高三数学教案：三角函数复习资料

1、1 1 锐角三角函数甲、锐角三角函数的定义1.在直角ABC 中，已知A 为锐角，C90 。则定义對邊aB(1) A 的正弦函数 = 斜邊 c鄰邊b(2) A 的余弦函数 = 斜邊 c對邊a(3) A 的正切函数= 鄰邊bAC鄰邊b(4) A 的余切函数 = 對邊 a斜邊c(5) A 的正割函数 = 鄰邊 b斜邊c(6) A 的余割函数 = 對邊 a【注】此六种三角函数值是直角三角形中，边长的比值，与的大小无关。例 1：在直角ABC 中，C90 ，若 AC5 ， BC12 ，则A 的六个三角函数值？例 2：如右图所示，若AB25 ， BC 7，则 B 的六个三角函数值？B3cossintan例

2、3：设为锐角且4 ，试求 1cot1 tan 之值。CA例 4：设为锐角且 sint ，试以 t 表示的其它五个三角函数值？1tan22为锐角且 13例 5：设tan，则 sin cos ?第1页共56页乙、特别角的三角函数1.(1) 45(2) 60(3) 302.此三个图形决定特别角的三角函数，故请牢记图形之边角关系。例 6：求下列各式的值：(1) (1sin30sin 45 )(1cos45cos60 )(2) tan30 tan60 tan45 cos60(3) sin 45 cos60sin30 cos45tan 60tan 30(4) 1 tan 60 tan 3012sin 30

3、sin 60(5)21 cos60例 7：利用图形关系，求sin15 ， cos15 ， tan15 之值。丙、三角恒等关系式1.倒数关系： (1)sincsc1(2) cos sec 1(3) tan cot 12.商数关系：第2页共56页sincostancot(1)cos(2)sin3.平方关系： (1) sin 2cos21(2)tan 21 sec2(3)1 cot 2csc24.余角关系：(1)sin(90)cos(2)cos(90)sin(3)tan(90)cot(4)cot(90)tan(5)sec(90)csc(6)csc(90)sec34sin5costan?例 8： 2

4、，求 7sin6cos27cos3cotsin?例 9： 5 ，求 4cos6cotsin1cos例 10： 一 角，若2 ， 求下列各式的 ：(1)sin cos(2) sin cos(3) tan cot例 11： 方程式x2(tancot)10 有一根 3 2 2 ， 求 sin cos?第3页共56页例 12：设方程式x2(tancot)10 有一根为 25 ，试求 sin cos?cos1 sin例 13：试证 1 sin2seccostan11cot例 14：试证 tan11cot例 15：试证(sincos )212sincos【课后练习】一、单一选择题：1、 ( C ) sec

5、2 20csc2 25cot 2 70tan2 65 之值为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析：原式(1 tan220 )22、 ( B ) 试问 sin ( 210 )(1cot 2 25 )tan 2 20cot 2 2511232cos ( 210 )之值为(A)2 (B)1 (C)0 (D) 4解析：由平方关系 sin2cos21知原式 1123、 ( C ) 已知 3cos 25sin1 ，则 csc(A) 3(B)2 (C)3 (D)1 (E)3第4页共56页解析：利用平方关系：sin 2cos21 , cos21 sin 2则 3(1sin 2 )5sin13sin 25

6、sin20(3sin1)(sin2)01sin,2(不合 ) 3csc113sin1由倒数关系知3tan384、 ( C ) 设4 且 090，则 5sin4sec之值等于 (A)8 (B) 3 (C)- 2(D)- 1tan3解析： 0490 且可作一直角 ABC，并令BAC, AB4x, BC3x( x 0)利用勾股定理可得AC(4 x)2(3x)25xsin3x35x55x,sec4由锐角三角函数的定义知54x因此， 5sin53453524sec54cos3032 (C) sec1801 (D)5、 ( D ) 下 列 何 者 错 误 ？(A) sin901 (B)tan1203(E)

7、sin 2701tan1201tan(90 30 )tan 30解析：3第5页共56页sin32tan3cos66、 ( D ) 下 列 各 式 何 者 正 确 ？ (A)62(B)32(C)(D)cot1sec24(E)33解析： 630 ,60 ,4534sin1 , cos1 ,tan1 ,cot1, sec262326343sin1cosk27、 ( C ) 若 1(B)1 (C)sincossin，则 k 等于 (A) tan(D)0sin 2(1cos) 2sin2cos22cos1解析：原式(1cos) sin(1cos)sin2(1cos)2(1cos)sinsincos333

8、7891445 且 sin0 ，则 cot 2tan2(A)1 (B) 144(C)144(D) 3378、 ( B ) 设cos305, 解析：sin0, 如下图所示：cot 2tan 2( 3 )2(4)291633743169144sinb ,a0, b0,(0,)b2cot等于 (A) a a229、 ( C ) 已知a2 ，则 tanb第6页共56页ba2a(B) a a2b2(C) b a2b2(D) b a2b2解析：如下图所示：(0,b)且 sinAC a, BC b2a 可作一直角 ABC，并令利用勾股定理可得ABa2b2再利用锐角三角函数的定义，得知tanba2b2cotb

9、2ba2b2a2b2a2ba2b2ba2b2sin343costan10、 ( B ) 若5且在第二象限， 则下列何者为正确？ (A)5 (B)4(C)sec5(D) sec21 tan23解析：sin35 在第二象限且cos43, tan45sec5 , sec21 tan24第7页共56页111、 ( B ) 设 3tan 25sec1，则 sec(A) 3 (B)2 (C)3 (D)1 (E) 2解析： 1tan2sec2, tan2sec21则 3(sec21) 5sec13sec25sec20(3sec1)(sec2)0sec2,1 ( 不合 )33112、 ( C )6 为第几象限

10、角？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四317734且62解析：66316为第三象限角13、 ( A ) 若 sincos1，则 sin 3cos3之值为 (A)0 (B)1 (C)2 (D) 2解析： (sincos )212sincos123 sincos3则 sin3cos3(sincos)(1sincos)3 (1 1) 0sec122(B) 2314、 ( E )3的值等于 (A)(C)1 (D)(E)2secsec602解析：315、 ( A )若三角形之三内角分别为45 , 45 , 90，则其三边长的比为(A)1:1:2 (B)1:1: 3(C)1:3 : 2 (D)1:2

11、:3解析：由454590 的性质知，三边长的比为1:1:23tan 7cot 72cos 11sec119sin(31 ) csc(31)16、 ( A )443366之值为(A)- 4第8页共56页(B)- 3 (C)- 2 (D)0解析：由倒数关系得知sin csc1, cossec1, tancot1因此，原式3 12 19 14tan5 , 02 ，则 sincos512171217、 ( C ) 设12(A) 17(B) 17(C)13(D) 1305且 tan解析：212取 P(12,5)则 rOP1225213sincos51217131313故5tansec26392639si

12、n0 ，求 1之值 (A) 75(C) 3(D) 5018、 ( B ) 若13 且 tancos(B)25sin0解析：13 , tan0 , 如下图所示：tansec(5 )( 13os112121313第9页共56页113319、 ( C ) 试问 sin30cos30tan60 的值等于 (A) 4(B) 2(C) 4(D)2133223解析：原式420、 ( C ) 若三角形之三内角分别为30 , 60 , 90，则其三边长的比为(A)1:1: 2(B)1: 2 :3 (C)1:3 : 2(D)1: 2 : 3解析：由 306090 的性质知，三边长的比为1

13、:3 : 21 cos60tan 45575721、 ( C ) 求 1csc30cot 45(A) 4(B) 4(C)4 (D)411152解析：原式121422、 ( A ) 设 4590 ，下列叙述何者为真？(A) sincos(B) sincos(C)costan(D) seccsc解析： 4590sinsin 4522coscos4522tantan 451因此， sincos, costan ,seccsctan( 3)3363(B) 33 (D) 323、 ( D )之值为 (A)(C)tan(3)3解析：6tan(510 )tan510tan150tan3031cos4523s

14、in30tan6024、 ( C ) 下列各式何者错误？(A)2(B)2(C)3(D)sec602(E)csc452第 10页共 56页sin 3012cos 452 , tan 603 , sec602 , csc45解析：2 ,25177tan0 ，则 csc2cot 2(B) 13(C) 1325、 ( A ) 设12 ，且 sin之值为 (A)1(D)1713解析：由平方关系知 1 cot 2csc2则 csc2cot 2126、 ( C ) 若为锐角，则下列叙述何者错误？(A) 0sin1 (B) tan0(C)cot1(D) csc 1解析： cot之值为大于0 的实数，但不一定大

15、于11 3cot601如：33cot12527、 ( B ) 若 sin cos0 ，且 tansec5 ，则 (A)sin0 。已知13 (B)12sincos1713cossec13(C)13(D)12解析： sincos0 ,tansec0 sin0 , cos0cos1213cot512sincos13 ,13coscossinsin3336(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 328、 ( A ) 求6333113233解析：原式2222425512125sin为第四象限角，则 tan(A) 12(B) 5 (C)(D) 1229、 ( D ) 已知13 且5第 11页共 56页解

16、析：为第四象限角 , cos0cos1(5 )212利用平方关系得1313再利用商数关系得知sin55tan13cos1212131(A) sincsc1sec30、 ( E ) 下 列 各 叙 述 何 者 错 误 ？(B)cos(C)tancot1sec2tan21 (D) cot 2csc21 (E)sincostancotsincossin 2cos21cossinsincossincos解析：31、 ( A ) 设 sin, cos3x255为二次方程式2x k0 之二根， 则 k 之值为 (A) 6 (B)65 5(C) 18 (D) 18解析：由根与系数的关系知：sincos22

17、,sincosk333又 (sincos) 21 2sincos( 2)212sincos则 35sincos18k55因此 3，故 k186sin2cos32、 ( D ) 假设3 ，且 P tancot ，则下列何者正确？ (A) P 0 (B)P 1, 3, 5, 8(C) P8 (D) P被 3整除第 12页共 56页解析： (sincos)212sincos12sincos( 2 )2433sincos16则tancot1sincos又16P1因此6tan23cos2sin135131333、 ( D ) 已知3 ，则cos4sin的值等于(A) 11(B) 11(C) 5 (D)5

18、(E)1tansin解析：利用商数关系：cos3cos2sin32 tan32 213cos3cos4sin14 tan125cos4原式3sin1cos3tan12 ，下列何者不正确？2334、 ( C ) 若为锐角，且(A)(B)(C)cot2sec233(E)csc2(D)解析：作一直角三角形ABCsin1设 AC2x, BCx2 ,利用勾股定理，可得AB(2 x)2x23x由锐角三角函数的定义得知cos3x3 ,tanx1 , cot3x32x23x3x第 13页共 56页sec2x2 , csc2x23x3xcot55121212 ，则 cos之值等于 (A) 13(B) 13(C)

19、13 (D)35、 ( A ) 若为第三象限角， 且513解析：为第三象限角。cot15cos5 cos0,1213又4sin 22tansin1 cot 2sec36、 ( A )642363 之值为 (A)1 (B)2 (C)0 (D)- 14 ( 1)22 1 11( 3) 2 2解析：原式231221sincos6sincosqp (其中 p, q37、 ( A )5 ，且互质 )，则下列何者错误？(A)p為奇數 (B) pq39 (C)q為奇數(D) p為 5的倍數解析： (sincos)212sincos12sincos(6)236525sincos11q50p则因此 p50, q

20、111138、 ( B ) 化简 1sin1csc(A)0 (B)1 (C)2 (D)- 1111sin1sin11sin11sinsin1 1sin1解析：原式sin39、 ( D ) 设为任意一有向角，若的最小正同界角为100，则的最大负同界角为(A)第 14页共 56页100(B)80(C)170(D)260解析： 100360260最大负同界角为26040、 ( B ) 设为第二象限角，则下列何者错误？(A) sin0 (B) cos0 (C) tan0(D) sincos0解析：在第二象限 sin0,cos0,tan0, sincos041、 ( B ) 求 (1cos45cos60

21、) (1sin 45sin30 )57911(A) 4(B) 4(C) 4(D) 4(121) (121) ( 322 ) ( 32 )解析：原式2222292744二、填充题：sincos61、设 4590 ，且5 ，求 sincos之值为 _。14答案：5解析： 4590 , sincos 0又 (sincos ) 212sin cos1 2sincos(6)2511sincos则50621114因此 (sincos )2(sincos )24sin cos(5)45025sin14cos故52、设 sec0 且 tan0 ，则角度 是第 _象限角？第 15页共 56页答案：四sec0,t

22、an0解析：,sincos12 ，求 sincos 之值为 _。3、设3答案： 8解析： (sincos)212sincos(1 )212sin cos 2sincos38则4、ABC中，若 AC8, BC15 ，且 C90 ，求 (1) AB_；(2) secA _。17答案： 17； 8解析：利用勾股定理可得AB82152289 17secAAB17再由锐角三角函数的定义知AC8tan53,2，则 sin5、已知12_。5答案：13解析：如下图所示：5sin13第 16页共 56页6、如下图，已知 ADAB 26, cos B5 , AC25BC ，且13，则 tanC _。24答案：7c

23、os B5 且 AB 26解析：13BD5 2613则 BD 10利用勾股定理得知：AC25AD26210257624CD252242497再由锐角三角函数的定义可得AD24tanC7CD7、若三角形之三内角分别为45 , 45 , 90 ，其三边长比为 1:1: x ，则 x _。答案： 2解析：由 454590 的性质知，三边长的比为 1:1: 2sincos54 ，则 sincos 之值为 _。8、设9答案： 32解析： (sincos)21 2sincos第 17页共 56页( 5)212sin cos则 4sincos9320tan22 ，且5 ，求 sin 2cos29、设_。答案

24、： 10tan25解析：2 且作直角 ABC，令A, AB5x,BC2x ( x0)利用勾股定理可得AC( 5x)2(2x)23x再由锐角三角函数的定义得知sin 2cos2( 2 x) 2( 5x )2913x3x910、已知 3cos 25sin1 ，则 csc_。答案： 3解析：由平方关系知：cos21 sin 23(1sin 2)5sin133sin 25sin13sin 25sin20(3sin1) (sin2) 0sin1,2 ( 不合 ) 3第 18页共 56页csc13因此，sin11、化简 cot 2 30 sin 45cos 45sec2 60之值为 _。1答案：2(21121413)2232解析：原式22(12sincos)(1 sin2cos)12、6443等于