3-0微分中值定理.ppt

1、第三章 导数的应用,重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹凸性及拐点，利用导数求函数极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题 难点 中值定理的应用,重点及难点,补充 微分中值定理,一、罗尔（Rolle）定理 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 三、柯西（Cauchy）中值定理,了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件 和结论；知道柯西定理的条件和结论;会用拉 格朗日定理证明简单的不等式.,教学目标及要求,如果函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),一、罗尔（Rolle）定理,定理,注

2、意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.,例如 f(x)=|x|在1,1上 ，且f(1)=f(1)=1,但|x|在(1,1)内有 ，本例不存在 使 .,又如 f(x)=x在0,1上 ，在(0,1)内 ，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .,再如 f(x) 在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在0,1上不连续，本例不存在,答案 满足，,连续,不可导的点,连续,可导,二、拉格朗日（Lagrange）中值定理,定理 设函数f(x)满足,(1) 在闭区间a,b上连续；,(2) 在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,几何意义 在曲线 上

3、至少有一点C，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB.,练习2 在 上满足拉格朗日中值定理的条件吗？若满足，,答案 满足,例1 试证,证明 设f(x)=arctan x ,不妨设ab .,由于arctan x在a,b上连续，在(a,b)内可导.,可知必定存在一点 ,使得 ，由于,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于 ，因此,从而有,例2 当x0时,试证不等式,证明,取f(t)=ln(1 +t) ，a=0，b=x.,则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得,即,进而知,说明 例2中，若令f（t）=ln t，a=1，b=1+x，亦可利

4、用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明利用拉格朗日中值定理证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的.,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：,推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有,其中C为某常数.,f(x)=g(x)+C,例3 证明,证：设,又,即,故,三、柯西（Cauchy）中值定理,定理 设函数f(x)与g(x)满足：,(1)在闭区间a,b上都连续，,(2)在开区间(a,b)内都可导，,(3)在开区间(a,b)内，,则至少存在一点,三个中值定理之间的关系：,Rolle 定理,Lagrange 中值定理

5、,Cauchy 中值定理,补充-中值定理主要应用于证明方面: 含有的式子，一般考虑用中值定理证明，使用时要根据具体情况挑选合适的中值定理. 当用Rolle定理证明时，考虑要证明的结果，先把结果中的换成x；改写成F(x)=0的形式；并选取合适的f(x)，使其导数为F(x)；必要时可乘以不等于零的(函)数.找到F(x)后，再针对F(x)在相应区间上应用Rolle定理. 当用Lagrange中值定理证明时，先将含有的项全部移到等式的右端；并将换成x，得到有关x的式子： F（x）；选取合适的f(x)，使其导数为F(x)；找到F(x)后，针对F(x)在相应区间上应用Lagrange中值定理.,例4 f(

6、x)、g(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证： 证明 设F(x)= f(x)g(x)，则F(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由Rolle定理， 例5 f(x)、g(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证： 证明 设F(x)= f(x)eg(x)，则F(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由Rolle定理，,例6 f(x)、g(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，g（x）0，且f(a)=f(b)=0，求证： 证明 设F(x)= f(x)g2(x)，则F(x)在a,b上连续

7、，(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由Rolle定理， 故有 得证.,15,例7 已知f(x)在a,b上连续，求证：存在M0，使对(a,b)中的任意x1、x2，都有 | f(x1)- f(x2)|M| x1-x2| 证明 f(x)在a,b上连续，由闭区间上连续函数的有界性定理， f(x)在a,b上有界，即存在M0，使 |f(x)|M. 对(a,b)中的任意x1、x2，由已知， f(x)在x1,x2上连续，在(x1, x2)内可导，由Lagrange中值定理知，存在 (x1, x2)使 f(x1)- f(x2)= f()( x1-x2) 而|f()|M.因而有 | f(x1)- f(x

8、2)|M| x1-x2|,16,对某些方程，有时可用Rolle定理确定解的个数，讨论时一般要用到反证法。 例8 证明方程xn+xn-1+x=1在(0,1)中有唯一实根(n1). 证明 记f(x)=xn+xn-1+x-1 ，则f (x)在0,1连续， 由f(0)= -10 ； 由零点定理得xn+xn-1+x=1在(0,1)内至少有一个根. f (x)=nxn-1+(n-1)xn-2+1 . 假设方程xn+xn-1+x=1 在(0,1)内的解不止一个，设其中 的两个解为x1、x2。则f(x)在x1 , x2 连续，在(x1,x2)内可导，且 f(x1)= f(x2)。由Rolle定理知存在 (x1,x2)，使f ()=0，即 nn-1+(n-1)n-2+1=0 此式说明 x10相矛盾.因此假设不成立，故原方程在(0,1)中有唯一实根.,推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.,事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得,故有f