高三数学教案：第6讲立体几何问题的题型与方法

1、高三数学第二轮复习教案第 6 讲立体几何问题的题型与方法（4 课时）一、考试内容： 9 （ A ）直线、平面、简单几何体考试内容平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。平行直线， 对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线， 异面直线的距离。直线和平面平行的判定与性质， 直线和平面垂直的判定与性质， 点到平面的距离， 斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。平行平面的判定与性质， 平行平面间的距离， 二面角及其平面角， 两个平面垂直的判定与性质。多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。二、考试要求（ 1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观

2、图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（ 2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。（ 3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。（ 4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、 两个平面间的距离的概念，掌握

3、两个平面垂直的判定定理和性质定理。（ 5）会用反证法证明简单的问题。（ 6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（ 7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（ 8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（ 9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（ 10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。三、复习目标1在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系 )的基础上， 研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理 )、判定方法及有关性质的应用； 在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容

4、和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用2在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面 )和垂直线 (面 )的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力3通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题

5、过程中 通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力4在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、 提高思维品质 使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力5使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力四、双基透视高考立体几何试题一般共有4 道 ( 选择、填空题3 道,解答题 1 道 ),共计总分27 分左右, 考查的知识点在20 个以内 .选择填空题考核立

6、几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然 ,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施 , 立体几何考题正朝着“多一点思考, 少一点计算”的发展. 从历年的考题变化看 , 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证 , 角与距离的探求是常考常新的热门话题.1有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌

7、握立体几何中解决问题的规律充分利用线线平行(垂直 )、线面平行 (垂直 )、面面平行 (垂直 )相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力2 判定两个平面平行的方法：（ 1）根据定义证明两平面没有公共点；（ 2）判定定理证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（ 3）证明两平面同垂直于一条直线。3两个平面平行的主要性质：由定义知： “两平行平面没有公共点”。由定义推得： “两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。两个平面平行的性质定理： “如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行” 。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。夹在

8、两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质、在课文中虽未直接列为“性质定理” ，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、 空间两直线所成的角、 直线和平面所成的角、 以及二面角和二面角的平面角等解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角 (0， ，直线与平面所成的角 0,，二面角的大小，可用它们的平面角来22度量，其

9、平面角 (0， 对于空间角的计算， 总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形， 而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； 而求二面角 l 的平面角（记作 ）通常有以下几种方法：(1) 根据定义；(2)过棱 l 上任一点O 作棱 l 的垂面，设 OA， OB，则 AOB ( 图 1) ；(3) 利用三垂线定

10、理或逆定理，过一个半平面内一点 A，分别作另一个平面的垂线AB( 垂足为 B), 或棱 l 的垂线 AC( 垂足为 C) ，连结 AC，则 ACB 或 ACB ( 图 2) ； (4) 设 A 为平面 外任一点， AB ，垂足为 B，AC ，垂足为 C，则 BAC 或 BAC ( 图 3) ；(5) 利用面积射影定理，设平面的面积为 S，则 cos S .S OAABBC图 1内的平面图形F 的面积为S， F 在平面内的射影图形AAABCCBBC图 2图 35. 空间的距离问题， 主要是求空间两点之间、 点到直线、 点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个

11、平行平面之间的距离求距离的一般方法和步骤是： 一作作出表示距离的线段； 二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值此外，我们还常用体积法求点到平面的距离6棱柱的概念和性质理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱直棱柱正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。关于平行六面体， 在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定

12、义导出的一些其特有的性质， 如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系， 因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与直线、平面、简单几何体第一部分的问题相比， 唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点多面体与旋转体的体积问题是直线、 平面、简单几何体课程当中相对独立的课题体积和面积、长度一样，都

13、是度量问题常用“分割与补形”，算出了这些几何体的体积7欧拉公式 : 如果简单多面体的顶点数为V，面数 F，棱数 E，那么 V+F-E 2.计算棱数 E 常见方法：(1)E V+F-2 ；(2)E 各面多边形边数和的一半；(3)E 顶点数与共顶点棱数积的一半。8经纬度及球面距离根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O 的地轴为NS，圆 O 是 0纬线，半圆NAS是 0经线，若某地P 是在东经 120，北纬40，我们可以作出过P 的经线 NPS交赤道于B，过 P 的纬线圈圆O1 交NAS 于 A，那么则应有：AO1P=120 (二面角的平面角)

14、， POB=40（线面角）。两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长， 因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、 P 两点的球面距离。线段 AP 的长AOP 的弧度数大圆劣弧 AP 的长9球的表面积及体积公式S 球表 =4R2V 球 = 4 R33球的体积公式可以这样来考虑： 我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形” ；以球心为顶点， 以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积

15、和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积, 小三棱锥高变成球半径 . 由于第 n 个小三棱锥的体积1nn为3Sh n（ S该小三棱锥的底面积, hn 为小三棱锥高） ，所以 V 球 1 S 球面 R 1 4R2 R 4 R3.333在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径） .球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、 分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。10主要题型：以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。求球的体积、表面积和球面距离

16、。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化为平面图形求解。五、注意事项1须明确直线、平面、简单几何体中所述的两个平面是指两个不重合的平面。2与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是指“二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间三个几何元素）间“没有公共点”时，它们间的关系均称为“互相平行” 。要善于运用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。3 注意两个平行平面的画法直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将“平面 平行于平

17、面 ”，记为“ ”。4空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。5在明确“两个平行平面的公垂线” 、“两个平行平面的公垂线段” 、“两个平行平面的距离” 的概念后，应该注意到， 两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等是唯一确定的值， 且两平行平面间的公垂线段， 是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，此外还须注意到， 两平行平面间的距离可能化为 “其中一个平面内的直线到另一个平面的距离”又可转化为“其中一个面内的一个点到另一个平面的距离。6三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常

18、“线线角抓平移，线面角找射影，面面角S射作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos=来求。S原7有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。六、范例分析例 1、 已知水平平面内的两条相交直线 a, b 所成的角为，如果将角的平分线 l绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动，转动到离开水平位值的l 处，且与两条直线 a,b都成角，则与的大小关系是（）2A.或2B.或2D.BC,OC2 OC tan

19、tan,又、（ 0，) ， .故选 C.2222如图 2 所示，过空间一点O 分别作 a a,b b,则所求直线即为过点O 且与 a , b 都成 60 0 角的直线。 =110 0 ，255 0 将两对对顶角的平分线绕O 点分别在竖直平面内转动，总能得到与a ,b 都成60 0 角的直线。故过点 O 与 a,b 都成 60 0 角的直线有4 条，1100700.从而选D.过点 O 分别作 a a,b b,则过点 O 有三条直线与a,b 所成角都为60 0 ，等价于过点O 有三条直线与a , b 所成角都为60 0 ，如图 3示，如果30 0 , 或50 0 ,则1500 或1300 ，过O

20、点只有两条直线与a , b都成 60 0 角。如果=90 0 ，则90 0 ，那么过点O 有四条直线与 a , b 所成角都为 600 。如果=60 0 ，则120 0，aOBCAb图aOb图 2aOb图 3此时过点O 有三条直线与a ,b 所成角都为60 0 。其中一条正是角的平分线 . 如果它是棱锥，则是七棱锥，有14 条棱， 8 个面如果它是棱柱，则是四棱柱，有12 条棱， 6 个面 .说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题例2 、 如 图1 ， 设ABC-A 1 B 1 C 1 是 直 三 棱 柱

21、 ， F是A 1 B 1 的 中 点 ， 且(1) 求证： AF A 1 C；(2) 求二面角 C-AF-B 的大小分析： 先来看第1 问，我们“倒过来”分析如果已经证得AF A1 C，则注意到因为AB=2AA =2a，ABC-A B C 是直三棱柱，从而若设E 是 AB 的中点，就有A E AF，即 AF平11111面 A1 CE那么，如果我们能够先证明AF平面A1 CE，则就可以证得AFA1 C，而这由CE平面AA1 B1 B 立得再来看第前面的分析知，2 问为计算二面角C-AF-B 的大小，我们需要找到二面角C-AF-B 的平面角由CE平面 AA1 B1 B，而 AF A1 E，所以，若

22、设 G是 AF 与 A1 E 的中点， 则 CGE即为二面角C-AF-B 的平面角，再计算CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小解： (1) 如图 2，设平面 ABC，而 CE平面E 是 AB的中点，连接ABC，所以 CEAA1 ，CE，EA1 由ABC-A1 B1 C1 是直三棱柱，知AA1AB=2AA =2a，AA =a，AA AE，知 AA FE 是正方形， 从而1111在平面 AA1 FE 上的射影，故AF A1 C；AF A E而 A E 是 A C111(2) 设 G 是 AB1 与 A1E 的中点，连接 CG因为 CE平面 AA1 B1 B， AF A1 E，由三垂线定理， C

23、GAF，所以 CGE就是二面角 C-AF-B 的平面角 AA1 FE 是正方形， AA1 =a， EG1 EA12 a ， CG2a21 a26 a ，22226 a tan CGE= CG23 ， CGE 60 ，从而 二面角 C-AF-B 的大小为 60 。EG2 a2说明： 假设欲证之结论成立， “倒着”分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路 直线、平面、简单几何体关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误例 3、 一条长为2 的线段夹在互相垂直的两个平面

24、、之间， AB 与成 45o 角，与成 30 角，过 A、B 两点分别作两平面交线的垂线AC、 BD，求平面ABD与平面 ABC所成的二面角的大小DA21CDF 2A以 CD为轴，将平45o以 AB 为轴，将平HEDCo面 BCD旋转至与F 30面 ABD 旋转至与B平面 ACD共面平面 ABC共面 211E 1 45 oA30oB1FCB图 1图 2解法、 过 D 点作 DE AB 于 E，过 E 作 EF AB 交 BC 于即为二面角 D AB C的平面角为计算 DEF各边的长， 我们不妨画出两个有关的移出图EF1 ， BFBE0 2 在移出图 3 中，cos3033图 3F( 图 1)

25、，连结 DF，则 DEF在图 2 中，可计算得DE 1， cos B BD 2 ,BC3在 BDF中，由余弦定理：DF2 BD2 BF2 2BDBFcos B ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2222 2 3333（注：其实，由于AB DE， AB EF，AB平面 DEF，AB DF又 AC平面， AC DFDF平面 ABC， DF BC，即 DF 是 RtBDC斜边 BC上的高，于是由 BCDF CDBD 可直接求得 DF 的长）在 DEF中，由余弦定理：122cos DEFDE 2EF 2 DF21 (3)33.2DE EF132 13DEF arccos3 . 此即平面 ABD 与平面

26、ABC所成的二面角的大小3解法、 过 D 点作 DEAB 于 E，过 C 作 CH AB 于 H，则 HE 是二异面直线 CH 和 DE的公垂线段， CD 即二异面直线上两点C、 D 间的距离运用异面直线上两点间的距离公式，得：CD 2DE 2 CH 2 EH 2 2DECHcos(*)o 90o， 亦即（注：这里的是平面 ABD 与平面ABC 所成的二面角的大小，当0异面直线 CH与 DE 所成的角；当90o180o，异面直线所成的角为180o . ） CDDE1， CH 3 ， HE 1 ，22从而算得 cos3 ， arccos3 .33说明： (1) 解空间图形的计算问题，首先要解决定

27、位问题（其中最基本的是确定点在直线、点在平面上的射影） ，其次才是定量问题画空间图形的“平面移出图”是解决定位难的有效方法，必须熟练掌握(2)解法具有普遍意义，特别是公式(*) ，常可达到简化运算的目的例 4、如图 1，直三棱柱ABC A1 B1 C1 的各条棱长都相等，D为棱 BC上的一点，在截面ADC 中，若 ADC 90 ，11求二面角 D AC1 C 的大小解： 由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， ADC1 90o，即 AD C1D又 CC1平面 ABC， AD CC1. AD侧面 BC1， AD BC， D 为 BC的中点过 C 作 CEC1D 于 E，平面 ADC1 侧面 BC1，

28、 CE平面 ADC1取 AC1 的中点 F，连结 CF，则 CF AC1连结 EF，则 EF AC1( 三垂线定理 ) EFC是二面角 DAC1 C的平面角在 Rt EFC中， sin EFC CE . BCCC1 aCFA1B1C1FA图 7ECDB图 1易求得CE a， CF2 a .52 sin EFC10 ， EFC arcsin10 .55 二面角 DAC1 C的大小为 arcsin10 .5例 5、已知 PA矩形 ABCD所在平面， M、 N分别是 AB、 PC的中点 .（ 1）求证： MNAB；（ 2）设平面PDC与平面 ABCD所成的二面角为锐角，问能否确定使直线MN是异面直线

29、 AB与 PC的公垂线？若能，求出相应的值；若不能，说明理由.解：（ 1） PA矩形 ABCD，BCAB， PBBC，PA AC，即 PBC和 PAC都是以 PC为斜边的直角三角形，AN1 PC BN ，又 M 为 AB 的中点，2 MN AB.（ 2） ADCD，PDCD. PDA为所求二面角的平面角，即PDA= .设 AB=a， PA=b， AD=d，则PM212，ba4CMd 21 a 2 设 PM=CM 则由 N 为 PC的中点，4MN PC由（ 1）可知 MN AB， MN 为PC与 AB 的公垂线，这时PA=AD， =45。例 6、 四棱锥 P ABCD的底面是边长为 a 的正方形

30、， PB面 ABCD.（ 1）若面 PAD与面 ABCD所成的二面角为 60，求这个四棱锥的体积；（ 2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD与面 PCD所成的二面角恒大于 90 解 :（ 1）正方形 ABCD是四棱锥 PABCD的底面 , 其面积为 a2 , 从而只要算出四棱锥的高就行了.PB面 ABCD, BA 是 PA在面 ABCD上的射影 .又 DA AB， PA DA， PAB是面 PAD与面 ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60 .而 PB 是四棱锥 PABCD的高， PB=AB tan60 = 3 a,V锥1 3a a 23 a 3.33（ 2）不论棱锥的高怎样变化，棱

31、锥侧面PAD与 PCD恒为全等三角形 .作 AE DP，垂足为 E，连结 EC，则 ADE CDE，AE CE,CED90 ,故 CEA 是面 PAD与面 PCD所成的二面角的平面角 .设 AC 与 DB 相交于点O，连结 EO，则 EO AC，2 aOA AEADa.2在 AEC中,cosAE 2EC2(2 OA)2( AE2OA)( AE2OA)0.AEC2 AEECAE 2故平面 PAD与平面 PCD所成的二面角恒大于90 .说明： 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力,具有一定的探索性,是一道设计新颖,特征鲜明的好题.例 7、如图，直三棱柱3C 点到 A

32、B1 的距离为CE=2ABC-A1 1 1的底面 ABC 为等腰直角三角形，0， AC=1，B CACB=90， D 为 AB 的中点 .C1（ 1）求证： AB1平面 CED；（ 2）求异面直线 AB1 与 CD之间的距离；（ 3）求二面角 B1 ACB 的平面角 .解 :（ 1） D 是 AB 中点， ABC为等腰直角三角形， ABC=900， CD AB 又 AA1平面 ABC， CD AA1. CD平面 A1 111B BA CD AB，又 CE AB ， AB1平面 CDE；A1B1EC（ 2）由 CD平面 A1B1BA CD DE AB1平面 CDE DE AB1, DE是异面直线

33、AB1 与 CD的公垂线段 CE= 3 ， AC=1 , CD=2 . DE(CE )2(CD) 222（ 3）连结 B1C，易证 B1 C AC，又 BC AC , B1CB 是二面角 B1ACB 的平面角 .在 RtCEA中， CE= 3 ， BC=AC=1, B1AC=6002 AB112 ， BB1(AB1 ) 2( AB) 2cos602ADB1；22 ,BB12 , B1CBarctg 2 . tg B1CBBC,当然 ,说明： 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石 .例 8、 如图，在三棱锥S ABC 中， SA平面 ABC ， AB

34、AC1， SA 2 ， D 为 BC的中点 .（1）判断 AD与 SB能否垂直，并说明理由；（2）若三棱锥 S ABC 的体积为3 ，且BAC 为钝角，求二面角 S BC A 的6平面角的正切值；（3）在（）的条件下， 求点 A 到平面 SBC的距离 . 解：（ 1）因为 SB 在底面 ABC 上的射影 AB 与 AD 不垂直，否则与 AB=AC 且 D 为 BC 的中点矛盾，所以 AD 与 SB不垂直；（2）设BAC，则 V11122sin3326解得 sin3，所以600 （舍），120 0 .2SA 平面 ABC， AB=AC， D 为 BC 的中点ADBC ,SD BC ，则 SDA是

35、二面角 SBCA 的平面角 .SA4 ,在 Rt SDA 中， tan SDAAD故二面角的正切值为；（3）由（ 2）知， BC平面 SDA，所以平面 SBC平面 SDA，过点 A 作 AESD，则 AE平面 SBC，于是点 A 到平面 SBC的距离为 AE,从而 AE AD sin217217SDA即 A 到平面 SBC的距离为.1717例 9、如图 a l 是 120的二面角，B 两点在棱上， AB=2， D在内，三角形AABD 是等腰直角三角形， DAB=90， C 在内， ABC是等腰直角三角形ACB=900 .（ I） 求三棱锥 DABC的体积；（ 2）求二面角 DACB 的大小；（

36、 3）求异面直线 AB、CD所成的角 .解 :(1) 过 D 向平面做垂线，垂足为O，连强 OA 并延长至 E.AB AD , OA为 DA在平面上的射影 ,ABOADAE 为二面角 a l的平面角 . DAE120,DAO60 .ADAB2,DO3 .ABC 是等腰直角三角形，斜边AB=2.S ABC1, 又 D 到平面的距离 DO=3.VD ABC3 .3（ 2）过 O在内作 OM AC,交 AC的反向延长线于M ,连结 DM .则 AC DM. DMO为二面角 DACB 的平面角 . 又在 DOA 中， OA=2cos60 =1.且OAMCAE45 ,OM2 . tan DMO6.DMO

37、arctan6.2（ 3）在平在内，过C 作 AB 的平行线交AE 于 F， DCF为异面直线AB、 CD 所成的角 .AB AF , CF AFCF DF ,又 CAF45 , 即ACF 为等腰直角三角形，又AF等于 C 到 AB 的距离，即 ABC斜边上的高 ,AFCF1.DF 2AD 2AF 22 AD AF cos1207.tanDCFDF7. tan DCF7.CF异面直线AB,CD所成的角为arctan7.例 10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。 类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下

38、：图解：立体几何中相应地性质：B从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离P之比为定值。O从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值。AA在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。在空间，射线 OD 上任意一点 P 到射线 OA 、 OB 、 OC 的距离之比不变。在空间，射线 OD 上任意一点 P 到平面 AOB 、 BOC 、 COA的MD距离之比不变。说明：（2）（ 5）还可以有其他的答案。B例 11、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆， 它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线

39、是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线 .（ 1）求圆锥的母线与底面所成的角；（ 2）求圆锥的全面积解 : （ 1）设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，由题意得： l 2 R ,即 cos ACO1R1 ,l2600.所以母线和底面所成的角为（ 2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中 O 为截面与1且 OO11AB.AC的交点，则 OO /AB2在截面 MON 内，以 OO1 所在有向直线为y 轴， O 为原点，建立坐标系，则O 为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2= 2py，点 N 的坐标为（ R， R），代入方程得R2= 2p（ R），得 R=2p， l=2R=4p.圆锥的全面积为RlR 28 p 24 p 212 p 2 .说明： 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意 , 预示了高考命题的新动向 . 类似请思考如下问题 :一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长NC为 5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为 1，则该几何体的体积等于