高三数学一轮复习：数列

1、数列1、理解数列的概念，了解数列通 公式的意 了解 推公式是 出数列的一种方法，并能根据 推公式写出数列的前几 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通 公式与前n 和的公式，并能解决 的 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通 公式与前n 和公式，并能解决 的 知 网 定义项，通项数列基础知识数列表示法数列分类数列定义等差数列通项公式等比数列前 n项和公式特殊数列性质其他特殊数列求和高考 航 近几年高考 ， 数列的考 已从最低谷走出，估 以后几年 数列的考 的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性 、通 公式、前n 和公式的 用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、 合数的 合 用 是

2、命 点从解 思想方法的 律着眼，主要有： 方程思想的 用，利用公式列方程(组 )，例如等差、等比数列中的 “知三求二 ” ； 函数思想方法的 用、 像、 性、 最 等 ； 待定系数法、分 等方法的 用第 1 课时数列的概念基 关1数列的概念：数列是按一定的 序排列的一列数，在函数意 下，数列是定 域 正整数 N* 或其子集 1，2，3， n的函数 f(n)数列的一般形式 a1，a2，an， an，其中 an 是数列 an的第 2数列的通 公式一个数列 an的与之 的函数关系， 如果可用一个公式an f(n) 来表示，我 就把 个公式叫做 个数列的通 公式3在数列 an中，前 n 和 Sn 与通

3、 an 的关系 ：第1页共24页ann1n2a n4求数列的通 公式的其它方法公式法：等差数列与等比数列采用首 与公差(公比 )确定的方法 察 法：先 察哪些因素随 数n 的 化而 化，哪些因素不 ；初步 出公式，再取 n 的特珠 行 ，最后用数学 法 出的 果加以 明 推关系法： 先 察数列相 的 推关系，将它 一般化， 得到的数列普遍的 推关系，再通 代数方法由 推关系求出通 公式.典型例 例 1. 根据下面各数列的前n 的 ，写出数列的一个通 公式24816 1 3 ， 35 ， 5 7 ， 7 9 ； ，1 2， 6，13， 23， 36，； ，1 1， 2，2， 3， 3，2n1解：

4、 an ( 1)n (2n1)( 2n1)1 (3n 27n6) an 2（提示： a2 a11 ，a3 a24，a4 a3 7， a5 a410， ，an an 1 1 3(n 2)=3n 5各式相加得a n1 14710(3n5)11 ( n 1)( 3n4)21 (3n27n6)211 , 2 0 , 31 , 将 1， 1，2，2， 3， 3， 形 22240 , 5 1 , 60 ,2221(1) n1a nn22n 1( 1) n 124 式 1.某数列 an的前四 0，2 ，0，2 ， 以下各式：2 an 1( 1) n an 21 ( 1)n2(n为偶数 ) an 0(n为奇数

5、 )其中可作 an的通 公式的是（）AB 第2页共24页C D 解： D例 2. 已知数列 an的前 n 和 Sn，求通 Sn3n 2 Sn n23n1解 anSn Sn 1 (n 2)a1S12 3n 1(n2)解得： an 1(n1)5 (n 1) an 2n 2 (n 2) 式 2：已知数列an的前 n 的和 Sn 足关系式 lg(Sn1) n， (n N*)， 数列 an的通 公式 解： lg( Sn 1)nS n 110nSn 10n1, 当 n 1 ， a1 S111；当 n2 ， anSnSn11(n1)110n 10n 1 9 10n 1故 an 9 10 n 1(n2)例 3

6、. 根据下面数列 an的首 和 推关系，探求其通 公式 a11， an 2an1 1(n 2) a11， an an 1 3n 1(n 2)n1 an 1 a11， ann(n 2)解： an 2an 1 1(an 1) 2(an 1 1)(n 2)， a1 1 2故： a1 1 2n， an2n1 an（ an an 1）（ an1 an 2） （ a3 a2）（ a2 a1） a1 3n 13n1(3n1)2 333 1 2ann1(3)an1nana n 1a n 2a 2n 1 n 2 an a n 1 a n 2a1a n 3a1n n 1n3111n22n2an 式 3.已知数列

7、an中， a1 1， an1 a n 2 (n N*)，求 数列的通 公式2an解：方法一：由an1 a n 2 得1111111an 1a n2a n是以a12 首 ， 公差的等差数列， 112a n 1 (n 1)2n1 ,即 an第3页共24页2方法二：求出前5 ， 猜想出an n1 ，然后用数学 明例 4. 已知函数f ( x) 2x 2 x，数列 an 足 f (log 2 a n ) 2n，求数列 an通 公式解：f (loga )2log 2 an2log 2 a n2n2 na n12n 得 ann 2an1 n 式 4.知数列 an的首 a1 5前 n 和 Sn 且 Sn1

8、2Snn 5（ nN*）(1) 明数列 an1是等比数列；(2) 令 f (x) a1xa2x2 anxn，求函数 f (x)在点 x 1 数 f 1 (1)解： (1) 由已知 Sn 1 2Sn n 5， n 2 ， Sn 2Sn1 n4，两式相减，得：Sn 1 Sn 2(Sn Sn1) 1，即 an 12an 1从而 an 11 2(an 1)当 n1 ， S2 2S1 15， a1 a2 2a16,又 a1 5， a2 11an 11 an 1 2，即 an 1是以 a1 16 首 ， 2 公比的等比数列 .(2) 由 (1)知 an 3 2n1 f ( x) a1x a2x2 anxn

9、 f ( x) a1 2a2x nanxn 1从而 f (1) a1 2a2 nan (3 2 1) 2(3 22 1) n(3 2n 1) 3(2 222 n2n) (12 n)n( n1)3n 2n1 (2 2n) 2n( n1)3(n 1) 2n 1 2 6 小 1根据数列的前几 ，写出它的一个通 公式，关 在于找出 些 与 数之 的关系，常用的方法有 察法、通 法， 化 特殊数列法等.2由 Sn 求 an ，用公式 an Sn Sn1 要注意 n2 个条件， a1 由 a1 S1 来确定，最后看二者能否 一an 13由 推公式求通 公式的常 形式有：an 1 an f(n) ， an

10、f(n)， an 1 pan q ，分 用累加法、累乘法、迭代法（或 元法）第 2 课时等差数列基 关第4页共24页1等差数列的定义： d（ d 为常数）2等差数列的通项公式： an a1d an amd3等差数列的前n 项和公式：Sn4等差中项：如果a、 b、 c 成等差数列，则b 叫做 a 与 c 的等差中项，即b5数列 an是等差数列的两个充要条件是： 数列 an的通项公式可写成anpn q(p, q R) 数列 an的前 n 项和公式可写成Sn an2 bn(a, b R)6等差数列 an的两个重要性质： m, n, p, q，若 N*m n p q，则 数列 an的前 n 项和为 S

11、n， S2n Sn，S3n S2n 成数列典型例题例 1. 在等差数列 an中，(1)已知 a15 10， a45 90，求 a60；(2)已知 S12 84，S20 460，求 S28；(3)已知 a6 10， S5 5，求 a8 和 S8a82a15a 114d1013a 45a 144 d90d8解： (1)方法一：3 a60 a1 59d 130an a ma45a1588d，由 an am (n m)da60 a45 (6045)d 90 153方法二：n m45153130(2)不妨设 Sn An2 Bn，12 2 A12B84A22B17 20 A20B460 Sn 2n2 17

12、n S28 2 282 17 28 1092(3) S6S5 a65 10 15，6(a1a6 ) 6(a1 10)又 S6226(a110) 152即 a1 5a6a1而 d 6 13 a8 a6 2 d 168(a1 a8 )S8244第5页共24页 式 1.在等差数列 an中， a5 3， a6 2， a4a5 a10解： d a6 a5 5，7(a 4 a10 )7(a5 2d )49 a4 a5 a102a21例 2. 已知数列 an 足 a1 2a，an 2aa的常数，令 bnanan 1（ n2）其中 a 是不 0 求 ：数列 bn 是等差数列 求数列 an的通 公式a2解： a

13、n2a an1(n 2)11an 1an aa 2a(an 1a)a bnan1(n 2)an111 bn bn 1a( an 1a ) an 1a a(n 2)1 数列 bn 是公差 a 的等差数列1 1 b1a1 a a11n故由 得： bnaaa(n 1) 1n1即： ana a得： an a(1 n ) 式 2.已知公比 3 的等比数列 bn与数列 an 足 bn3an , n N *，且 a11 ，（1）判断an 是何种数列，并 出 明；C n1an an 1，求数列 Cn（2）若的前 n 和bn 13an 13an 1 an3, an 1an1an解： 1） bn3an，即 等差数

14、列。Cn111, Sn1111n（2）an an 1anan 1a1an 1an 1n 1 。Sn例 3. 已知 an 等差数列， Sn 数列 an的前 n 和，已知 S77，S15 75，Tn 数列 n 前 n 和。求 Tn解： an首 a1 公差 d，由第6页共24页S7a76 d7712a12S1515a11514d 75d121 n 25 nSn1 n5 Sn 22n22S1312111 Tnnn44Sn5n3a5 式 3 两等差数列 an、bn 的前 n 和的比S n2n75（）， b 的 是28485323A 17B 25C 27D 15a52a5(a1a9 ) 9S9482b52

15、b5(b1b9 )9S925解： B 解析：2。例 4.美国某公司 工加工 有两个方案：一是每年年末加1000 美元；二是每半年 束 加 300 美元 ： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案 共加的工 多？ 如果在 公司干10 年， 第二种方案比 第一种方案多加工 多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300 美元改 每半年加a 美元问 a 取何 ， 是 第二种方案比第一种方案多加工 ？解： 工作年数 n（ nN*），第一种方案 共加的工 S1，第二种方案 共加的工 为 S2 ：S1 1000 1 1000 2 1000 3 1000n 500(n 1)nS2 300 1 300 2 300

16、3 300 2n 300(2n 1)n由 S2S1，即： 300(2n 1)n500(n 1)n解得： n2 从第 3 年开始，第二种方案比第一种方案 共加的工 多 当 n 10 ，由 得： S1 500 101155000S2 300 102163000 S2 S1 8000在 公司干10 年， 第二种方案比 第一种方案多加工 8000 美元若第二种方案中的300 美元改成 a 美元则 S21an(2n 1)nN*500 (n1)250250 a2n1 250 2n1 250 31000 3第7页共24页变式训练4.假设某市2004 年新建住房400 万平方米 ,其中有 250 万平方米是中

17、低价房.预计在今后的若干年内 ,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外 ,每年新建住房中 ,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 .那么 ,到哪一年底 ,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于4750 万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解： (1)设中低价房面积形成数列 an, 由题意可知 an是等差数列 ,n(n 1)50其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+2=25n2+225n,令 25n2+225n 4750,即 n2+9n -190 0,而 n 是正整数 , n 1

18、0.到 2013 年底 ,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米 .(2)设新建住房面积形成数列 bn, 由题意可知 bn 是等比数列 ,其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400(1.08)n-10.85.由题意可知 an0.85 bn, 有 250+(n-1) 50400 (1.-08)n10.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到 2009 年底 ,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.归纳小结1欲证 an为等差数列，最常见的做法是证明：an 1 an d(d 是一个与 n 无关的常数 )2a1，d 是等差数列的最

19、关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列 an的最后若干项的求和， 可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为 d 的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题第 3 课时等比数列关()1等比数列的定义：() q（ q 为不等于零的常数） 2等比数列的通项公式： an a1qn 1 an amqn m3等比数列的前 n 项和公式：(q1)Sn(q1)4等比中项： 如果 a，b ，c 成等比数列， 那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项， 即 b2（或b）5等比数列 an的几个重要性质： m， n， p， q N*，若 m n

20、p q，则 Sn是等比数列 an的前 n 项和且 Sn0，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n成数列 若等比数列 an的前 n 项和 Sn 满足 Sn是等差数列，则 an的公比 q典型例题第8页共24页例 1. 已知等比数列 an中，a1 an 66，a2an 1 128，Sn 126，求项数 n 和公比 q 的值解： an是等比数列， a1ana2 an1，a1a n 66a1 2a1 64 a1an 128，解得a n 64 或 a n 2若 a1 2，an 64，则 2qn 1 64 qn 32qa1(1qn )2(132q)126由 Sn1q1q，解得 q 2，于是 n 6若 a

21、1 64， an 2，则 64qn 121q qn 32a1(1n)64(11q)32q126由 Sn1q1q1解得 q 2 ，n 6变式训练 1.已知等比数列 an中， a1a9 64， a3 a720，则 a11解： 64 或 1a1a964a3a764a3a720a3a720由a316a341a74 或a716 q2 2 或 q2 2， a11 a7 q2， a11 64或 a11 1例 2. 设等比数列 an的公比为 q(q0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280 ，且前 n 项中数值最大项为 27，求数列的第 2n 项a (1q n )1401qa (1q 2n )

22、13280解：若 q 1，则 na1 40， 2na1 3280 矛盾， q 11q两式相除得： qn 81， q 1 2a1又q0， q1， a10 an是递增数列a181 an 27 a1qn 1 1 2a1解得 a1 1， q 3， n 4变式训练 2.已知等比数列 an前 n 项和 Sn2n1， an2 前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式a 21解： (1)a12a22 0，公比 q a121又S4S2 8，第9页共24页1将 q 2代入上式得a1 1，1 an a1qn 1 ( 2 ) n1(n N*)111(2) an16(22) n1()4n5原不等式的解 n 1 或 n

23、3 或 n 5例 3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求 四个数( a d )2解： 四个数 a d， a， a d，aad(ad ) 216a依 意有：aad12a4a9解得：d4或d6 四个数 0， 4， 8，16 或 15， 9， 3， 1 式 3.设 Sn 是等差数列an 的前 n 和， S636,Sn324,Sn 6 144(n6) ， n 等于（）A. 15B. 16C. 17D. 18答 案 ： D 。 解 析 ： 由Sn324, Sn 6144得anan 1an2an 3 an 4 an 51

24、80， 再 由S6 326,a1an36,Snn(a1 an )324, n182。例 4. 已知函数 f(x) (x 1)2，数列 an是公差 d 的等差数列，数列 bn是公比 q 的等比数列 (q 1)，若 a1f(d 1)， a3 f(d1)， b1 f(q 1)， b3 f(q 1)，(1) 求数列 an， bn的通 公式；c1c 2cn( n 1) an 1(2) 数列 cn 任意的自然数n 均有： b1b2b n解： (1) a1 (d2)2， a3 d2， a3 a1 2d即 d2(d 2)2 2d，解之得 d 2 a1 0， an 2(n 1)又 b1(q 2)2， b3 q2

25、， b3 b1q2即 q2(q 2)2 q2，解之得q 3，求数列 cn前 n 和 Sn b1 1，bn 3n 1C n(n 1)a n 1 na n 4n, c n 4n 3n 1(2) bnSn C1 C2 C3 Cn 4(1 3231332 n3 n 1)设 Sn1323332 n3 n 1第 10页共 24页3 Sn1 31 2 323 33 n 3 n2 Sn1 332 33 3 n 1 n3 n1(3n1)2 3 n nnSnn 3n3124 Sn 2n 3n 3n 1 式 4.已知等差数列 an的首 a11，公差d0，且第二 ，第五 ，第十四 分 是等比数列 bn的第二 ，第三

26、，第四 求数列 an与bn 的通 公式；c1c2c3cnan 1n，均有 b1b2b3bn 数列 cn 任意正整数，求 c1 c2 c3 c2007的 解：由 意得 （ a1 d）(a1 13d) (a1 4d)2(d0)解得 d 2，an2n 1，bn 3n 1cnan 1 an ,cn3(n1)cn 2 3n 1bn2 3n 1 (n 2)当 n 1 ， c1 3当 n2 ， 故c1 c2c2007 3 232 322 3200632007 小 a1 (1qn )1在等比数列的求和公式中，当公比q1 ，适用公式 Sn1q，且要注意 n 表示 数；当 q 1 ，适用公式Sn na1；若 q

27、的范 未确定 ， q 1 和 q1 求和2在等比数列中， 若公比 q 0 且 q1 ， 可以用指数函数的 性确定数列的最大 或最小 3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列 ，关 是如何巧妙地(xd) 2 四个数，一般是 xd， x， x d，x再依 意列出方程求x、 d 即可4a1 与 q 是等比数列 an中最活 的两个基本量第 4 课时等差数列和等比数列的 合 用基 关1等差数列的常用性 ： m， n， p， r N*，若 m n p r， 有 an是等差数列， 则 akn (k，N*k 常数 )是数列 Sn， S2n Sn， S3nS2n 构成数列2在等差数列中，求Sn

28、 的最大 (小) ，关 是找出某一 ，使 一 及它前面的 皆取正(负 ) 或 0，而它后面的各 皆取 (正 ) a n 0 a1 ，0 d 0 ，解不等式 an 10可解得 Sn 达到最值时 n 的 第 11页共 24页 a10 时，解不等式组可解得 Sn 达到最小值时n 的值3等比数列的常用性质： m， n， p， r N*，若 m n p r，则有21an an是等比数列，则 an、 是数列 若 Sn0，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n 构成数列典型例题例 1. 是否存在互不相等的三个实数a、 b、 c，使它们同时满足以下三个条件： a b c 6 a 、b、 c 成等差数列将

29、a、 b、c 适当排列后成等比数列解：设存在这样的三位数a， b， c由 a b c 6， 2b a c得： b 2， a c4若 b 为等比中项，则ac 4， a c 2 与题设 ac相矛盾若 a 为等比中项，则a2 2c，则 a c 2(舍去 )或 a 4， c 8若 c 为等比中项，则c22a，解得 c a 2(舍去 )或 c 4， a 8存在着满足条件的三个数：4， 2， 8 或 8， 2， 41 1 11.若 a、 b、 c 成等差数列， b、 c、d 成等比数列，, ,a、c、 e变式训练c d e 成等差数列，则成（）A等差数列B等比数列C既成等差数列又成等比数列D以上答案都不是

30、2baa cc2bd ,2c2211c, bdc,答案： B。解析：由2，由a c ，由 deacc e , c2ae c2ce，即 a, c, e 成等比数列。1例 2. 已知公差大于 0 的等差数列 an 满足 a2a4 a4a6 a6a2 1， a2， a4， a8 依次成等比数列，求数列 an的通项公式 an1111解：设 a n 的公差为 d(d 0)，由 a2，a4，a8 成等比数列可知 a2， a4， a 8 也成等比数列，111a4a 2a 8( )2111a1a1d)(a1 7d)( 3d)2(d1化简得 d2 a1 ， a 1 d又 a2a4 a4a6 a6a2 1 化简为第 12页共 24页1111a2 a4 a 6 a 2 a 4 a6111a 4a2 a 6a 4 3 1111a 2a 6 3，即 ( a1 d)( a 1 5d) 31112d 6d 3d2，a1211na n a 1 (n 1)d 22 an n1 , 1 , 1