高二数学教案：7.3两条直线的位置关系(二)夹角

1、课题： 7.3 两条直线的位置关系（二）夹角教学目的：1.明确理解直线 l1 到 l 2的角及两直线夹角的定义 .2.掌握直线 l1 到 l 2的角及两直线夹角的计算公式 .3.能根据直线方程求直线l1 到 l2的角及两直线夹角 .教学重点：两条直线的夹角 .教学难点：夹角概念的理解 .授课类型：新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析：首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形 .而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线 l1 到 l2的角，直线 l1 与 l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生

2、灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度王新敞教学过程：一、复习引入：1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0 时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直王新敞2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1 / l 2k1 = k2 且 b1b2已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 ： A1 xB1 yC10，l 2 ：

3、 A2 x B2 y C 20 ( A1 B1C10, A2 B2C20)A1B1C1l1l 2的充要条件是A2B2C 2王新敞两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ，则这两条直线垂直的充要条件是 k1 k 21 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： A1 xB1 yC10 ，l 2 ： A2 xB2 yC 20 ，则 l1l2A1 A2B1 B2 0王新敞第 1页共 6页二、讲解新课：1.直线 l1 到 l2 的角的定义：两条直线 l1 和 l2 相交构成四个角 ,它们是两对对顶角,我们把直线 l1 按逆时针方向旋转到与 l 2重合时所转的角 ,叫做 l1

4、 到 l2 的角 .l2在图中 ,直线 l 1 到 l 2 的角是1 , l 2 到 l1 的角是22 .1l1 到 l 2 的角： 0 10 .l12直线 l1 到 l 2 的夹角定义 :如图，l1 到 l 2 的角是1,l 2到 l1 的角是 - 1,当 l1 与 l 2相交但不垂直时 ,1和 -1 仅有一个角是锐角 ,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线 l1 l 2 时 ,直线 l1 与 l2 的夹角是 2 .夹角： 0 90 .说明 :1 0,2 0,且 1 + 2 =tank2k1l1l 21 k2 k13直线到的角的公式 :.推导 :设直线 l1 到 l 2的角， l 1 :

5、 yk1 xb1 , l 2 : yk2 x b2 .1 k1k20,即 k1k 21, 则.如果2如果 1k1k20 ,设 l 1 ， l 2 的倾斜角分别是1 和2 ，则 tan1k1, tan2k2 .yl2l1yl2由图（ 1）和图（ 2）分别可知o1221xox(1)(2)l121或( 12 )( 21 )tantan(21 )或 tantan(21 )tan( 21 )第 2页共 6页tan2tan1k2k1tan于是1 tan2 tan11k 2 k1 王新敞tank2k1l1l 21k2 k14直线，的夹角公式 :王新敞根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0， 90范围内变化，所

6、以夹角正切值大于或等于0.故可以由 l1 到 l 2 的角取绝对值而得到l1 与 l 2的夹角公式 .这一公式由夹角定义可得王新敞三、讲解范例：l1 : y2x 3,l 23例 1: y x求直线2的夹角 (用角度制表示 )解: 由两条直线的斜率 k12, k21, 得tank2k11( 2)3.1k2 k111( 2)利用计算器计算或查表可得: 7134 王新敞说明 :应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握 .例 2等腰三角形一腰所在直线l1 的方程是x2y2 0 , 底边所在直线l 2 的方程是xy10 ,点 (-2,0)在另一腰上 ,求这条腰所在直线 l 3的方程 .解 : 设l1，l

7、2，l3的 斜 率 分 别 为k1 , k2 ,k3,l1到l 2的 角 是1,l 2到l 3的 角 是2, 则k11 , k21.l2y21k2k1(1)2l1tan23.1o1 k2 k11 ( 1) 1l3x12因为 l1 ， l2， l 3 所围成的三角形是等腰三角形,所以k3k23.tantan3.1 k3k212,21即k313,k211k3k32.将代入得解得因为l3经过点 (-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为y 2 x ( 2),得 :2x y 4 0.即直线 l 3的方程 王新敞第 3页共 6页四、课堂练习：1求下列直线l1 到 l 2 的角与 l2 到 l 1 的角：

8、1（1） l 1 ： y 2 x 2 ； l 2 ： y 3 x +7；(2) l1 ： x y 5； l 2 ： x 2 y 3 01解：（ 1） k1 2 ， k2 3，设 l1 到 l 2 的角为1 ，13k2k121k1 k2 1 3则 tan1 2 1 王新敞 1 5即 l1 到 l 2 的角为 45. l 2 到 l1 的角为 135 .1(2)解： k1 1， k2 2王新敞设 l1 到 l2 的角为1 ，则 l 2 到 l1 的角为2 1k2k1112131k1 k21tan 12，1 arctan3.2 arctan3即 l1 到 l 2 的角为 arctan3 ， l 2

9、到 l1 的角为 arctan3 王新敞2.求下列两条直线的夹角：1（ 1） y 3 x 1， y 3 x ；（ 2） x y 5； y .(3)5 x 3 y 9， 6 x 10 y 7 0.1解： (1)k1 3， k2 3 ，则 k1 k2 -1，此时，两直线夹角为 90 .第 4页共 6页k 2k11373311 k1 k2130（tan3，分母为0，正切值不存在） .k 2k1(2)k1 1， k 2 0，tan 1k1 k2 1， 5，即两直线夹角为 5 .55(3) k1 3 ， k 2 3 ， k1 k 2 1，两直线夹角为 90 王新敞五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握两

10、直线的夹角公式，并区分与l1 到 l 2 的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题王新敞六、课后作业：课本P53 习题 7.38.三角形的三个顶点是A(6， 3)， B(9，3)， C(3， 6)，求它的三个内角的度数 .解：由斜率公式：3363163k AB 96 0， kBC 392 ， k AC 36 1 王新敞k ACk ABytanCAB 1k ACkAB 1， CAB135CB1Ak ABk BC211tanABC 1 k ABkBC 1 02 ， CBA arctan 2ox 26 3 C 180 135 26 3 18 269.已知直线 l 经过点 P（2,1），且和直线 5 x 2 y 30 的夹角等于45，求直线 l 的方程 .解：设直线 l 的斜率为 k1 ，直线 5x2y3 0 的斜率为 k2 .5k1k2k125