高一数学教案[苏教版]等差数列的前n项和1

1、第五 等差数列的前n 和 (一 )教学目 ：掌握等差数列前n 和公式及其 取思路，会用等差数列的前n 和公式解决一些 的与前 n 和有关的 ；提高学生的推理能力，增 学生的 用意 .教学重点：等差数列前n 和公式的推 、理解及 用.教学 点：灵活 用等差数列前n 公式解决一些 的有关 .教学 程： .复 回 前面的学 ，我 知道，在等差数列中：（ 1） anan 1 d(n 1)，d 常数 .（ 2）若 a， A， b 等差数列， a b.A2（ 3)若 m np q， am an ap aq .（其中 m， n，p， q 均 正整数） . 授新 随着学 数列的深入，我 常会遇到 的 .例：如

2、 ，一个堆放 笔的V 形架的最下面一 放一支 笔，往上每一 都比它下面一 多放一支，最上面一 放120 支， 个V 形架上共放着多少支 笔? 是一堆放 笔的V 形架， 形同前面所接触 的堆放 管的示意 ，看到此 ，大家都会很快捷地找到每一 的 笔数与 数的关系，而且可以用一个式子来表示 种关系，利用它便可以求出每一 的 笔数 .那么， 个 V 形架上共放着多少支 笔呢？ 个 又 如何解决呢？ 分析，我 不 看出， 是一个等差数求和 ？首先，我 来看 一个 ：12 3 100？ 于 个 ，著名数学家高斯10 曾很快求出它的 果，你知道他是怎么算的 ？高斯的算法是：首 与末 的和：1 100 10

3、1，第 2 与倒数第 2 的和： 2 99101，第 3 与倒数第 3 的和： 3 98101，第 50 与倒数第 50 的和： 50 51 101，于是所求的和是 101100 5050.2 个 ，它也 似于 才我 所遇到的 ，它可以看成是求等差数列1，2，3，n,的前 100 的和 .在上面的求解中，我 所求的和可用首 、末 及 数n 来表示，且任意的第 k 与倒数第k 的和都等于首 与末 的和， 就启 我 如何去求一般等差数列的前 n 的和 .如果我 可 出一 算式，那么上述 便可迎刃而解. 等差数列 annn12 an 的前 n 和 S ，即 S a a把 的次序反 来，Sn又可写成n

4、nn 11S a a a 2Sn (a1 an)( a2an 1) (an a1)第 1页共6页又 a2an 1 a3 an2 a4 an3 an a12Sn n(a1 an)即： Snn（ a1 an）2若根据等差数列 an的通 公式，nn 111 ,把 的次S可写 ： S =a+(a +d)+ + a +( n 1)d序反 来， Sn 又可写 ： Sn=an+(an d)+ + an (n1)d ,把、两 分 相加，得n个2S (a1 an )(a1an )(a1an ) n(a a )n1n即： Snn（ a a ）.1n2由此可得等差数列 an 的前 n 和的公式nn（ a1 an）S

5、2.也就是 ，等差数列的前n 和等于首末两 的和与 数乘 的一半.用 个公式来 算1 2 3 100？我 有 S100100（ 1 100）2 5050.又 ana1+(n1)d, Snn（a1 an）na1 a1（ n 1） d） n（ n 1）d22 na12 Snn（a a ）n1n（ n 1）1n或 S na d22有了此公式，我 就不 解决最开始我 遇到的 ，下面我 看具体 如何解决？分析 意可知， 个 V 形架上共放着 120 笔，且自上而下各 的 笔成等差数列，可 an ，其中 a1 1， a120 120， n120.解： 自上而下各 的 笔成等差数列 an1120 ，其中 n

6、 120，a1， a 120. ： S120120（ 1 120） 72602答案： 个 V 形架上共放着7260 支 笔 .下面我 再来看一例 ：等差数列10， 6， 2， 2，前多少 的和是 54?分析：先根据等差数列所 出 求出此数列的首 ，公差，然后根据等差数列的求和公式求解 .解： 中的等差数列 an ，前 nn1 的 S ，由 意可知： a 10，d (6) ( 10) 4， Sn 54由等差数列前 n 求和公式可得：n（ n1） 10n2 454解之得： n1 9， n2 3(舍去 )答案：等差数列10， 6， 2，2，前 9 的和是 54.例 1在等差数列 an 中，（ 1）已

7、知 a2 a5 a12 a15 36，求 S16第 2页共6页（ 2）已知 a6 20，求 S11.分析：（ 1）由于本 只 了一个等式，不能直接利用条件求出a116， a， d，但由等差数列的性 ，可以直接利用条件求出a1 a16 的和，于是 得以解决 .（ 2）要求 S11只需知道1111116，从而 解 .解：（ 1） a2a a即可，而 a与 a 的等差中 恰好是a15512116 a a a a a 18 S16 16（ a1 a16） 8 18144. 2（ 2） a1 a11 2a6 S11 11（ a1a11） 11a6 11 20 220. 2例 2有一 数 2n 1 的等差

8、数列，求它的奇数 之和与偶数 之和的比.分析一：利用n（ n 1）d 解 .Snna1 2解法一： 数列的首 a111 2d，其和 1，共 n 1，公差 d，奇数 a， aS ；偶数 a d， a 3d， a 5d，其和 S2，共 n 项 .111（n 1） a1 112 （ n 1） （n 1） 12 dn 1 S 1n.S2n（ a1 d） 2 n（ n 1） 2dn（ a1 an）分析二：利用Sn解 .2解法二：由解法一知：S1 （ n1）（ a1 a2n 1） ， S2 n（ a2 a2n）221n1 a1 a2n+1 a2 a2nS n S2例 3若两个等差数列的前n 和之比是（7n

9、 1） (4n 27)， 求它 的第11 之比 .分析一：利用性 mn p q amnpq解 . a a a解法一： 数列 an 的前 n 和 Sn，数列 bn 的前 n 和 Tn. ： a11a1 a2111b1 b212， b 2,aa21a a1121 21a227 21141121S b11 121121 T21 3b bb b 214 21 2722分析二：利用等差数列前n 和 SnAn 2+Bn 解 .解法二：由 ，令Sn (7n 1) nk，Tn (4n 27) nk由 an Sn Sn 1 k(14n 6)，得 a11 148k， n 2 bn Tn Tn 1 k(8n 23)

10、，得 b11 111k， n 2,第 3页共6页a11148k4 b11 111k 3 . 述： 本例，一般性的 有：已知等差数列 an 和 bn 的前 n 和分 Sn 和 Tn， ：nS2n1m2n 1S2m 1a T2n 1a 2m 1 T2n 1（ 1）bn； (2)bn.例 4等差数列 an的前 m 和 30，前 2m 和 100， 它的前3m 和 A.30B.170C.210D.260答案： C分析一：把 特殊化，即命m 1 来解 .解法一：取 m 1， a1 S1 30， a2 S2 S1 70 d a2a1 40， a3 a2 d 70 40 110， S3 a1 a2 a3 2

11、10分析二：利用等差数列的前n（ n 1）n 和公式 Sn na12d 行求解 .解法二：由已知，得S ma m（ m 1）d 30m122m（ 2m 1）d 100S2m 2ma12解得 a110202 ， d402mmm S2m3ma13m（ 3m1）d210.2分析三：借助等差数列的前n 和公式 Snn（a1na ）及性 m n p qmn2a a ap aq 求解 .m（ a a ） 601m解法三：由已知得m（ a1 a2m） 1003m（ a1 a3m） 2S3ma3m a2m a2m am由及 合，得S3m210.分析四： 根据性 ：“已知 ann2nn3n2nkn( k1)n，

12、 成等差数列， 则 S ，S S，S S ，SS(k 2)成等差数列”解 .解法四：根据上述性 ，知Sm，S2m Sm， S3m S2 m 成等差数列 .故 Sm (S3m S2m) 2(S2m Sm), S3m3(S2 m Sm) 210.分析五：根据 Snan2 bn 求解 . 解法五： an 等差数列， Sn an2 bn,Sm am2 bm 30，S2m 4m2a 2mb 100第 4页共6页20 10得 a m2 ， b m S3m9m2a3mb210.分析六：运用等差数列求和公式，n（ n1）d 的 形式解 .Snna12解法六：由 Sn1n（ n 1）Sn1n 1d na2d，即

13、 n a2SSSSnm2m3m由此可知数列 n 也成等差数列，也即m， 2m， 3m成等差数列 .由 S2m SmS3m， Sm 30，S2m 1002m m 3m S3m210. 述：一般地， 于等差数列Sp SqSp q(p q). am 中，有p qp q例 5在 a， b 之 插入 10 个数，使它 同 两个数成等差数列，求 10个数的和 .分析：求解的关 有二：其一是求和公式的 ；其二是用好等差数列的性 .解法一： 插入的10 个数依次 x1， x2， x3， x10， a，x1 ，x2， x10，b 成等差数列 .令 Sx1x x x，需求出首 x和公差 d.23101b a12 a1 11db ab a10a b d 11， x1 a 1111 S 10x110910a b109 b a2d 1011211 5(ab)解法二： 法同上，但不求d.依 x1 x10 a b110 5(a b)S 10（xx ）2解法三： 法同上，正 反S S12 (a b)12（ a b） (a b) 5(a b)2 述：求和 灵活多 ，要注意理解和运用.例 6在凸多 形中，已知它的内角度数 成公差 5的等差数列，且最小角是120， 它是几