高一数学教案[苏教版]等差数列1

1、第三 等差数列 (一 )教学目 ：明确等差数列的定 ，掌握等差数列的通 公式，会解决知道an,a1,d,n 中的三个，求另外一个的 ；培养学生 察能力， 一步提高学生推理、 能力，培养学生的 用意 .教学重点：1.等差数列的概念的理解与掌握 .2.等差数列的通 公式的推 及 用.教学 点：等差数列“等差”特点的理解、把握和 用.教学 程： .复 回 上两 我 共同学 了数列的定 及 出数列的两种方法通 公式和 推公式. 两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我 看 一些例子 . 授新 1， 2，3， 4， 5， 6；10， 8， 6， 4， 2，；111121， 212 ， 22， 222

2、， 23，232 ， 24，242 ， 252， 2，2， 2， 2，首先， 同学 仔 察 些数列有什么共同的特点?是否可以写出 些数列的通 公式？（引 学生 极思考，努力 求各数列通 公式，并找出其共同特点）数列是一 增数列，后一 比前一 多1，其通 公式 ：an n(1 n 6).数列是由一些偶数 成的数列，是一 减数列，后一 比前一 少2 ，其通 公式 ： an 122n( n 1).数列是一 增数列，后一 比前一 多1n11n（1 n2 ，其通 公式 ：a 202 29)数列的通 公式 ：an 2(n1)是一常数数列 . 合上述所 ，它 的共同特点是什么呢？它 的共同特点是：从第2 起

3、，每一 与它的前一 的“差”都等于同一个常数.也就是 ， 些数列均具有相 两 之差“相等”的特点.具有 种特点的数列，我 把它叫做等差数列 .1.定 等差数列：一般地，如果一个数列从第2 起，每一 与它的前一 的差等于同一个常数，那么 个数列就叫做等差数列， 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示 .1如：上述4 个数列都是等差数列，它 的公差依次是1，2，2， 0.2.等差数列的通 公式等差数列定 是由一数列相 两 之 关系而得.若一等差数列 an1的首 是 a ，公差是d， 据其定 可得：第 1页共6页看来，若已知一数列 等差数列， 只要知其首 如数列： an 1( n1) 1n(1

4、 n6),数列 ： an 10 (n 1) (2) 122n(n 1),a2 a1 da3 a2 d(n 1)个等式a4 a3 dan an1 d若将 n 1 个等式左右两 分 相加， 可得：an a1 (n1)d即： an a1(n1)d当 n1 ，等式两 均 a1，即上述等式均成立， 于一切 n N * 上述公式都成立，所以它可作 数列 an 的通 公式 .或者由定 可得：a2 a1 d 即： a2 a1 d； a3 a2 d 即： a3 a2 d a1 2d； a4 a3 d 即： a4 a3d a1 3d； anan 1 d，即： an an1 d a1 (n 1)da1 和公差 d,

5、便可求得其通 .111数列 ： an 22 (n 1) 2 2122n (n 1),数列 ： an 2 (n 1) 0 2(n1)由通 公式可 推得：am a1 (m 1)d，即： a1 am( m 1)d， ：an a1 (n 1)d am (m 1)d (n 1)d am (nm)d.如： a5a4d a3 2d a2 3d a1 4d3.例 解例 1 (1) 求等差数列8， 5， 2的第 20 项 .分析：由 出的三 先找到首 a1,求出公差 d，写出通 公式，然后求出所要 .解：由 意可知：a1 8， d5 8 2 5 3 数列通 公式 ： ann 8 (n 1) ( 3)，即： a

6、113n(n 1)，当 n20 ， a 11 320 49.20答案： 个数列的第20 49.(2) 401 是不是等差数列5， 9， 13的 ?如果是，是第几 ?分析：要想判断 401 是否 数列的一 ， 关 要求出通 公式， 看是否存在正整数n，可使得 an 401.解：由 意可知：a1 5，d 9 ( 5) 4,数列通 公式 ：an 5 4(n 1) 4n 1.令 401 4n 1，解之得 n 100. 401 是 个数列的第100 项 .例 2在等差数列 an 中，已知5121与公差 d.a 10， a 31，求首 a解：由 意可知，a1 4d 10 a1 11d 31 是一个以 a1

7、 和 d 未知数的二元一次方程 ，解 个方程 ，得a1 2， d 3.即 个等差数列的首 是2，公差是 3.例 3在等差数列 an 中，已知51525a 10， a 25，求 a .思路一：根据等差数列的已知两 ，可求出a1 和 d，然后可得出 数列的通 公式，便第 2页共6页d 4a25 的值 .可求出 a25.解法一：设数列 an1a 4d 10 的首项为 a ,公差为 d,则根据题意可得：1a1 14d 25这是一个以 a113和 d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 4， d 2 .3这个数列的通项公式为：an 4 2 (n 1)，即：3 5an 2 n 2 .35a25

8、2 25 2 40.思路二：若注意到已知项为 a5 与 a15，所求项为 a25，则可直接利用关系式 an am (nm)d.这样可简化运算 .解法二：由题意可知：a15 a5 10d，即 25 10 10d, 10d 15.又 a25 a1510d， a25 25 15 40.思路三：若注意到在等差数列 an 中， a5， a15， a25 也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出解法三：在等差数列 an 中， a5，a15， a25 成等差数列2a15a5 a25，即 a25 2a15 a5,a252 25 1040.例 4已知等差数列 an 中， a1533，a45 153，试问

9、 217 是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由 .分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1 和 d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义 .解法一：由通项公式，15 a1 14d 33a1 23知 a a1 44d 153a45得： d 4由 217 234(n 1)，得 n61.解法二：由等差数列性质，得a45 a15 30d 153 33，即又 an a15 (n 15)d，217 334(n 15)，解得 n 61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于 P（

10、 15， 33）， Q（ 45，153）， R（ n， 217）在同一条直线上 .153 33 217 153故有45 15 n 45 ，解得 n 61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.例 5已知数列 an 为等差数列， a35，a73，求 a15 的值 .44解法一：利用通项公式，设数列 an1 的首项为 a ,公差为 d第 3页共6页59则a1 2d4解之得a1 431a 6d4d 219119a a 14d4 14 (2) 4151解法二：利用等差数列的性 a73把已

11、知条件代入,得： d1 a 4d219 a15 a7 (157)d 4.解法三： an 等差数列， a3,a7,a11,a15也成等差数列53由 a3 4 ， a7 45知上述数列首 4 ，公差 2 a155 (3 1)（ 2）1944例 6两个等差数列 5，8， 11，和 3， 7， 11，都有 100 ，那么它 共有多少相同的 ？分析： 然，已知的两数列的所有相同的 将构成一个新的数列 an ， 就 化 一个研究数列 an 的 数 了 .解法一： 已知的两数列的所有相同的 将构成的新数列 cn ， c1=11,又数列 5，8， 11，的通 公式 an 3n 2，数列 3，7， 11，的通

12、公式 nb 4n 1.数列 cn 等差数列，且 d 12. cn 12n 1又 a100 302，b100 399， cn 12n1 3021得 n254 ，可 已知两数列共有25 个相同的 .解法二： an 3n2， bn 4n1， anbm4 有 3n 2 4m 1(n，m N*) ，即 n 3 m 1(n， m N*)要使 n 正整数， m 必 是 3 的倍数 .设 m 3k(k N*) ，代入前式得 n4k 1又 1 3k 100，且 1 4k 1 100，解得 1k 25 共有 25 个相同的 .例 7一个首 23，公差 整数的等差数列，如果前六 均 正数，第七 起 数， 它的公差是

13、多少？23（ 6 1） d 023解：由23（ 7 1） d 0得 4.6 d 6答案： 4第 4页共6页 . 堂 本 P34 练习 1，2， 31.（ 1）求等差数列3， 7， 11，的第4 与第 10 项 .分析：根据所 数列的前3 求得首 和公差，写出 数列的通 公式，从而求出所求项 .解：根据 意可知：a1 3，d 7 34. 数列的通 公式 ：an 3 (n 1) 4，即 an 4n1(n 1， nN *) a4 44 1 15， a10 4 101 39. 述：关 是求出通 公式.（ 2）求等差数列 10， 8， 6， 的第 20 项.解：根据 意可知： a1 10，d 8 10

14、2. 数列的通 公式 ： an 10(n 1) (2)，即： an 2n 12，a20 2 20 12 28. 述：要注意解 步 的 范性与准确性.（ 3）100 是不是等差数列2，9，16，的 ？如果是，是第几 ？如果不是， 明理由 .分析：要想判断一数是否 某一数列的其中一 ， 关 是要看是否存在一正整数n ，使得 an 等于 一数 .解：根据 意可得：a1 2，d 9 27.此数列通 公式 ：an 2 (n 1) 7 7n 5.令 7n 5 100，解得： n 15, 100 是 个数列的第15 项 .（ 4） 20 是不是等差数列 0， 31 ， 7，的 ？如果是，是第几 ？如果不是，2 明理由 .1解：由 意可知：a1 0， d 327 7此数列的通 公式 ： an 2 n2令 77472 n 2 20，解得 n 777因 2n 2 20 没有正整数解，所以20 不是 个数列的 .2.在等差数列 an 中，（1）已知 a4 10， a7 19，求 a1 与 d；(2)已知 a 9，a 3，求 a .39121 3d 10a1 1解：（ 1）由 意得：a解之得：a1 6d 19d 3(2)解法一：由 意可得：a1 2d 9a1 111解之得：a 8d 3d 1 数列的通 公式 ：an 11 (n 1)