高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式活页作业布置讲解8北师大版选修4_

1、名校名 推荐活页作业 ( 八)简单形式的柯西不等式一、选择题1已知 a，b (0 ， ) ，且 a b1，则 P ( ax by)2与 Q ax2 by2 的大小关系是 ()A B Q解析： 设 (ax，by) ， (a，) ，mnb则 | ax by| |mn| |m|n|ax 2by2a 2b 2ax2by2a bax2 by2， ( ax by) 2 ax2 by2，即 PQ.答案： Am n2设x0，0， 0， 0，且 1，则uy的最小值是 ()ymnxyxA ( m n) 2B mC nD ( m n) 2xy( xy)m nmyn 2(m n)2解析：根据柯西不等式， 得x yxy

2、，x 当且仅当xy时，等号成立，mn这时 u 取最小值为 (m n) 2.答案： A3已知 x， y(0 ， ) ，且 xy 1，则1111的最小值为 ()xyA 4B 21C 1D 41 1解析： 1 x 1 y 2122121 x1 y11 1 12 1 12 22 4.xyxy答案： A1名校名 推荐4已知 R，则 42 sin2 2cos 的最大值是 ()A 2 3B 366C 3D 62 222222解析： 4 2sin 2cos42 sincos 3 6，263当且仅当 4cos sin，即 sin 3 ， cos 3时等号成立答案： B二、填空题5若 x 2y 5，则 x2 y2

3、 的最小值为 _.22222y解析： 由柯西不等式，得( x y )(1 2 )(x 2y)，当且仅当x 2时取等号所以225( x y ) 25.所以 x2y25.答案： 56已知 2b2 4，则 |acos sin | 的最大值是 _.ab解析： 因为(acos b2(a2 b2)(cos22 sin) sin ) 4，当且仅当 asinbcos 时等号成立，所以 | cos sin | 2.ab答案： 2三、解答题7已知函数y 3x5 46 x，求函数的定义域和最大值解： 易知函数的定义域为5,6，且 y0. y 3x 5 46 x 32 42x 526 x2 5，134当且仅当3 6

4、x 4x 5，即 x 25 时取等号故函数的定义域为5,6，最大值为 5.8 若0x1,0 y1 ， 求 证 ：x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y22 2.证明： 如图，设(，) ，(0,0) ， (0,1)，(1,0) ， (1,1)，其中点( ，) 为以 1P xyOABCP x y为 边 长 的 正 方 形 OBCA 内 任 一 点 ， 则x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2y2| | | | | 2 2. | |OPAPBPCPABOC2名校名 推荐一、选择题1已知 为锐角， a，b 均为正实数则下列不等式成立的是()2a2b2B (a2a2b2A ( ) 22) 22a

5、bcos sinbcos sin22a2b22a2b2C a bcos 2 sin 2 D ( a b) 0) 时等号成立， x 4 xy 4y10.y 4x，2由 x y 2，得 x 5，符合 x0. x 4xy 4y 的最大值为10.答案： 10三、解答题5已知 a1， a2， b1，b2 为正实数求证： (1122)a1a212(2) .a ba bb1b2aa证明： (1122a1a2a b a b )b1 b2 a1b122a1 2a2 2a2b2b1b2a12 2a2 221 1( a a ) .a bb1a bb2126已知 x， y 为正实数，且x1 y2 y1 x2 1，求 x2 y2 的值解： 法一依题意，有 0x1,0 y1.令 xsin， ysin ， 0， 2 ， 0，2 ，4名校名 推荐则 x1 y2 y1 x2 sin cos sin c