高三数学教案直线的方程4

1、直线的方程一、【知识精讲】（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线 L 与 x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。故倾斜角的范围是0，）。（2）斜率：不是900 的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan。（3）过两点 P(x1,y1),P(x 2,y2),(x 1 x2)的直线的斜率公式k=tan = y2y1x2x1（4）直线方程的几种形式：直线名方程形式常数意义适用范围备注称点斜00)k 斜率0,0)直线上k 存在k 不存在时x= x0y-y =k(x -x,(xy式定点斜截y=kx+bk 斜率 ,b

2、为 y 轴上截k 存在k 不存在时x= x 0式距两点yy1xx11, 12,2)是线上不垂直 x,y 轴x1 2时 x=x1(x y ), (xy=x式y2y1x2x1两定点且 (x1 x2,y1y1=,y2 时 y= ,y1 ,y2),截距xy1a ,b 分别为x,y轴不垂直 x,y 轴和过a =b=0 时 y=kx式ab上截距原点一般Ax+By+C=0A,B 不同时为 0任意直线A,B,C 为 0 时,直线式的特点注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。2、重难点（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；（ 2）确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k -1,1, 则（ 3）灵活地设

3、直线方程各形式，求解直线方程； 直线方程的五种形式之间的熟练转化。二、【例题选讲】0,3 ,44例 1、直线 x cos3y2 0 的倾斜角的取值范围是 _。解: 直线地斜率 k3 cos3k3,0,5 ,33366练习 : 直线 ax+y+1=0与连接 A(2,3) 、 B( 3,2)的线段相交 ,则 a 的取值范围是 ( )A. 1,2B.2,+ （ , 1）C. 2,1D. 1,+ （ , 2）解：直线ax+y+1=0 过定点 C(0, 1),当直线处在 AC 与 BC 之间时 ,必与线段 AB 相交 ,应满足3121a2a 1.a或a即或D。选23【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能

4、想当然,要根据具体情况而定第 1页共 4页例 2 (优化设计P102 例 1) ABC的三个顶点 A(3, -4),B(0,3),C( 6,0).求它的三条边所在的直线方程。yB(0,3)C(-6,0OxA(3, -4)解：由已知得直线BC 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为-6、3，利用截距式，直线BC 的方程为 xy1，化为一般式为x2 y 6 06377 kAB, AB 在 y 轴上的截距为3， 由斜截式得直线AB 的方程为 y3x 3 ，3化为一般式为7 x3y9 0 kAC4，由点斜式得AC的方程为y04 ( x 6) ，化为一般式为994x 9y 24 0【评注】 本题考查了求直线

5、方程的基本方法，合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度.例 3 (优化设计P103 例 2) 已知两直线 a1xb1 y10和 a2 xb2 y 1 0 的交点为P（ 2， 3），求过两点 Q1 ( a1 ,b1 ) 、 Q2 (a2 b2 ) （ a1a2 ) 的直线方程。解法一： P（ 2， 3）在已知直线上，2a13b1102a23b210 2( a1a2 ) 3(b1 b2 ) 0b1b22即a23a1所求直线方程为yb12 ( xa1 )即2x3y1 03【深化拓展】 由“两点确定一条直线” ，你有新的解法吗？解法二： P（ 2， 3）在已知直线上，2a13b1102a23b21

6、0 直线过点(a1,b1Q2 (a2b2 ) a1a2 )2x 3 y 1 0Q1，两点只能确定一条直线，) 、（所求直线方程为2x3 y 10例 4 (优化设计P103 例 3)一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件， 求直线方程：第 2页共 4页（ 1）倾斜角是直线 x 4 y30 的倾斜角的两倍；（ 2）与 x、 y 轴的正半轴交于A 、 B 两点，且 AOB的面积最小（ O为坐标原点）解法一：（ 1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则=2，且 tan= 1 ,tan=tan28, 从而所求直线方程为 8x 15 y6 0415（ 3）设直线方程为xy1 ， ( a0,

7、 b0 ),点 P（ 3， 2）代入得ab321 262411232ab得 ab从而 S AOBab等号当且仅当a时成立，ab2b这时 kb22x3y120a，从而所求直线方程为3a或 b的一元函数后求解。【评注】 此题（ 2）也可以转化成关于（ 4）解法二：设直线方程为xy1 ， ( a0 ,b0 ),点 P（ 3， 2）代入得ab322a（ a3)1a 2(a3)9a1 ，解得b3，则 S AOBaba36ba2a 312，等号当且仅当 ( a3)9即 a6 时成立，这时 b4 ，从而所求直线方程为a3xy3 y12061 即 2x4【深化拓展】 若求 PA ? PB 及 OAOB 的最小

8、值，又该怎么解？解：显然直线斜率存在。设直线方程为y-2=k(x -3)(k0)得点 A( 32 ,0 ),B(0,2 -3k) ，kPA PB =7236 k 2112,此时k1即直线为 x+y -5=0k 2 OA + OB =( 32)+(2-3k) 5 26, 此 时 k6即 直 线 为k36x3 y6 36 0练习 : 一条直线被两直线l1 ：4x+y+6=0,l 2 ：3x 5y 6=0 截得的线段的中点恰好为坐标原点 ,求这条直线的方程 .解法一：由题意可设所求直线方程为y=kx, 分别与 l1 , l 2 的方程联立得两交点的横坐标分别第 3页共 4页为6与6, 令k6+6=0

9、 得 k1 . 从而所求直线方程为x+6y=0.k435k435k6解法二：设所求直线与l1 ,l 2 的交点分别为A,B. 设 A(x0 , y0 ) , AB 关于原点对称 , B(x0 ,y0 ) , 又 A,B分别在直线l1 , l 2 上 , 4x0+y0+6=0 且 3x0+5y0 6=0, 两式相加得x+6y =0. 即点 A在直线 x+6y=0 上 , 又直线 x+6y=0 过原点 , 故所求的直线方程为 x+6y=0.00【思维点拨】 “设点而不求”是简化计算的一种十分重要的方法。例 5、某房地产公司要在荒地ABCDE （如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m2）解：在线段 AB 上任取一点 P，过 P 作 CD、 DE 的垂线，则 AB 的方程为xy1 ，设 p(x,20- 2 x ),则 S=(100 -x)80 -(20-2 x ) (0 x 30)30202 x220 x33得 s6000(0 x