高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、最新资料推荐用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为a (a1， b 1 ， c1 )平面 ， 的法向量 u (a3， b3 ， c3 )， v (a4 ，b 4， c4 )(1) 线面平行： l? au ? a u0 ? a1a3 b 1 b3 c1c3 0(2) 线面垂直： l ? au ? a ku ? a1 ka3 ， b 1 kb 3 ，c1 kc 3(3) 面面平行： ? u v? u kv ? a3 ka4 ， b 3 kb 4， c3 kc 4(4) 面面垂直： ? u v ? u v 0? a3a4 b 3b 4 c3 c4 0例 1 、如图所

2、示，在底面是矩形的四棱锥P- ABCD 中， PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点， PAAB 1 ， BC 2.(1) 求证： EF平面 PAB；(2) 求证：平面 PAD平面 PDC. 证明 以 A 为原点， AB， AD ，AP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,1) ，所以 E11系如图所示，则，1 ，2211F 0 ， 1 ，EF ，0 ，0 ， PB (1,0 ， 1) ， PD (0,2 ， 1) ， AP (0,0,1) ，22AD (0

3、,2,0) ， DC (1,0,0) ， AB (1,0,0) 1(1) 因为 EF AB ，所以 EF AB ，即 EFAB. 2又 AB ? 平面 PAB， EF? 平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2) 因为 AP DC (0,0,1) (1,0,0) 0 ， AD DC (0,2,0) (1,0,0) 0，所以 AP DC ， AD DC ，即 AP DC ，AD DC.又 AP AD A，AP? 平面 PAD，AD ? 平面 PAD ，所以 DC平面 PAD.因为 DC? 平面PDC，所以平面 PAD平面 PDC.1最新资料推荐使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方

4、向向量和平面内一条直线的方向向量平行， 然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2 、在直三棱柱ABC-A 1B1 C1 中，ABC 90 ，BC2 ， CC1 4 ，点 E在线段 BB1 上，且 EB1 1 ，D， F， G 分别为 CC1 ， C1B1， C1 A1 的中点求证： (1) B1 D平面 ABD ；(2) 平面 EGF平面 ABD .证明： (1) 以 B 为坐标原点， BA、 BC、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空

5、间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)， D(0,2,2)，B1 (0,0,4) ，设 BA a，则 A(a,0,0) ，所以 BA ( a,0,0) ， BD (0,2,2)， B1D (0,2 ， 2) ，B1 D BA0，B1 D BD0440，即 B1DBA，BDBD . 1又 BA BD B，因此 B1 D平面 ABD .aa(2) 由 (1) 知， E(0,0,3) ， G， 1 ， 4， F(0,1,4) ，则 EG ， 1 ， 1 ， EF (0,1,1) ，22B D EG 0 2 2 0， B D 0 2 2 0 ，即 B1 D EG， B1 D EF.11EF又 EG

6、EFE，因此 B1D平面 EGF.结合 (1) 可知平面 EGF平面 ABD .利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线a， b 的方向向量分别为 a， b ，异面直线所成|a b |的角为 ，则 cos |cos a，b |.|a|b |(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，|na|则 sin |cos n ， a |.| n|a|(3) 向量法求二面角：求出二面角 l的两个半平面 与 的法向量n 1， n 2 ，2最新资料推荐|n 1n2|若二面角 l 所成的角 为锐角，则cos|cos n 1， n2 |；|

7、n1 |n 2 |n 1n2 |若二面角 l 所成的角 为钝角，则cos |cos n 1 ， n2 |.|n 1|n 2 |例 1 、如图，在直三棱柱 A1 B1C1- ABC 中， AB AC， AB AC 2 ， A1A 4 ，点 D 是 BC 的中点(1) 求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值 解 (1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A- xyz ，则A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0) ，D(1,1,0) ，A1(0 ，0,4) ，C1(0,2,4) ，所以 A1 B

8、 (2,0 ， 4) ， C1 D (1 ，1 ， 4) 18310因为 cos A1 B ， C1 D A1B C1D20 18，|A1B | C1 D |10310所以异面直线A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值为.10(2) 设平面 ADC 1 的法向量为 n1 (x，y，z)，因为 AD (1,1,0) ，AC1 (0,2,4) ，所以 n 1AD0 ，n 1 AC1 0 ，即 x y 0 且 y 2 z0 ，取 z 1，得 x 2， y 2 ，所以， n1 (2 ，2,1) 是平面 ADC 1 的一个法向量 取平面 ABA 1 的一个法向量为n 2 (0,1,0) 设平面 ADC

9、1与平面 ABA 1 所成二面角的大小为.由 |cosn 1n2225| ，得 sin.| n1 |n 2 |9 133因此，平面 ADC1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为5.3例 2 、如图，三棱柱 ABC- A1B1C1 中， CA CB，AB AA 1，BAA 1 60 .(1) 证明： AB A1C；(2) 若平面 ABC平面 AA 1B1B， AB CB，求直线A1C 与平面 BB1C1 C 所成角的正弦值3最新资料推荐解 (1) 证明：取AB 的中点 O，连接 OC， OA 1， A1 B.因为 CA CB，所以 OC AB .由于 AB AA 1，BAA 1 60 ，故

10、AA 1 B 为等边三角形，所以OA 1 AB.因为 OC OA 1 O，所以 AB平面 OA 1C.又 A1C? 平面 OA 1 C，故 AB A1 C.(2) 由 (1) 知 OC AB， OA 1 AB.又平面 ABC平面 AA 1 B1 B，交线为 AB，所以 OC 平面 AA 1 B1 B，故 OA ，OA 1， OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向， | OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz .由题设知A (1,0,0) ， A1 (0 ，3 ， 0) ，C(0,0 ，3) ， B(1,0,0) 则 BC (1,0 ，3) ，

11、 BB1 AA1 (1 ，3， 0) ， A1C (0 ，3 ，3) 设 n (x， y， z)是平面 BB1C1 C 的法向量，n 0 ，x3 z0 ，BC可取 n (3 ， 1 ， 1) 则0.即n BB1 x3 y0.n 10A1C故 cosn， A1C.|n | A1C |5所以 A 1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为10.5(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2) 求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即 cos |cos|.两平面的法向

12、量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例 3 、如图，在四棱锥S-ABCD 中， AB AD ， AB CD， CD 3 AB 3，4最新资料推荐平面 SAD 平面 ABCD， E 是线段 AD 上一点， AEED3 ， SE AD .(1) 证明：平面 SBE平面 SEC；(2) 若 SE 1 ，求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值解：(1) 证明：平面 SAD平面 ABCD ，平面 SAD 平面 ABCD AD ，SE? 平面 SAD，SE AD ，SE平面ABCD.BE? 平面ABCD，SEBE.ABAD ， AB CD，CD 3AB 3 ， AEED3 ，

13、AEB 30 ，CED60 .BEC 90 ，即 BE CE. 又 SECE E，BE平面 SEC. BE? 平面 SBE，平面 SBE平面 SEC.(2) 由 (1) 知，直线 ES，EB，EC 两两垂直如图，以E 为原点， EB 为 x 轴， EC 为 y 轴，ES 为 z 轴，建立空间直角坐标系则 E(0,0,0) ，C(0,23 ，0) ，S(0,0,1) ，B(2,0,0) ，所以 CE(0 ， 23， 0) ， CB (2 ， 23 ， 0) ， CS (0 ， 23 ， 1) 设平面 SBC 的法向量为n (x，y，z)，n 0，2x2 3 y0 ，CB令 y 1，得 x 3 ，

14、 z 23 ，则即n CS 0.2 3y z 0.则平面 SBC 的一个法向量为 n (3 ， 1,2 3) n 1CE| ，设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 ，则 sin |n |4CE1故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为 .4例 4 、如图是多面体 ABC- A1B1C1和它的三视图5最新资料推荐(1) 线段 CC1 上是否存在一点 E，使 BE平面 A1CC1？若不存在， 请说明理由， 若存在，请找出并证明；(2) 求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值解：(1) 由题意知AA 1 ，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0

15、,0) ，A1 (0,0,2) ，B( 2,0,0) ，C(0 ， 2,0) ， C1 (1 ， 1,2) ，则 CC1 ( 1,1,2) ， A1C1 ( 1 ，1,0) ， A1C (0 ， 2 ， 2) 设 E(x， y， z)，则 CE (x， y 2 ， z)，EC1(1x，12)设CEEC1( 0) y, z ，x x， 2 2 则 y2 y，则 E，1 1 1 z 2 z，2 2 2 BE ，.1 1 1 2 2 BE A1C1 0 ， 0 ，1 1 由得解得 2 ，BE A1C 0 ，2 2 0 ，1 1 所以线段 CC1 上存在一点E， CE 2 EC1 ，使 BE平面 A1

16、 CC1.m A1C1 0 ，(2) 设 平 面C1A1 C 的 法 向 量 为 m (x ， y ， z) ， 则 由 得 m A1C 0， x y 0， 2 y2 z 0 ，取x 1，则y 1 ， 1.故m (1 ， 1,1) ，而平面1CA的一个法向量为n (1,0,0) ，zA6最新资料推荐m n133则 cos m ，n，故平面 C1A 1 C 与平面 A 1 CA 夹角的余弦值为.| m | n|333利用空间向量解决探索性问题例 1 、如图 1 ，正ABC 的边长为 4 ，CD 是 AB 边上的高， E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角

17、A- DC- B(如图 2) (1) 试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2) 求二面角 E-DF -C 的余弦值；(3) 在线段 BC 上是否存在一点P，使 AP DE？如果存在，求出BP的值；如果不存在，BC请说明理由解 (1) 在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB.又 AB ? 平面 DEF， EF? 平面 DEF，AB平面 DEF.(2) 以点 D 为坐标原点，以直线 DB ，DC ， DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2) ， (2,0,0)，C(0 ， 2 3 ， 0) ， (0 ， 3，

18、 1) ，F(1 ，3 ， 0) ，BEDF (1 ， 3 ， 0) ， DE (0 ，3 ，1) ， DA (0,0,2) 平面 CDF 的法向量为 DA (0,0,2)设平面 EDF 的法向量为n (x， y， z)，DF n 0 ，x 3 y 0，则 0 ，即取 n (3 ， 3 ， 3) ，DE3y z 0，nDA n21E- DF- C 的余弦值为21cos DA ，n ，所以二面角.| DA |n |77(3) 存在设 P(s， t,0) ，有 (s， t， 2) ，则23AP 3 t 2 0 ，t，AP DE3又 BP (s 2 ，t, 0) ， PC ( s,23 t,0) ，

19、BP PC ，(s 2)(23 t) st，7最新资料推荐 3 s t223413. 把 t代入上式得 s， BP BC ，333在线段 BC 上存在点 P，使 AP DE.BP1此时， .BC31论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例 2 、 .如图所示，在直三棱柱 ABC- A1 B 1C1中，ACB 90 ，AA 1 BC 2 AC 2.(1) 若D为AA1中点，求证：平面1平面1 1；B CDB C D(2) 在 AA 1 上是否存在一点 D，使得二面角 B1- CD- C1

20、的大小为 60 ？解： (1) 证明：如图所示，以点C为原点，CA，1 所在直线分别为x，z轴建CBCCy立空间直角坐标系则C(0,0,0) ，A(1,0,0) ， B1 (0,2,2) ， C1(0,0,2) ， D(1,0,1) ，即 C1B1 (0,2,0) ， DC1 ( 1,0,1) ， CD (1,0,1) 由 C1B1 CD (0,2,0) (1,0,1) 0 0 0 0，得 C1 B1 CD ，即 C1 B1CD .由 DC1 CD ( 1,0,1) (1,0,1) 1 0 1 0，得 DC1 CD ，即 DC1 CD.又 DC1 C1 B1 C1，CD 平面 B1 C1D.又

21、 CD? 平面 B1CD ，平面 B1CD平面 B1 C1D.2(2) 存在当AD AA 1 时，二面角B1- CD- C1 的大小为 60 .理由如下：2设 AD a，则 D 点坐标为 (1,0 ， a) ， CD (1,0 ，a)， CB1 (0,2,2) ，设平面 B1CD 的法向量为 m ( x， y，z)，m 2y2z0 ，CB1 0令 z 1，得 m (a,1 ， 1) 则?m 0x az 0 ，CD8最新资料推荐又CB (0,2,0) 为平面 C CD 的一个法向量，则|m CB |11cos 60 ，1|m |CB |a222解得 a2( 负值舍去 )，故 AD 22AA 1

22、.在 AA 1 上存在一点 D 满足题意2空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领悟好例 1 、如图，四棱锥P- ABCD 中， PA底面 ABCD ， BC CD 2， AC 4 ，ACB ACD ， F 为 PC 的中点， AFPB.3(1) 求 PA 的长；(2) 求二面角 B- AF- D 的正弦值(1) 学审题审条件之审视图形建系PA面 ABCD由条件知 AC BD DB

23、 ，AC 分别为 x，y 轴写出 A，B，C，D 坐标PFCFAF PB设 P 坐标可得 F 坐标AF PB 0得 P 坐标并求 PA 长(2)学审题由(1)AD，AF，AB的坐标向量 n1 ， n 2分别为平面 FAD、平面 FAB的法向量n 1 AD 0 且 n1 AF 0求得 n 1 n2 求得夹角余弦解 (1) 如图，连接BD 交 AC 于 O，因为 BC CD ，即BCD 为等腰三角形，又AC平分BCD ，故 AC BD .以 O 为坐标原点，OB ， OC ， AP 的方向分别为x 轴， y 轴， z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 OC CDcos 1.而 AC 4

24、 ，得 AO AC39最新资料推荐OC 3. 又 OD CDsin3 ，0,0) ，C(0,1,0) ，D( 3 ，故 A (0 ， 3,0) ，B(3 ，0,0) 3因 PA底面 ABCD ，可设 P(0 ，3，z)由 F 为 PC 边中点， 知 F0 ， 1，z.又 AF2zz20 ，2 ，PB ( 3，3 ， z)，AF PB，故AF 0 ，即 6 0 ，z 2 3( 舍2PB2去 23) ，所以 | PA| 23.(2) 由 (1) 知AD (3 ， 3,0) ， AB ( 3 ， 3,0) ， AF (0,2 ，3) 设平面 FAD的法向量为n 1 (x1， y1， z1 )，平面

25、FAB 的法向量为n 2 (x2 ，y2 ， z2 )， 3x1 3 y 1 0 ，由 n 1AD 0 ，n 1AF 0 ，得因此可取 n 1 (3 ，3 ， 2) 2 y13 z1 0 ，3x2 3 y 2 0 ，由n2 0 ，2 0，得故可取n2 (3 ，3 ， 2) ABnAF2 y23 z2 0 ，从而法向量 n1 ， n 2 的夹角的余弦值为n 1 n21cos n 1， n 2 .|n 1|n 2|837故二面角 B- AF- D 的正弦值为.8AC BD若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时， 要通过其他已知条件得到垂直关系

26、，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例 2 、如图，在空间几何体中，平面ACD平面 ABC ，AB BCCA DA DC BE 2. BE 与平面 ABC 所成的角为 60 ，且点 E 在平面 ABC 内的射影落在 ABC 的平分线10最新资料推荐上(1) 求证： DE平面 ABC；(2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值解：证明： (1) 易知ABC，ACD 都是边长为2 的等边三角形，取 AC 的中点 O，连接 BO， DO ，则 BO AC， DO AC. 平面 ACD 平面 ABC，DO 平面 ABC.作 EF平面

27、ABC，则 EFDO . 根据题意，点 F 落在 BO 上，EBF60 ， 易求得 EF DO 3 ，四边形 DEFO 是平行四边形，DEOF .DE? 平面 ABC， OF? 平面 ABC，DE平面 ABC.(2) 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1 (0,0,1) 可得 C1,0,0)， B(0，3，0)， E，31，3)，则CB(1，3，0)，BE(0，(01 ，3) 设平面 BCE 的法向量为n 2 (x， y， z) ，则可得 n 2 CB 0 ， n 2BE 0 ，即( x， y，z)(1 ，3 ， 0) 0 ， (x， y， z)(0

28、 ， 1 ，3) 0 ，可取 n 2 ( 3 ，3， 1) n 1n113故 cos n 1 ，n 2. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，|n 1|n 2|1313故二面角 E- BC- A 的余弦值为.13专题训练1.如图所示，在多面体ABCD A1 B1 C1D1 中，上、下两个底面A1 B1 C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1底面 ABCD ， AB A1 B1 ， AB 2A1 B1 2 DD 1 2 a.(1) 求异面直线 AB 1 与 DD 1 所成角的余弦值；(2) 已知 F 是 AD 的中点，求证： FB1 平面 BCC1B1.解：以 D 为原点， D

29、A ，DC， DD 1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2 a,0,0) ， B(2 a,2 a,0) ， C(0,2 a,0) ， D1(0,0 ，a)， F(a,0,0) ， B1 (a， a， a) ，C1(0 ， a， a)11最新资料推荐AB1 DD1(1) AB1 ( a，a，a)， DD1 (0,0 ， a) ，cos AB1 ， DD1 | AB1 |DD1 |3，33所以异面直线AB 1 与 DD 1 所成角的余弦值为.3(2) 证明： BB1 ( a， a， a)， BC ( 2 a,0,0) ， FB1 (0 ， a， a)，

30、FB1 BB1 0 ，FB1 BB1 ， FB1 BC.FB1 BC 0.BB1BC B，FB1平面 BCC1 B1 .2如图，在三棱柱-1 1 1 中，1 1是边长为4 的正方形，平面ABC平面ABCA B CAA C CAA 1C1 C，AB 3 ， BC 5.(1) 求证： AA 1 平面 ABC；(2) 求二面角 A1- BC1 -B1 的余弦值；(3) 证明：在线段 BC 上存在点 D，使得 AD AB，并求BD的值111BC解： (1) 证明：因为四边形AA1C C 为正方形，所以 AAAC.11因为平面 ABC平面 AA C C，且 AA1垂直于这两个平面的交线AC ，所以 AA

31、平面111ABC.(2) 由 (1) 知 AA 1 AC ，AA 1 AB . 由题知 AB 3， BC 5 ， AC 4 ，所以 AB AC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系A- xyz ，则 B(0,3,0) ， A1 (0,0,4) ， B1(0,3,4) ，C1(4,0,4) ，11 的法向量为n (，)，A1 B (0,3 ， 4) ， A1C1 (4,0,0) 设平面 A BCxyz12最新资料推荐n A1 B 0 ，3 y 4z 0 ，令 z 3 ，则 x 0 ， y 4，所以 n (0,4,3) 则即n 0.4 x 0.A1 C1同理可得， 平面 B BC 的一个法向量为

32、n m16m (3,4,0) 所以 cos n ，m .11|n |m |25A 1- BC1- B1 为锐角，所以二面角16由题知二面角A1- BC1 - B1 的余弦值为.25(3) 证明：设 D(x， y， z)是直线 BC1 上一点，且 BD BC1 .所以 (x， y 3， z)(4 ， 3,4) 解得 x4 ， y 3 3 ， z4 .9所以 AD (4 ， 3 3 ， 4)由 AD A1 B 0 ，即 9 25 0 ，解得 .259BC1 上存在点 D，使得 AD A 1 B.因为 0,1 ，所以在线段25BD9此时， .BC1253如图 (1) ，四边形ABCD 中， E 是

33、BC 的中点， DB 2 ， DC1 ，BC5 ， AB AD 2.将图 (1) 沿直线 BD 折起，使得二面角A- BD - C 为 60 ，如图(2) (1) 求证： AE平面 BDC；(2) 求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值1解： (1) 证明：取 BD 的中点 F，连接 EF， AF，则 AF 1 ， EF ，AFE60 .2113由余弦定理知1 2 2 2 1 cos 60 .AE222AE2 EF2 AF2，AE EF.13最新资料推荐AD，F为BD中点BDAF. 又BD2 ，DC 1 ，5，2DC2ABBCBDBC2，即 BD CD.又 E 为 BC 中点， EFCD

34、，BD EF.又 EFAF F， BD 平面 AEF.又 BD AE，BDEF F，AE平面 BDC .3(2) 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0 ， 0 ，211C 1 ， ， 0 ， B 1 ， ， 0 ，2211313D 1 ，0， DB (2,0,0) ， DA 1 ， AC 1 ， ，.22222设平面 ABD的法向量为 n (x， y， z)，n 02 x0 ，DB取 z3 ，由得13n 0xyz，DA202则 y 3 ，又n (0 ， 3 ，3) n 6cos n ， AC AC.|n | AC |4故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为10.44如图

35、所示，在矩形ABCD 中， AB 35 ，AD 6，BD 是对角线，过点 A 作 AEBD，垂足为 O，交 CD 于 E，以 AE 为折痕将 ADE 向上折起，使点D 到点 P 的位置，且 41.PB(1) 求证： PO 平面 ABCE；14最新资料推荐(2) 求二面角 E-AP - B 的余弦值解：(1) 证明：由已知得AB 35，AD 6 ，BD 9.在矩形 ABCD 中，AE BD ，DOADRt AOD Rt BAD ，DO 4 ，BO 5.ADBD在中，PB 41 ， 4 ，BO 5 ， 2BO22，POBPOPOPBPO OB .又 PO AE，AEOB O，PO平面 ABCE.(2) BO 5 ，AO AB 2 OB 2 2 5.以 O 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4) ，A (25 ，0,0) ，B(0,5,0) ，PA (25 ， 0 ， 4) ， PB (0,5 ， 4) n 1 PA 0，2 5x 4 z0 ，设 n 1 (x， y， z)为平面 APB 的法向量则即n 1 0，5y 4 z0.PB取 x 25得 n1 (25 ， 4,5) 又 n2 (0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量，cos n 1n 1n24461， n 261，|n 1 |n2