高一数学教案：任意角的三角函数1

1、课题： 4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2. 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点： 三角函数在各象限内的符号, 终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点： 正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型 ：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 设 是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x,y ）22x2y20则 P 与原点的距离 rxy2. 比值 y 叫做的正弦记作：sinyrr比值 x 叫做的余弦记作：cosxrr比值 y 叫做的正切记作：tanyxx比值

2、 x 叫做的余切记作：cotxyy比值 r叫做的正割记作：secrxx比值 r叫做的余割记作：cscryyP(x, y)r以上六种函数，统称为三角函数 .3. 突出探究的几个问题：角是 “任意角”，当=2k + (kZ) 时， 与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值”为函数值的函数 r0 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.第1页共7页定义域：yRr|k , kZsincscryxRr|k, k Zcossecrx2y|k ,k Ztanx2xcot|k , kZy4.

3、注意 :(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) OP 是角 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的 .(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“”的积 . 其余五个符号也是这样 .(4) 定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置( 终边在坐标轴上的除外) ，即函数的定义与的终边位置无关.(5) 比值只与角的大小有关.二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：.x0,

4、 y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：.x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.第2页共7页sin为正全正csctan为正coscot为正secsin0sin0cos0tan0cot0sin0sin0cos0tan0cot0y2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390和 -330 都与 30终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390 =sin30 cos390 =cos3

5、0240 00xsin(-330)=sin30cos(-330 )=cos30 -510 0诱导公式一 （其中 kZ ）:用弧度制可写成sin(k360 )sinsin(2k)sincos(k360 )coscos(2k)costan(k360 )tantan(2k)tan这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题三、讲解范例：例 1 确定下列三角函数值的符号(1)cos250 （2） sin()（ 3） tan （ 672）(4) tan(11 )43解： (1) 250是第三象限角 cos250 0(2) 是第四象限角，sin() 044(3)tan （ 67

6、2） tan （ 48 2 360） tan48 而 48是第一象限角，tan （ 672） 0(4)tan 11tan( 52 )tan 5333而 5是第四象限角，tan 110 .33例 2sin0求证角 为第三象限角的充分必要条件是0tan证明：必要性：是第三象限角，sin0tan0第3页共7页充分性： sin 0， 是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上 tan 0， 是第一或第三象限角 . sin 0， tan 0 都成立 . 为第三象限角 .例 3 求下列三角函数的值(1)sin1480 10 (2) cos 9（ 3） tan( 11 ) .46解 :(1)sin1480 1

7、0 sin （ 40 10 4 360） Sin40 10 0.6451(2) cos 9cos(2 )cos24442(3) tan( 11) tan(2) tan63 .663例 4 求值： sin(-1320 )cos1110 +cos(-1020 )sin750 +tg4950 解：原式 =sin(-4 360+120 ) cos(3 360 +30 )+cos(-3 360 +60 )sin(2 360 +30)+tg(360 +135 ) =sin120 cos30 +cos60 sin30 +tg135 =3311 -1=02222四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin

8、100 cos240 (2)sin5+tan5分析 :由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解 (1) 100是第二象限的角,240是第三象限的角. sin100 0,cos240 0,于是有 sin100 cos2400.(2)35 2 , 5 是第四象限的角2 sin5 0,tan50,于是有 sin5+tan5 0.sin xcos x2. .x 取什么值时 ,有意义 ?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为 R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零 .第4页共7页tan x0xk (k Z)解 :由 意得xk (k Z)解得 :k ( k Z)x22k(kZ

9、)即 : x2所以 ,当 xk( kZ ) ， sin xcos x 有意 .x x2tan x3若三角形的两内角， 足 sin cos0， 此三角形必 （B ）A 角三角形B 角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能4若是第三象限角， 下列各式中不成立的是（B ）A： sin+cos0B ： tansin0C： coscot0D： cot csc05已知 是第三象限角且 cos0 ， 2是第几象限角？2解： (2k1)(2k 1)2(k Z )3 kk( kZ )则是第二或第四象限角2242又 cos0则是第二或第三象限角22必 第二象限角2sin 216已知1 ， 第几象限角？2解：

10、由 1sin 21 sin2022k2 2k +(k Z ) kk +2 第一或第三象限角五、小 本 我 重点 了两个内容， 一是三角函数在各象限内的符号，二是一 公式，两者的作用分 是：前者确定函数 的符号，后者将任意角的三角函数化 0到 360角的三角函数， 两个内容是我 日后学 的基 .六、 后作 ：1. 确定下列三角函数 符号：第5页共7页2. 化简 tan 2cot 211.sin 2cos2 acos2sin 2解法一： ( 定义法 )设点 P( x, y) 是角 终边上的一点， 且 | OP|=r,则将 sin = y ,cos = x ,tanrr = y ,cot = x 代

11、入得：xy( y ) 2( x )2rr( y 4x 4 )r 2r 2 ( y 2x2 )原式 =xy)2)2yx(x 2 y 2 ( y 2x 2 )x y 2(22xy)( )rr2r 22x 2cos2解法二： ( 化弦法 )原式 = (sin)2(cos)2sin 2cos2cossinsin 2cos2sin 2cos2sin 2cos2sin 2cos22sin 2cos2sin 2cos2cos2解法三： ( 换元法 )设 cos 2=a, 则 sin 2 =1- a,tan 2 =1 a , 代入得a第6页共7页1aa(1 a) 2a 2原式a1 a111 2a(1a)aa1

12、aa(1 a)(12a)a(1 a)112a22a(1a)a(1a)acos2评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想 .七、板书设计 （略）八、课后记：已知 sin3+cos 3=1, 求下列各式的值：(1)sin+cos ； (2)sin4 +cos 4分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin +cos 的方程，然后求解 .(1) 解法一： (sin +cos) 3=sin 3+3sin 2cos +3sin cos 2+cos3=(sin3+cos 3)+3(1-c

13、os2)cos +3(1-sin2)sin 33=1+3cos-3cos +3sin -3sin33=1+3(sin +cos )-3(sin+cos )=3(sin +cos )-2. (sin +cos ) 3-3(sin +cos )+2=0.令 sin +cos =t , 则 t 3-3 t +2=0( t -1) 2( t +2)=0. t =1 或 t =-2即 sin +cos =1 或 sin +cos =-2( 舍去 ).解 法 二 ： sin 3 +cos 3 =(sin +cos )(sin2 -sin cos +cos2 )=(sin +cos )(1-sin cos ). (sin +cos )(1-sincos )=1.注意到 sin cos 可用 sin +cos 表示，并令sin +cos =t , 则 sin cos = t 21 , 故上式化为