高中数学函数单调性的判断方法

1、最新资料推荐高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质， 它在数学中有许多应用， 如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个值 x1, x2（ 1）当 x1x2 时，都有 f (x1)f ( x2 ) , 则说 f(x)在这个区间上是增函数；（ 2）若当 x1x2 时，都有 f ( x1 )f ( x2 ) , 则说 f(x) 在这个区间上是减函数。例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在上是减函数。要证明函数f （ x）在定义域内是减函数，设任意x1, x2R且 x1x2，则f

2、 ( x1 ) f ( x2 )3322) 因为 x1x2所以 x2x10 ，x2x1( x2 x1)( x2x1 x2 x1，且 在 x1与 x2 中 至 少 有 一 个 不 为0 ， 不 妨 设 x2 0 ， 那 么x 2x xx2 ( xx2 )2 3 x2所以 f (x1 )f ( x2 ) ，故f ( x) 在 (,) 上21212140 ，2为减函数。方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数 f(x)、 g(x) 在区间 B 上具有单调性，则在区间B 上有：1.f(x)与 c?f(x)当 c0 具有相同的单调性，当c0 具有相反的单调性

3、；2. 当 f(x) 、g(x) 都是增 (减)函数，则 f(x) g(x) 都是增 (减 )函数；3. 当 f(x) 、g(x) 都是增 (减 )函数，则 f(x)?g(x)当两者都恒大于 0 时也是增 (减)函数，当两者都恒小于 0 时也是减 (增)函数；例如，已知 f（x）在 R 上是减函数，那么 -5f（ x）为函数。这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数 yf g(x) 满足 “同增异减 ”法(应注意内层函数的值域 )，可令 tg(x)，则三个函数yf(t) 、t g(x)、 yf g(x) 中，若有两

4、个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；1最新资料推荐若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（ 1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果 f(x) 在区间 D 上是增（减）函数，那么f(x) 在 D 的任一子区间上也是增（减）函数。例如，求函数 y=log4(x2 4x+3)的单调区间。解： 设 y=log 4u,u=x 2 4x+3. 由u 0,u=x2 4x+3，解得原复合函数的定义域为x 1或 x 3.2为减函数，而4当 x ( ， 1) 时， u=x 4x+3y=log u 为增

5、函数，所以 ( ， 1) 是复合函数的单调减区间；当2x (3 ， ) 时， u=x 4x+3 为增函数 y=log u 为增函数，所以，4(3 ， + ) 是复合函数的单调增区间.方法四：图像法画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。例如，画出函数 yx22 | x | 1图象并写出函数的单调区间。x22x1 ( x0)( x 1)22 ( x0)解： y2x1 ( x0)即 y2 ( x0)x2( x 1)2如图所示，单调增区间为(, 1和0,1 ，单调减区间为 1,0和1,)方法五：导数法函数的单调性与导数的关系：在某个区间( a ,b) 内，如果 f ( x)0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递增，如果 f ( x)0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递减。例如，求函数f ( x)x42x23的单调区间。解：函数f ( x) 的定义域为R， f ( x)x44x4( x1)( x1)x2最新资料推荐令 f ( x)0 ，得1 x 0 或 x 1 函