2026年常州市中考数学试卷（含答案）

常州市二O二六年初中学业水平考试数学试题注意事项：1.本试卷共6页.全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算(x4)2的结果是A.x2 B.x6 C.x8 D.x162.64的立方根是A.－8 B.8 C.－4 D.43.如图，数轴上表示3的倒数的点在A.线段AB上 B.线段BC上 C.线段CD上 D.线段DE上4.如图，直线a，b被直线C所截.若a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A.120° B.130° C.140° D.150°5.6.CT平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）.如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都全等的是（）A.① B.② C.③ D.④7.如图，全球单机容量最大的16兆瓦漂浮式海上风电平台“三峡领航号”投产发电后，预计每年发出的电能可满足2.4万户三口之家全年用电.若按平均每户三口之家全年用电约1860kW·h计算，则“三峡领航号”每年发出的电能约为（）C.8.如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置P由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为Q.一段时间内，小球距离操作台台面的高度h（单位：mm）随时间t（单位：s）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（）A.释放小球的位置P距离操作台台面的高度是104.0mmB.小球距离操作台台面的最低高度是100.0mmC.当t＝1.3s时，小球在OQ的右侧D.当t从0.5s增大到1s时，小球距离操作台台面的高度越来越大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.－2026的相反数是.10.分解因式：m11.若式子2-x有意义，则实数x的值可以为.（填一个符合要求的x12.正方形的周长y关于它的边长x的函数表达式为y＝.13.“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是事件.（填“不可能”“随机”或“必然”）14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD.若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为.15.如图，小慧将2块相同的含45°角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系xOy中，其中三角尺OAB的斜边OA落在x轴上，三角尺OBC的顶点C的纵坐标为3，则点A的坐标为.16.如图，一架无人机在高30m的点M处可探测到的水平地面区域的宽度AB＝80m，再垂直上升15m，到达点N处，可探测到的水平地面区域的宽度为CD，已知∠AMB＝∠CND，MA＝MB，NC＝ND，则CD＝m.17.八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证.现有一只碗口边长为8、的八角碗，俯视图如图所示.若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为、.（精确到1、，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：18.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.矩形EFGH的顶点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上（点E与点A，D不重合，AE＞ED）.若对于定点E，矩形EFGH唯一确定，则DE的长为.三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（6分）解不等式组3x20.（8分）计算:1π－2021.（8分）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神.小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀.（1）任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为.（2）先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张.求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率.22.（8分）为了解12：00~13：00某路口行人信号灯设置是否合理，数学兴趣小组在这个时段随机调查了该路口5个信号灯周期内行人等红灯的时间，记录数据并整理成下图（每个点都对应一个行人等红灯的时间）.回答下列问题.（1）本次调查采用的是.（填“全面调查”或“抽样调查”）（2）下列说法中正确的是.（填所有正确说法的序号）①东西向行人等红灯的时间的众数是40s；②南北向行人等红灯的时间的中位数超过20s；③南北向行人等红灯的时间的极差比东西向大.（3）根据本次调查，对12：00~13：00该路口的行人信号灯设置提出一条合理建议.23.（8分）如图，A，B分别是线段OD，OC上的点，OC＝OD，OA＝OB，连接AC，BD，相交于点E.（1）求证:△OAC≌△OBD，（2）连接CD，△EDC是等腰三角形吗?证明你的结论.24.（8分）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽3m的彩色环形塑胶跑道.改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径r（单位：m）.25.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图像分别与x轴、y轴相交于点A，（0，1），（（1）求一次函数、反比例函数的表达式.（2）点D在反比例函数y＝mxm0，x＞0）的图像上，且点D与点C不重合.作射线CD，交坐标轴于点M，连接OC，OD.若S△O、26.（10分）如图，二次函数y＝x2+bx-3的图像与x轴相交于点A（－1，0）（1）b＝.（2）若点.D（4，y₁），E（t，y₂）在抛物线上，且-3＜y2（3）连接BC.若0＜m＜1，过点P（m，0）作x轴的垂线交BC于点G，交抛物线于点H，过点Q（3m，0）作x轴的垂线交BC于点M，交抛物线于点N，当GH+MN最大时，求m的值.27.（10分）如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，DE＝2CE，连接AC，AE.将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DB′C′，D，B′，C′分别是点A，B，C的对应点.（1）点C′在线段上.（填“AC”AE”或“AD”）（2）若AD＝4，求AC的长.（3）若点B′在边AD上，求tan∠BAC的值.28.（10分）综合与实践：试衣镜的摆放小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长MN为1.2m、宽为0.5m.小丽的身高AB为1.6m，眼睛距离地面的高度QB为1.5m.【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面MN与地面l垂直，然后直立在试衣镜的正前方.（1）在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像A′B′.（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为C′，求B′C′的长.【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面MN后倾，与地面l的夹角为60°，然后直立在试衣镜的正前方.（3）当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿N的最远、最近距离分别为sm，tm.如图3是小丽和试衣镜下边沿N的距离为sm时的示意图，求S的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿N的距离为tm时的示意图（无需尺规作图），再列出关于t的方程（无需化简和解方程）.常州市二O二六年初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.D3.B4.B5.A6.A7.B8.C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.202610.（m+3）² 11.1（答案不唯一） 12.4x13.随机 14.40° 15.（6，0）16.120 17.2018.4－7三、解答题（本大题共10小题，共84分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.解析：本题考查了一元一次不等式组的解法.先分别求出两个不等式的解集，再找出它们解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可.解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x≥－1.∴原不等式组的解集为－1≤x≤2.将不等式组的解集表示在数轴上如图所示.20.解析：本题考查了实数的混合运算及整式的化简.（1）先分别对零次幂、平方、负整数指数幂进行化简，再计算即可.（2）先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项即可.（2）原式＝21.解析：本题考查了用列表法或画树状图法求事件的概率、概率公式.（1）直接利用概率公式求解即可.（2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可.解：（1）由题意可知，任意抽取1张卡片，抽到每张卡片的可能性是相同的，∴抽到“马”的概率为13故答案为13（2）画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果22.解析：本题考查了调查方式、众数、中位数、极差、用样本估计总体.（1）根据全面调查和抽样调查的定义判断即可.（2）根据统计图对各选项的说法分别进行判断即可.（3）结合（2）中的分析提出建议，答案不唯一，合理即可.解：（1）抽样调查（2）由统计图可知，东西向行人等红灯的时间中，40s出现了4次，出现的次数最多，因此众数是40s，故①正确；南北向行人等红灯的时间中，排在中间的时间在20~30s之间，即中位数超过20s，故②正确；由统计图可知，南北向行人等红灯的时间的极差明显比东西向小，故③错误.综上所述，说法正确的是①②.故答案为①②.（3）答案不唯一，如：适当缩短东西向行人信号灯红灯的时间.23.解析：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定.（1）根据“SAS”直接证明即可.（2）先由OC＝OD得到∠OCD＝∠ODC，再由△OAC≌△OBD得到∠3，根据角的和差关系即可得到∠CD＝∠EDC，从而得到EC＝ED，即可得出△EDC是等腰三角形.（1）证明:在△OAC和△OBD中，OC＝OD∴△OAC≌△OBD（SAS）.（2）解:7EDC是等腰三角形.证明如下：如图，连接CD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.由（1）知，△OAC≌OBD，∴∠OCA＝∠ODB，∴∠OCD－∠OCA＝∠ODC－∠ODB，即∠ECD＝∠ZEDC，∴EC＝ED，∴△EDC是等腰三角形.24.解析：本题考查了一元二次方程的实际应用.先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可.解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为（r+3）m.根据题意，得πr+32＝4πr2，解得r＝3答：该广场原来的半径为3m.25.解析：本题考查了用待定系数法求函数表达式、三角形的面积公式.（1）将点B，C的坐标分别代入y＝kx+b即可求得k，b的值，将点C的坐标代入y＝mx即可求得m的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式.（2）分射线CD交y轴于点M和射线CD交X轴于点M两种情况进行讨论，结合S△OCM＝4S△ODM，即可得到解:（1）将点B（0，1），C（2，2）的坐标分别代入y＝kx+b，得∴将点∴（2）分情况讨论：①当射线CD交y轴于点M时，∵将②当射线CD交x轴于点M时，∵将综上所述，点26.解析：本题考查了用待定系数法求函数表达式、二次函数的图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征.（1）将点A的坐标代入二次函数表达式即可求得b的值.（2）先令x＝4求得y1＝5，再令y＝－3和y＝5分别求得x的值，最后结合函数图像即可求得t的取值范围.（3）先用待定系数法求得直线BC的函数表达式，从而得到点G，H，M，N的坐标，再结合0＜m＜1得到GH，MN的长，进而得到GH+MN关于m的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当GH+MN解:（1）将点A（－1，0）的坐标代入y＝x2+bx-3，得0＝1－b－故答案为－2.（2）由（1）知，二次函数表达式为y令x＝4，得y令y＝－3，得.x2-2x-3＝-3，令y＝5，得.x2-2x-3＝5，如图，结合函数图像可知，当点D（4，y₁），E（t，y₂）在抛物线上，且-3＜y2＜y1时，t的取值范围为－2＜t＜0（3）令y＝0，得.x2-2x-3＝0，解得x＝－1或x＝令x＝0，得y＝－3，∴C（0，－3）.设直线BC的函数表达式为y＝sx+t（s≠0）.将点B（3，0），C（0，－3）的坐标分别代入y＝sx+t.得∴直线BC的函数表达式为y＝x－3.∵0＜m＜1，∴0＜3m＜3.由题意可知，Gmm－3，Hmm2∴∴∵27.解析：本题考查了旋转的性质、勾股定理、解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义.（1）由题意可知，∠AED＝90°，∴∠AEC＝90°，则点C的对应点C′必在线段AE上.（2）在Rt△AED中利用勾股定理可求得AE＝DE＝22，从而得到CE＝2，再在Rt△AEC中利用勾股定理即可求得AC的长.（3）过点C′作C′F⊥AD于点F，设CE＝x，则AE＝DE＝2x，C′E＝x，从而得到.AC′＝x.在Rt△C′FA中利用锐角三角函数可求得C′F的长，在Rt△C′ED和Rt△C′FD中利用勾股定理可依次求得C′D，DF的长，再由锐角三角函数的定义即可求得tan∠B′DC′解:（1）将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DB′C′，D是点A的对应点，则∠AED＝90°，∴∠AEC＝90°.∵C′是点C的对应点，∴点C′在线段AE上.故答案为AE.（2）由旋转可知，AE＝DE，∠AED＝90°.∵在Rt△AED中，A∴∵∴在Rt△AEC中，A∴（3）如图，过点C′作C′F⊥AD于点F.设CE＝x，则AE＝DE＝2x，C′E＝x，∴AC′＝x.∵∠AED＝90°，∴∠EAD＝∠EDA＝45°.在Rt△C′FA中，C在Rt△C′ED中，C在∴由旋转可知，∠BAC＝∠B′DC′，∴28.解析：本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质.（1）过点B′作直线l的垂线，再在l的垂线上截取A′B′＝AB即可.（2）过点C′作C′C⊥AB于点C，交MN于点D，设B′C′＝xm，则QC＝（1.5－x）m，MD＝（1.2－x）m.证明线于点E，由对顶角和轴对称的性质分别求得∠BNE和∠B′NE的度数，即可求得∠QNB的度数，在Rt△QBN中解直角三角形即可求得BN的长