高三数学教案几种常见函数的导数2

1、课题： 3 2 几种常见函数的导数教学目的：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点： 用定义推导常见函数的导数公式教学难点： 公式 ( xn )nx n 1 ( nQ) 的推导授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1.导数的定义： 设函数 yf ( x) 在 xx0处附近有定义， 当自变量在 x x0处有增量x 时，则函数 yf (x) 相应地有增量y f ( x0x)f ( x0 ) ，如果x0 时， y 与x 的比y （也叫函数的平均变化率）有极限即y

2、 无限xx趋近于某个常数， 我们把这个极限值叫做函数yf ( x) 在 xx0 处的 导数 ，记作y/，即 f / ( x0 )lim0f ( x0x)f ( x0 )x x0xx2. 导数的几何意义： 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线的斜率因此，如果 yf ( x) 在点 x0 可导，则曲线 yf (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为 yf (x0 ) f / ( x0 )( x x0 )3. 导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b) ，都对应着一个确定

3、的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数f / (x) , 称这个函数f / (x) 为函数 yf ( x) 在开区间内的 导函数 ，简第 1页共 7页称导数 ，也可记作 y / ，即 f / ( x) y / limylimf ( xx) f (x)x0xx0x函数 yf ( x) 在 x0 处的导数 y /x x0就是函数yf ( x) 在开区间 (a, b)( x(a,b) 上导数 f / ( x) 在 x0处的函数值，即y/x x0 f/ ( x0 ) 所以函数yf (x) 在 x0 处的导数也记作f / ( x0 )导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求

4、导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数yf (x) 在点 x0 处的导数就是导函数f / ( x) 在点 x0 的函数值4.可导 : 如果函数yf (x) 在开区间 ( a,b) 内每一点都有导数，则称函数yf (x) 在开区间 ( a, b) 内可导5. 可导与连续的关系： 如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导， 那么函数 y=f(x)在点x0 处连续， 反之不成立 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 .6. 求函数 y f (x) 的导数的一般方法 ：（ 1）求函数的改变量yf ( xx)f ( x)（ 2）求平均变化率yf (

5、xx)f ( x)xx（ 3）取极限，得导数y / f (x)limyx0x二、讲解新课：1.C 0( C 为常数 )说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零其几何解释是： 函数 yC的图象是平行于 x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是 0.证明：yf ( x)= ，= (x+x) ()= =0Cy ffxC Cy =0，y Climy=0，y =0.= =xx 0x第 2页共 7页2.( x n ) nxn 1 ( n Q ) 明： 上，此公式 nR 都成立，但 明 复 ，所以 本只 出了 n N * 的 明 明： yf ( x) = xn y=f ( x+ x)

6、f ( x)= (xx)nxn= x n + C1n xn 1x+ Cn2 xn 2 ( x) 2+ + Cnn ( x) n xn1xn 1x2xn 2(x2 n( x)n=Cn+ Cn) + + Cn y = C1n xn 1 +Cn2 xn 2x+ Cnn ( x) n 1x y= (xn ) = limyx0x= lim （ C1nxn1 + Cn2xn2x+ +Cnn (x) n1 )= C1n xn1 =n xn 1x 0 y= (x n )nx n13.(sin x)cos x 明方法一： y=sin x，y=sin(x+x) sin x=sin xcosx+cos xsinxs

7、in xysin x cosxcosx sinxsin xxx y = limylim sin xcosxcosx sinxsin xx 0xx0xlimsin x(cosx1)cos x sinxx0xsin x(2sin 2x)lim cos x sinxlim2x0xx0x第 3页共 7页sin 2xxlim( 2sin x)x2cos xx 024()2= 2sin x 10+cos x=cosx y =cosx证明方法二：ysin x ，ysin( xx)sin x2 cos (xx)x sin ( xx) x222cos xxsinx ，22yxsinxcos x2，x2x2xyx

8、siny(sin x)limlim cos x2x2xx0x02xsinxlim cos xlim2cosx x02x0x24.(cos x)sin x证明方法一： y=cosx，y=cos( x+x) cos x=cosxcosx sin xsinxcos xy = limylim cosxcosxsin x sinx cos xx0xx0xlimcos x(cosx1)sin x sinxx0xcosx(2sin 2x )lim sin x sinxlim2x0xx 0x第 4页共 7页sin2xxlim( 2cos x)x2sin x 1 2cos x 1 0 sin xsin xx 0

9、24()2 y = sin x证明方法二：ycos x ，ycos(xx)cos x( xx)x(xx) x2 sin2sin22sinxxsinx ，22yxsinxsinx2，x2x2yxsinx y(cos x)limlim sin x2x 0xx 02x2xsin xlim sinxlim2sin x x02x0x2 y =sin x.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程 . 我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用三、讲解范例：例 1 求 (1)(x3)1)(3)(x )(2)

10、(2x解： (1)( x3) =3x3 1=3x2；(2)1)=( x (22) = 2x2 1=2x3x第 5页共 7页111 x(3) ( x)(x 2 )1 x21221212x例 2 质点运动方程是s12 时的速度t5 , 求质点在 t解：s1，t 5s (1(t5)5t6,t5 )5s t 25 2 664答：质点在 t2 时的速度是564例 3 求曲线 ysin x 在点 A (, 1) 的切线方程62解： ysin xy (sin x) cos xy xcos3626所求切线的斜率 k32所求切线的方程为y13 (x6) ，22即63x12 y630答：曲线 ysin x 在点

11、A (, 1) 的切线方程为 63x 12 y630 62四、课堂练习 ：1 (口答 )求下列函数的导数： (1)y=x5(2) y=x6(3) x=sin t(4) u=cos答案：(1) y =(x5) =5x4；(2)y=( x6) =6x5；(3) x =(sin t)=cos t； (4)u=(cos) = sin2.求下列函数的导数：(1) y=1(2)y=3 xx3第 6页共 7页答案： (1) y =(1 3 3 1 4x3) =(x) =3x= 3x(2 y (3 x)112(x 3 )1 x 311 x 3333.质点的运动方程是s=t3， (s 单位 m，t 单位 s)，求质点在 t=3 时的速度 .解： v=s =(t3) =3t31=3 t2当 t=3 时， v=3 32=27 m/s，质点在 t=3 时的速度为 27 m/s4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)= 1 gt2， (s 单位 m， t 单位 s， g=9.8 m/s2)，2求 t=3 时的速度 .解： v=s (t)=( 1 gt2) = 1 g 2t2 1 =gt.22t=3 时， v=g 3=9.8 3=29.4 m/s， t=3 时的速度为29.4 m/s.5.求曲线 y=x4 在点 P(2， 16)处的切线方程.