1) 设 x 0 是 f ( x) 的极值点，求 m，并讨论 f ( x) 的单调性；(2) 当 m2时，证明 f ( x) 0.(1) 解 f (x) ex 1 . x m由 x 0 是 f ( x) 的极值点得 f (0) 0，所以 m 1.于是 f ( x) ex ln(x1) ，定义域为 ( 1， ) ，f (x) ex 1.x1函数 f (x) ex1在 ( 1， ) 单调递增，且f (0) 0，因此当x1x ( 1,0) 时，f( ) 0；当x (0 ， ) 时，f( ) 0.xx所以 f ( x) 在 ( 1,0)单调递减，在 (0 ， ) 单调递增(2)证明 当 m2， x ( m， ) 时， ln(x m) ln(x 2) ，故只需证明当2时，f() 0.mx当 m 2 时，函数 f (x) ex1在 ( 2， ) 单调递增x2又 f ( 1) 0， f (0) 0，故 f (x) 0在 ( 2，