高中导数、定积分的复习讲义(含答案)

1、最新资料推荐一、知识点梳理1. 导数：当x 趋近于零时，f ( x0x)f ( x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“”记作：x当 x0 时， f ( x0x)f ( x0 )c 或记作 limf ( x0x) f (x0 )c ，符号“ ”xx0x读作“趋近于”。函数在 x0 的瞬时变化率， 通常称作 f ( x) 在 xx0 处的导数，并记作 f (x0 ) 。即f ( x0 )limf (x0x) f (x0 )x 0x2. 导数的四则运算法则：1） ( f ( x)g (x)f ( x) g ( x)2 ） f (x)g( x)f ( x) g (x) f ( x) g ( x)3）f

2、( x)g ( x) f( x)f ( x)g ( x)g( x)g 2 ( x)几种常见函数的导数：(1)C 0(C为常数 )(2) （ xn）nxn 1 ( nQ)(3) (sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(ln x)1(6)(log a x)1 log a exx(7)(ex )ex(8)(a x )a x ln a例题： 对下面几个函数求导（ 1）、 y 3x2 8x 12（2） f ( x) 5exx ln x a x(3)ex3 ln xf ( x)2x23. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义， 通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速

3、度。即若点 P(x, y ) 为曲线上一点，则过点P( x , y) 的切线的斜率0000k切f ( x0 ) limf (x0x) f (x0 )x 0x1最新资料推荐由于函数 yf ( x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点P(x0 , f (x0 ) 处切线的斜率，因此，曲线 yf ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 ) 处的切线方程可如下求得：（ 1）求出函数 yf (x) 在点 x x0 处的导数， 即曲线 yf ( x) 在点 P(x0 , f (x0 ) 处切线的斜率。（ 2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y y0f (x0 )( x x0 )例

4、题： 1、已知曲线 y1 x 3m 的一条切线方程是y 4x4 ，则 m 的值为A. 4328C. 4 或28D . 2 或13B.3333332、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A BCD4. 函数的单调性：在某个区间 (a, b) 内，如果 f (x)0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递增；如果f ( x) 0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内单调递减。例题：求f (x)3x34x24 的单调区间5. 函数的极值求函数 f ( x) 极值的步骤 :求导数f ( x) 。求方程f / ( x)0的根 .列表；下结论。1、已知函数f (x)ax3(2a1) x22 ，若

5、 x1是 yf ( x) 的一个极值点，则a 值为（）A 2B.-2C.2D.472、设函数 f(x)=2x33(a1)x21,其中 a 1.（）求 f(x)的单调区间；（）讨论 f(x)的极值。解：由已知得f ( x)6x x(a1) ，令 f (x)0 ，解得x1 0, x2 a 1。2最新资料推荐（）当a 1时， f ( x)6 x2 ， f (x) 在 ( ,) 上单调递增；当 a 1时， f (x)6xxa 1 ， f (x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表：x(,0)0(0, a 1)a 1(a 1, )f (x)+0f (x)Z极大值从上表可知，函数f ( x) 在 (,

6、0) 上单调递增；在单调递增。0极小值Z(0, a1) 上单调递减；在(a1,) 上（）由（）知，当a1 时，函数f ( x) 没有极值；当 a1时，函数f ( x) 在 x0 处取得极大值，在xa1 处取得极小值 1( a1)3 。6. 函数的最大值和最小值（1）设 yf ( x) 是定义在区间 a, b上的函数， yf ( x) 在 ( a, b) 内有导数，求函数y f ( x) 在 a,b上的最大值与最小值，可分两步进行.求 yf ( x) 在 (a, b) 内的极值 .将 yf ( x) 在各极值点的极值与f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值

7、.（2）若函数f (x) 在 a,b 上单调增加，则 f (a) 为函数的最小值，f (b) 为函数的最大值；若函数 f ( x)在 a, b 上单调递减，则f (a) 为函数的最大值，f (b) 为函数的最小值 .例题： f ( x)x33x22 在区间1,1 上的最大值是2。解：当 1 x 0 时， f( x) 0，当 0x 1 时， f ( x) 0，所以当 x0 时， f （x）取得最大值为2。7. 定积分性质（ 1） ab kf ( x)dxkbf ( x)dx ；a（ 2） ab f1 (x)f2 ( x) dxba f1 ( x)dxba f2 ( x) dx（ 3）c()dxb

8、f()dxbf() ()a fxcxax dx a c b8、常见求定积分的公式3最新资料推荐（ 1） ab xndx1xn 1 |ba(n1)（ 2） ab cdxcx |ab （C 为常数）n1（ 3） ab sin xdxcos x |ba（ 4） ab cosxdx sin x |ab（ 5） ab 1 dx ln x |ab（6） ab ex dx ex |abx（ 7） ab a xdxax|ab ( a0且 a1)ln a1 dx练习（ 1）1 2dx（ 2）（3）4xdx0x2x231331解：（ 1）x 2 dxx1 01030333（ 2）11 dxln x1ln 1ln

9、2ln 222 x11（ 3）4xdx0x)dx4x2 0x2 42 8 102(0xdx202229、应用定积分求曲边梯形的面积（1）如图，由三条直线 xa, xb ab ， x 轴（即直线 yg( x)0 ）及一条曲线 y f ( x) ( f (x) 0)bf ( x)dxb围成的曲边梯形的面积 S( f (x) g ( x) dxaa（2） 如图，由三条直线 xa, xb ab ， x 轴（即直线 yg( x)0 ）及一条曲线 yf ( x) ( ( f ( x)0) ) 围成的曲边梯形的面积：；(3)如图，由曲线 y1f1( x) ， y2f 2 ( x) f1( x)f 2 ( x

10、)0 及直线xa, xb ab ，围成图形的面积公式为：.注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（ 1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（ 2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（ 3）写出定积分表达式；（ 4）求出平面图形的面积 .求抛物线 y22x 与直线 y4x 围成的平面图形的面积.4最新资料推荐剖析先求出抛物线 y22x 与直线 y4x的交点，将积分区间确定， 再求定积分。y22x解出抛物线和直线的交点为（ 2, 2 ）及（ 8,4）解由方程组4 xy解法 1: 选 x 作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在 A1 部分：由于抛物线的上半支方

11、程为y2x ，下半支方程为 y2x ，所以2SA10 2 x (3222 x2 230122x )dx 2 2x 2dx）0（2,28168SA24 x ( 2x )dx23( 4x1 x22 2 x382 )232于是： S1638318 .3（8,-4）28310、有关复数的知识点：复数的单位为i ，它的平方等于 1，即 i 21.复数及其相关概念：复数形如 a + bi的数（其中 a，bR ）；实数当 b = 0 时的复数 a + bi ，即 a；虚数当 b0 时的复数 a + bi ；纯虚数当 a = 0 且 b0 时的复数 a + bi ，即 bi.复数 a + bi 的实部与虚部

12、a 叫做复数的实部， b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）复数集 C全体复数的集合，一般用字母C表示 .两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中， a，b，c，d， R）特别地 abi0ab0 .两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.3 2i1. 复数 2 3i(A)i(B)i(C)12-13i(D) 12+13i5最新资料推荐23 i2. 复数 1 i(A)34i（B）34i（C） 34i（ D） 34i1+2ii13. 设 a,b 为实数，若复数 a bi，则a31, b2(B)a3,b1（A）2a1 , b3(D)a1,b3(C)224. 已知（ x+i ）（ 1-i ）

13、=y，则实数 x， y 分别为（）A.x=-1 ， y=1B. x=-1，y=2C. x=1 ， y=1D. x=1，y=2课后作业1、若点 P 是曲线 y x2 ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y x 2 的最小距()离为2A 1B. 2C. 2D. 3解析过点 P 作 y x 2的平行直线，且与曲线22 ln x0)，y x ln x 相切，设P( x0， x0则 k y |xx0 2x01 ，1x01 2x0 1， x01或 x0 (舍去 )x02 P(1,1)， d |1 1 2| 2.1 1答案B2、若曲线 y x4 的一条切线l 与直线 x 4y 80垂直，则 l 的方程为

14、 ()A 4x y 3 0B x 4y 50C 4x y 3 0Dx 4y 3 0解析y 4x3 4，得 x 1，即切点为 (1,1) ，所以过该点的切线方程为y 14(x1)，整理得4x y 3 0.答案A3、曲线 yex 在点 (2， e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()e29 222A. 4eB 2eC eD. 2解析 点(2， e2) 在曲线上， 切线的斜率 k y |x 2 ex|x 2 e2， 切线的方程为 y e2e2(x 2)即 e2x y e2 0.与两坐标轴的交点坐标为(0， e2)， (1,0)， S 1 1e2e2.226最新资料推荐答案D4、3x 2 )dx ；(4x15、312 | dx =|3x206.计算抛物线 y2x