高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积精品学案苏教版选修2

1、名校名 推荐31.5空间向量的数量积 学习目标 1. 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2. 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题知识点一空间向量的夹角已知两个非零向量a， ，在空间任取一点，作 ，定义bOOA aOB b则 AOB叫做向量 a， b 的夹角记法 a， b范围 a， b 0 ， 当 a，b 时， a_ _b2知识点二空间向量的数量积(1) 定义已知两个非零向量a， b，则 | a|b |cos a， b叫做 a，b 的数量积，记作ab.(2) 数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律( a)

2、b ( ab)交换律ab baa(bc) ab分配律ac(3) 数量积的性质两个向量数量积的性质若 a，b 是非零向量， 则 a b? ab 0 若 a 与 b 同向，则 ab | a| |b| ；若反向，则 ab | a| |b|.特别地， aa | a| 2 或| a| aaab若 为 a，b 的夹角，则 cos |a|b|ab| |a| |b|题型一空间向量的数量积运算例 1如图所示， 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点1名校名 推荐E， F 分别是AB， AD的中点，计算：(1) ；(2)； (3) ；(4) .EFBAEFBDEFDCBFCE解(1) 1EFBA2B

3、DBA1 2| BD| |BA| cos BD， BA11， 11cos 60 421所以 EF BA .41 11(2)EF BD2| BD| |BD|cos BD，BD 211cos 0 2，所以 1.EFBD2 1 1 11(3)EF DC2BD DC2|BD| |DC|cos BD， DC211cos 1204，所以 1.EFDC41 1 (4)BF CE2( BD BA) 2( CB CA)1 4 BD( BC) BA( BC) BD CA BA CA1 4 BD BCBA BC( CD CB) CA AB AC1111111 4( 2 2 22 2) 8.反思与感悟由向量数量积的定

4、义知，要求a 与 b 的数量积，需已知| a| ， | b| 和 a， b， a与 b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a b 计算准确跟踪训练1已知空间向量a， b， c 满足 ab c 0， | a| 3， | b| 1， | c| 4，则 ab bc ca的值为 _答案 13解析 a bc 0， (a bc)2 0， a2b2 c22(a bbcca) 0，abbcca32 1242 13.2题型二利用数量积求夹角例 22名校名 推荐如图，在空间四边形OABC中， OA 8， AB 6， AC4， BC 5， OAC45， OAB60，求与所成角的余弦值OABC

5、解因为 BC AC AB， 所以 OA BCOAACOA AB | | |cos ， | | |cos ， OA ACOA ACOA ABOA AB84cos 135 86cos 120 162 24. 24 16 2 3 2 2OA BC所以 cos OA，BC8 55.|OA|BC|即 OA与 BC所成角的余弦值为3 2 25.反思与感悟利用向量的数量积， 求异面直线所成的角的方法：(1) 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2) 将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3) 利用向量的数量积求角的大小；(4) 证明两向量垂直可转化为数量积为零跟踪训练 2如图所示，正四面体

6、的每条棱长都等于，点，ABCDaM N分别是 AB， CD的中点，求证：MN AB， MN CD. 1 证明MN AB( MB BCCN) AB (MB BC 2CD) AB11( MB BC 2AD 2AC) AB1221212 2a a cos 120 2a cos 60 2a cos 60 0，所以 ，即. 同理可证 .MN ABMN ABMN CD题型三利用数量积求距离例 3正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为2， E、 F 分别是 AB、A1C1 的中点，求 EF的长解如图所示，设 ， ，1. 由题意知 |a| |b| |c| 2，ABa ACbAAc且 a，b 60， a，c

7、 b，c 90.因为 EF EA AA1 A1F1 1 2AB AA1 2AC11 2a 2b c，2 2 21 2 1 22所以 EF | EF| EF 4a 4b c3名校名 推荐1111 2 2a 2b2bc 2ac121222 12 2222cos 60 444 1 1 4 15，所以 EF5.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式| a| a a求解即可跟踪训练 3如图，已知一个 60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD

8、分别是在这两个面内且垂直于 AB的线段又知 AB 4， AC 6， BD 8，求 CD的长解CA AB，BD AB， CA，BD 120. ，且 0， 0，CD CAAB BDCA ABBD AB2|CD| CD CD ( CA ABBD)( CA AB BD) | 2 | 2 |2CA|AB|BD| 2CABD | | 2 | | 2 | |2 2| |cos ， CAABBDCABDCABD2221 6 4 8 268( ) 68，|CD| 217，故 CD的长为 217.1若 a， b 均为非零向量，则 ab | a|b| 是 a 与 b 共线的 _条件答案充分不必要解析ab | a|b

9、 |cos a，b | a|b | ? cos a，b 1? a， b 0，当 a 与 b 反向时，不能成立2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a 3 | _.b答案7解析 |a 3b| 2 ( a 3b) 2 a2 6a b 9b2 16cos 60 97. |a 3b| 7.3对于向量 a、b、 c 和实数 ，下列命题中的真命题是_ ( 填序号 )若 a b 0，则 a 0 或 b 0；若 a 0，则 0 或 a 0；4名校名 推荐若 a2 b2，则 ab 或 a b；若 a b ac，则 bc.答案解析对于，可举反例：当a b 时， ab 0；对于， 22，只能推得 | | | | ，而不能推出ab；abab对于， a ba c 可以移项整理得a(bc) 0.4设向量a，b满足 |a | 10， | 6，则 _.ba ba b答案1解析 | a b| 2 ( a b) 2 a2 2a b b2 10，| | 2 (ab) 22 2 26，a baa bb将上面两式左、右两边分别相减，得4a b4， ab 1.5若向量a，b满足： | 1， ( ) ， (2) ，则 |b| _.aa baa bb答案2aba 0，a2 b a 0， 解析由题意知abb 0，即2a b