高一数学教案：导数的运算法则及基本公式应用

1、导数的运算法则及基本公式应用重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数ylimyx 表示函数的平均改变量，它是x ，x 的函数， 而 f (x0)表示一个数值， 即 f (x)= x 0知道导数的等价形式f ( x0x) f ( x0 )f ( x) f ( x0 )limxlimf ( x0 )x 0x x0x x02 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，

2、首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系典型题例示范讲解例 1 求函数的导数(1) y1 x( 2) y (ax b sin2x) 3 ( 3) yf ( x21)(1x2 ) cosx命题意图本题 3 个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型知识依托 解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析 本题难点在求导过程中

3、符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法 先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导(1 x) (1x2 ) cos x(1 x)(1x2 ) cos x(1)解 : y(1 x2 ) 2cos2x(1x2 )cos x(1x)(1 x2 ) cos x(1x2 )(cos x) (1x2 )2 cos2 x(1x2 )cos x(1x)2 x cos x(1x2 )sin x(1x2 ) 2 cos2 x( x22x 1)cos x(1x)(1x2 )sin x(1x2 )2 cos2 x(2)解y=3, =ax bsin2 x, =avbyv=x,y=

4、sin = xy =( 3)=3 2 =3 2(av by)=3 2(av by )=32(av by )=3(ax bsin2 x)2(a b sin2 x)(3)解法一设 y=f( ), =v ,v=x2+1,则11y x=y v v x=f ( ) 2 v 2 2x112x21 ) 21 2x=f (xxf ( x21),=x 21解法二y = f(x 21 ) =f (x 21 ) ( x 21 )2111 ) 22 (x2+1)=f (x(x2+1)x211=f (1 ) 2(x2+1)2 2xx= x21 f ( x 21 )例 2 利用 数求和(1)Sn=1+2x+3x2+nxn

5、 1(x0,n N*)123(2)Sn=Cn +2Cn +3Cnn+ +nC n ,(n N*)命 意 培养考生的思 的灵活性以及在建立知 体系中知 点灵活融合的能力知 依托通 数列的通 行 想，合理运用逆向思 由求 公式 (xn) =nxn 1,可 想到它 是另外一个和式的 数关 要抓住数列通 的形式 构 解分析本 点是考生易犯思 定 的 ，受此影响而不善于 想技巧与方法第 (1) 要分 x=1 和 x 1 ，等式两 都求 解(1)当 x=1 时1Sn=1+2+3+ +n= 2 n(n+1);当 x 1 ，x x n 1 x+x2+x3+ +xn= 1 x ,两 都是关于x 的函数，求 得x

6、 x n 1(x+x2+x3+ +xn) =(1x)1(n 1) xnnx n 1即 Sn=1+2x+3x2+ +nxn1=(1 x) 212n(2) (1+x)n=1+Cn x+Cn x2+ +Cn xn,两 都是关于x 的可 函数，求 得123nn(1+x)n 1=Cn +2Cn x+3C n x2+nC n xn 1,123n令 x=1 得， n 2n1=Cn +2Cn +3Cn + +nCn ,12n即 Sn=Cn +2Cn + +nCn =n 2n 1例 3 已知曲 Cy=x3 3x2+2x,直 l:y=kx,且l 与C 切于点(x0,y0)(x00)，求直 l 的方程及切点坐 y0

7、解由 l 原点，知k= x0 (x0 0),点 (x0,y0)在曲 C上， y0=x03 3x02+2x0,y0 x0 =x02 3x0+2y =3x2 6x+2,k=3x02 6x0+2y0又 k= x0 , 3x02 6x0+2=x023x0+232x02 3x0=0,x0=0 或 x0= 23由 x 0,知 x0= 23333 y0=( 2 )33( 2 )2+2 2 = 8y01x133l 方程 y= 4 x 切点 ( 2 ， 8 )学生巩固 1y=esinxcos(sinx)， y (0) 等于 ()A0B 1C 1D 2x92 原点且与曲 y= x5相切的方程是 ()xxAx+y=

8、0 或 25 +y=0Bxy=0 或 25 +y=0xxCx+y=0 或 25 y=0Dxy=0 或 25 y=0f ( x0k )f ( x0 )3lim2k=_若 f (x0)=2, k 04设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f (0)=_5已知曲 C1:y=x2 与 C2:y= (x 2)2,直 l 与 C1、 C2 都相切，求直 l 的方程6 求函数的 数(1)y=(x22x+3)e2x;3x(2)y=1x7有一个 度 5 m 的梯子 靠在笔直的 上，假 其下端沿地板以3 m/s的速度离开 脚滑 ，求当其下端离开 脚14 m ，梯子上端下滑的速度8求和 Sn=12+2

9、2x+32x2+ +n2xn 1,(x 0,n N*)参考答案1 解析 y =esinx cosxcos(sinx) cosxsin(sinx) ,y (0)=e0(10)=1答案 By02 解析 切点 (x0,y0), 切 的斜率 k=x0,x94另一方面， y=( x5 ) = (x5) 2,4y0x09故 y (x0)=k, 即( x05) 2x0x0 ( x05)或 x02+18x0+45=01593得 x0(1)= 3, x0 (2)=15, 有 y0(1)=3,y0(2)=1555 ,3因此得两个切点A(3， 3)或 B( 15, 5 ),441从而得 y (A)= ( 3 5)

10、3=1 及 y (B)= ( 15 5) 225 ,x由于切 原点，故得切 lA:y=x 或 lB:y= 25答案A3解析根据 数的定 limf ( x0( k )f ( x0 )k(这时xk )f (x0)= k 0limf ( x0k)f ( x0 )lim 1 f ( x0k)f ( x0 ) k02kk 02k1f ( x0k )f ( x0 )1f ( x0 )12limk2k 0答案 14解析设 g(x)=(x+1)(x+2) (x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f (x)=g(x)+xg (x),f (0)=g(0)+0 g(0)=g(0)=1 2 n=n！答案n!5解设

11、 l 与 C1 相切于点 P(x1,x12),与 C2 相切于 Q(x2, (x2 2)2) 于 C1y=2x, 与 C1 相切于点P 的切 方程 y x12=2x1(xx1),即 y=2x1x x12 于 C2y= 2(x 2),与 C2 相切于点Q 的切 方程 y+(x2 2)2=2(x2 2)(x x2),即 y= 2(x2 2)x+x22 4 两切 重合， 2x1= 2(x22)且 x12=x22 4,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0直 l 方程 y=0 或 y=4x 46 解 (1)注意到 y 0,两端取 数，得lny=ln(x2 2x+3)+lne2x=ln(x2

12、2x+3)+2x1( x22x 3)22 x 22( x 2x2)yx22x 3x 22x 322x3yx2y2( x 2x2) y2( x 2x2) ( x 22 x 3) e2 xx 22x3x 22x32( x2x2)e2x(2)两端取 数，得1ln|y|=3 (ln|x| ln|1 x|),两 解 x 求 ，得111111y3()3x(1x)yx1 xy11y1x33x(1x)3x(1x) 1 x27解设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则 s=5259t,1 47当下端移开1 4 m ， t0= 315 ,111 (9 2t)=9t 25 9t2又 s = 2(25 9t2)2,711525 9 ( 7 )2所以 s (t0)=9 15 =0 875(m/s)18解(1)当 x=1 ， Sn=12+22+32+ +n2=