高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式训练北师大版选修4

1、名校名 推荐2.1.2一般形式的柯西不等式一、 1111. 设 a， b， c (0 ， ) ，且 a bc 3， a b c的最小 ()A.9B.3C.3D.1222121212解析(a) (b) (c) a b ca1112b ccab即 ( a b c)1112a b c 3 .又 a bc 3，11 13，最小 3.abc答案B222222， a x a x a x的最大 ()2. 已知 a a a 1， x x x 112n12n1 12 2n nA.1B. nC.nD.2解析由柯西不等式222)( x222) (a1x1 a2x2 a x )2得( a1 a2 an1 x2 xnn

2、 n11( 1 12 2nn21 12 2nn所求的最大 1.a x)，a x 1.a xa xa xa x答案A3. 已知 2x 3y 4z 10， x2 y2 z2 取到最小 的x， y， z 的 ()5105203040A. 3， 9 ， 6B. 29， 29， 291111C.1 ， 2， 3D.1 ，4， 9222222解析x2y2 z2 （ x y z ）（ 2 3 4 ）（ 2x 3y 4z） 2 10029 29 ，x 2k，当且 当y 3k， ，等号成立， 4k 9k 16k 29k 10，z 4k1名校名 推荐x2920，1030，选 B.解得 k 29，y29z4029.

3、答案B二、填空题4. 已知实数 a， b， c， d，e 满足 ab c de 8， a2b2 c2 d2 e216，则 e 的取值范围为 _.解析4( a2 b2 c2 d2 ) (1 1 1 1)( a2 b2 c2 d2) ( ab c d) 2即 4(16 e2) (8 e) 2，即 64 4e2 6416e e2216 5e 16e0，故 0 e 5 .16答案0， 55. 设 a， b， c 0且 a b c A( A 为常数 ). 则111的最小值为 _.abc1111 1 1 a b c （ a b c）解析a b cA1112a b cc9abA A.9答案A三、解答题6.

4、已知实数 a， b， c， d 满足 a b cd 3， a2 2b2 3c2 6d2 5，试求 a 的最值 .解 由柯西不等式得，有2221112(2 b 3c 6d ) ( bc d) ，236即 2b2 3c2 6d2 ( bc d) 2由条件可得，5a2 (3 a) 223c6111解得， 1 a 2 当且仅当bdb， c ， d时， amax时等号成立，代入111236236 2.2名校名 推荐21b 1，c 3， d3 ， amin 1.7. 设 a1a2 anan 1，求 ：11110.a aa1 a1a1a2a2 a31nnn 明 1n 1(1 2) (2 3) (nn 1)

5、，aaaaaaaa ( a1 a2) ( a2 a3) ( an an 1) 111an an 1a1a2a2 a3 ( a1a21 a2 a31anan 11) 2 n21.a1a2a2 a3anan 1111 ( a1 an 1) a1 a2 a2a3 anan 1 1.即1111，a2an an1a1 a2 a3a1 an 1故1111a aa0.a a a an1n1 a1223n18. 设 P 是 ABC内的一点， x， y， z 是 P到三 a， b， c 的距离 . R是 ABC外接 的半径， 明：x y z1 a2 b2 c2.2R 明由柯西不等式得，111x y z axa

6、byb czc ax by cz111ab c.设 S ABC的面 ， abcabcax by cz 2S 2 4R 2R，abcbccaxy zab2Rabc 1Rab bc ca 1a2 b2 c2，22R故不等式成立.9. 已知 a0， b 0， c 0，函数 f ( x) | x a| | x b| c 的最小 4.(1) 求 a b c 的 ；12122(2) 求 4a 9b c的最小 .3名校名 推荐解 (1) 因为 f ( x) | x a| | x b| c|( x a) ( x b)| c | a b| c，当且仅当 a x b 时，等号成立 .又 a 0， b 0，所以 | a b| a b.所以 f ( x) 的最小值为a b c.又已知 f ( x) 的最小值为4，所以 a bc 4.(2) 由 (1) 知 a b c 4，由柯西不等式，得121224a 9b c(4 9 1)ab2