高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式精品学案新人教B版必修

1、名校名 推荐2.1.1数轴上的基本公式 学习目标 1. 通过对数轴的复习, 理解实数和数轴上点的对应关系, 理解数轴上的向量和相等的向量的含义, 理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2. 探索并掌握数轴上两点间距离公式 . 预习导引 1. 数轴上点的坐标(1) 定义：一条给出了原点、 度量单位和正方向的直线叫做数轴 , 或者说在这条直线上建立了直线坐标系 .(2) 在数轴上 , 根据点 P 与实数 x 的对应法则 , 在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应关系 , 如果点 P 与实数 x 对应 , 则称点 P的坐标为 x, 记作 P( x).2. 向量(1) 定义：如果数轴上的任意一点 A

2、 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B, 则说点在轴上作了一次位移 , 点不动则说点作了零位移 , 位移是一个既有大小又有方向的量 , 通常叫做位移向量 ,本书简称向量 .(2)向量的长度： 从点 A 到点 B 的向量 , 记作 AB,点 A 叫做向量 AB的起点 , 点 B 叫做向量 AB的终点, 线段 AB的长叫做向量 AB的长度 , 记作 | AB|.(3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量.(4)向量向量的坐标： 在数轴上向量 AB的长度连同表示方向的符号称作向量AB的坐标或数量 ,AB的坐标用AB表示 .(5) 起点和终点重合的向量是零向量, 它没有确定的方向 , 它的坐标为

3、 0, 其长度为零 .(6) 位移的和：在数轴上 , 如果点 A 作一次位移到点 B, 接着由点 B 再作一次位移到点 C, 则位移AC叫做位移 AB与位移 BC的和 , 记作 AC AB BC.由于向量可用数量表示, 因此 , 位移的和可简单地由数量和表示.3. 数轴上的基本公式(1) 数轴上任意三点间的关系对于数轴上任意三点A, B, C, 都具有关系AC AB BC.(2) 数轴上两点的距离数轴上任一向量的坐标1名校名 推荐数轴上任一向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.数轴上两点的距离设 A( x1), B( x2) 为数轴上任意两点, 用 d( A, B) 表示 A, B两点间的距离,

4、 则 d( A, B) | AB| | x2 x1|.要点一数轴上的点与实数的关系例 1(1) 若点 P( x) 位于点 M( 2), N(3) 之间 , 求 x 的取值范围；(2) 试确定点 A( a) 、B( b) 的位置关系 .解 (1) 由题意可知 , 点 M( 2) 位于点 N(3) 的左侧 , 且点 P( x) 位于点 M( 2), N(3) 之间 , 所以2 x 3.(2) 确定两点的位置关系 ,需要讨论实数a, b 的大小关系；当a b时 , 点 A( a) 位于点 B( b) 的右侧；当时 ,点 () 位于点() 的左侧；当ab时, 点 () 与点 () 重合 .a bA a

5、B bA aB b规律方法数轴上的点与实数之间是一一对应的关系, 所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置 , 显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.跟踪演练1下列各组点中 , 点位于点N左侧的是 ()MA. M( 2), N( 3)B. M(2),N( 3)C.M(0), N(6)D. M(0),N( 6)答案C解析A 中, 2 3, 点 M( 2) 位于点 N( 3) 右侧； B 中,2 3, 点 M(2) 位于点 N( 3) 的右侧； C 中,0 6, 点 M(0)位于点 N(6)的左侧； D中 ,0 6, 点 M(0) 位于点 N( 6) 的右侧 .要点二数轴上向量的坐标运算例 2已知有

6、理数a 在数轴上对应点A, 将点 A 沿数轴向左平移3 个单位长度得点B 后 , 再向右平移 2个单位长度得到点, 点C对应的数是 1.5,问：有理数a是多少？向量 、向量CABCB的坐标分别是多少？解先逆向分析变化过程：点 C( 1.5)左移 2个单位 右移 3个单位A( a). B 点B和点A的坐标分别为( 3.5)和 ( 0.5),BA a 0.5,AB 3.5 ( 0.5) 3,CB 3.5 ( 1.5) 2. 即向量 AB, CB的坐标分别为3, 2.2名校名 推荐规律方法本题属于点的平移问题, 解题时先标出平移过程, 根据数轴上点的坐标与实数的对应关系写出点的坐标 , 再利用向量坐

7、标的定义写出向量的坐标.跟踪演练 2例 2 的条件不变 , 若将问题改为：若将点C再向右平移2 个单位长度得到点D,问向量 CD和向量 BC有什么关系？解 由题意知 , 点D的坐标为(0.5),又点 , 点C的坐标分别为 ( 3.5),( 1.5), DBBCCD0.5 ( 1.5) 2, BC 1.5 ( 3.5) 2,CD BC,向量 CD和向量 BC相等 .要点三数轴上两点的距离例 3已知 M、 N、 P是数轴上三点, 若 | MN| 5,| NP| 2, 求 d( M, P).解 M、 N、 P 是数轴上三点 ,| MN| 5,| NP| 2,(1) 当点 P 在点 M, N之间时 (

8、 如图所示 )d( M, P) | MN| | NP| 5 23；(2) 当点 P在点 M、 N之外时 ( 如图所示 )d( M, P) | MN| | NP| 5 27.综上所述： d( M, P) 3 或 d( M, P) 7.规律方法1. 解答本类问题时, 如果两点的相对位置不确定, 一定要注意分类讨论.2. 要明确向量的长度及数量的区别与联系, 注意 | AB| d( A, B) | xB xA|, AB xBxA.跟踪演练3已知数轴x 上的点 A, B, C的坐标分别为1,3,5.(1) 求 AB、BA、 | AB| 、 BC、 | AC| ；(2) 若 x 轴上还有两点 E、 F,

9、 且 AE 8, CF 4, 求点 E、 F 的坐标 .解 (1) AB 3 ( 1) 4； BA AB 4；| AB| |3 ( 1)| 4； BC5 3 2；| AC| |5 ( 1)| 6.(2) 设 E、 F 点的坐标分别为 xE、xF,因为 AE 8, 所以 xE ( 1) 8, 有 xE 7；因为 CF 4, 所以 xF5 4, 有 xF 1.故 E, F 两点坐标分别为7,1.3名校名 推荐1. 数轴上 A, B 两点的坐标分别为x1, x2, 则下列式子中不正确的是 ()A.| |x1x2|B.| 2x1ABBAxC.AB x x1D. BA x x221答案B2. 在数轴上从

10、点( 2) 引一线段到(3),再延长同样的长度到, 则点C的坐标为 ()ABCA.13B.0C.8D. 2答案C3. A、 B 为数轴上的两点 , A 点的坐标是 1, AB6, 那么点 B的坐标为 ()A.5B. 7C.5 或 7D. 5 或 7答案A4. 已知数轴上两点A( a), B(5.5),并且 d( A, B) 7.5,则 a_；若 AB7.5, 则 a_.答案 2 或 1325. 、 、 、D是数轴上的任意四点, 则 _.ABCAB BC CD DA答案01. 向量的有关概念及表示：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标 ( 数量 ) 这几个概念 , 它们分别用 AB、| AB| 、AB来表示；两个向量相等 , 必须长度和方向都相同； 零向量是起点和终点重合的向量 , 它的长度为0, 方向不确定 .2. 向量的有关运算公式：数轴上向量加法的运算法则是对于数轴上任意三点 A, B, C都具有 AC AB BC( 或 AC AB ). 数轴上的向量坐标公式21(