高三数学教案微积分建立的时代背景和历史意义

1、课题： 39 微积分建立的时代背景和历史意义教学目的：1了解微积分建立的时代背景和历史意义，进一步形成客观事物具有相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系的观点2通过了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识，激发学习数学的热情内容分析 ：初步学习了极限、导数等微积分基础知识之后，试验修订本教科书特别安排了介绍微积分建立的时代背景和历史意义的内容这在中小学数学必修教科书中尚属首次，是教科书编写的创新了解数学的历史，既是提高自身修养的途径，又是自觉有效地学习、应用数学的催化剂数学作为人类文明的主要组成部分，它的发展规律及与其他文化的关系，

2、应该为更多的公民所了解本节课的主要内容包括三个部分：第一部分是微积分思想方法的萌芽、积累、诞生的历史回顾，着重围绕与大量实际问题相关的求曲线的切线及求函数的极值（对文科学生）问题，阐述变量与极限思想；第二部分是微积分思想方法对数学科学及自然科学发展的作用；第三部分是牛顿、莱布尼茨发明微积分思想方法对我们的启发，主要是阐述自己对数学、数学方法以及发现发明的认识教科书对本节内容阐述得较详细、系统，讲授时可先让学生阅读，教师可挑选几位数学家如刘徽、笛卡尔、费马、牛顿等的工作作一介绍，着重阐述他们研究的问题与微积分思想方法的相关程度 之后可让学生讨论自己对微积分发明的体会教学过程 ：一、引入：1用电脑

3、展示微积分发明者牛顿与莱布尼茨的像片2前面我们学习了极限与导数，已经领咯到了在利用导数求曲线的切线方程、讨论函数的单调性与极值问题中所显示出的无比优越性我们不禁会问；牛第 1页共 4页 与菜布尼茨是怎 明 高明的数学方法的，是灵感在一夜之 的 是前人 期努力的 晶？二、 解新 ：1学生 教科 第 135 至第 138 内容，着重了解微 分思想方法的 代背景，之后， 学生提 ，将教科 中不理解的 提出来， 生共同 交流 如：（ 1） 17 世 自然科学的三大 明是指什么？（ 2） 什么 刘徽的“割 ”包含着微 分概念的萌芽？（ 3）曲 在某点 的法 是指什么直 ？（ 4） 什么 笛卡儿、 等人

4、明的解析几何是数学中的 折点？ 上述 ，教 在 前 充分准 ，有些不能三言两 解 的， 告 学生 哪些参考 料 （加 昇著 微 分 ，中国科学技 大学出版社， 1998 ；上互 网： /2/23/104/0541.htm ）2介 刘徽、笛卡 、 、牛 与菜布尼茨的数学方法（ 1）刘徽的“割 ”魏晋南北朝 期的数学家刘徽提出割 作 算 的周 、面 以及 周率的基 其方法是“割之弥 ，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 与 台体而无所失矣 ”也就是 ：刘徽用 内接正多 形去逐步逼近 如 ， 面 S，半径 r ， 内接正n 形 l n ，周 Ln ，面 Sn将 数加倍

5、后，得到 内接正2n 形，其 、周 、面 分 为 l 2n 、 L2 n 、 S2 n ， 222l 2 nADAC 2CD 21 l nrr 2 1 l n22，S2nn 1ABCD1 Ln r22，S2nS S2n( S2 nSn )当 n 无限增大 ， S2 n 便 于 的面 ，祖冲之按刘徽割 从正六 形 算到正24576 形时 ， 得 到 圆 周 率 的 上 下 限 ： 3.14159263.1415927 是当 世界在 一 域的最高水平刘徽割 的逼近思想是以后极限思想的萌芽， 定 分概念的形成 累了素材（ 2）笛卡儿求切 的“ 法”法国数学家笛卡儿用代数方法（即 法）求出了第 2页共

6、 4页曲线在其上某一点处的切线方程笛卡儿求曲线y=f （ x）过点 P（ x，f （ x）的切线斜率的“圆法”是：（如图）过 C 点（曲线在点P 处的法线与 x轴的交点）作半径为r=CP 的圆 C：( x v) 2y 2r 2因 CP是曲线 y=f （ x）在 P 点的法线，则P 应是曲线与圆 C的 “ 重 交 点 ” 若 f ( x) 2是 多 项 式 函 数 ， 有 重 交 点 就 相 当 于 方 程 f (x) 2( xv) 2r 2有重根x=e，从而 f (x) 2(xv) 2r 2(xe) 2(c1 xnc2 x n 1cn xcn 1 )，比较系vxk数得 v 与 e 的关系，代入

7、e=x，便得过 P 点的切线斜率f (x)以 y x3 为例 点 P( x, x3 ) 设( x3 ) 2(x v) 2r 2(x e) 2 (x 4c1 x3c2 x2c3 x c4 )，经特定系数法得知：c1 2e, c23e2 , c34e3 , c4 1 5e4 , ve 3e5kv x (x 3x5 ) x3x2故切线斜率x3x3笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的（ 3）费马求极值的代数方法法国数学家费马求函数 y=f （ x）在点 a 处极值（如果存在的话）的代数方法是：用 a+e 代替 a，并使 f （ a+e）与 f （

8、 a）“逼近”，即 f （ a+e） f （ a）消去公共项后，用e 除两边，再令e 消失，即f (ae)f (a)0ee0，由此方程求出的 a 就是 f （x）的极值点以 f ( x)x 22x2 为例， f (ae) f (a) 2aee22e ，f (ae)f (a)0即2a 20, a1ee0-1 是 f （x）的极值点费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e 代替了增量x 可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步， 微积分的发明人也许要改弦易辙了（ 4）牛顿的“流数术”牛顿以他的运动学为背景，总结了笛卡尔、费马等人的方法，提出了具有一般意义的“流数”概念，他的流数

9、简论的问世标志着微积分的诞生以函数 y x n (n N *) 为例说明流数概念第 3页共 4页(x o)nnC nk x n k o k设 x 变为 x+o， xnk0变为，(xo)x1(xo)nx nn 1n(n 1)n 2oon 1nxx2， 增量 o 消失，它1 的比就是 nx n 1， 就是 x 的流数与 x n 的流数之比dx流数就是 在的微商dy然后牛 使用流数概念 用于求曲 切 、曲率、拐点， 曲 求 、 求 、求引力与引力中心等大量 ，展示了流数及其算法的极大普通性与系 性同 莱布尼茨从几何角度关于特征三角形的研究也得到了与牛 似的 与算法3交流思想与体会主要 微 分 明的感想及其 自己的启示（ 1）微 分的 明不是一蹴而就的，而是人 集体智慧的 晶，是无数科学家 期 斗的 果（ 2）数学来源于 践，没有当 大量 的涌 ，没有科学家深入 ，将大量 化 数学 的研究，是不可能 生微 分理 的（ 3）渊博的知 ， 虚的治学作 ， 是学 上取得成就的必要条件牛 “如果我看得更 些，那是因 我站在巨人的肩膀上”，牛 与莱布尼茨的高明之 之一就是善