线性代数教学资料线性代数9

1、,第九次课,3.5 向量空间,3.4 练习,目的要求：,1、了解n维空间、子空间、基底、维数和坐标的概念。,2、了解向量组的内积、正交的概念，掌握内积性质。,复习,一、极大无关组：,定义；特点；性质,二、等价向量组：,定义（互相表示）,1、向量组与其极大无关组等价，其任两极大无关组等价,三、向量组与其极大无关组间关系,2、向量组A可由B表示,（1）若A个数B个数，则A相关,（2）若A无关，则A个数不超过B个数,3、向量组向量个数大于维数必相关,4、等价向量组向量个数相等，向量组极大无关组的向量个数相等,四、向量组的秩；极大无关组所含向量的个数,五、矩阵秩及求法,3、列排行变换求秩，,讨论：,相

2、关性，,4、行列式求秩法,极大无关组，,线性表示,3.4 练习,、选择题（单项）,（1）若n阶方阵A，B满足 R（A）=R（B）=n，则,解：,由条件A，B为n阶方阵，且 R（A）=R（B）=n,知A，B为满秩矩阵。,满秩矩阵为可逆矩阵,对于n阶方阵,可逆矩阵又称满秩矩阵,而不可逆 （奇异矩阵）,称降秩矩阵,（A）A=B,（B）A与B等价,（C）,（D）A，B的行向量有相同的极大无关组,解：,由于A，B可逆,A,初等变换, In,B,初等变换, In,AIn,BIn,传递性,AB,应选 B,2、n阶方阵A满足R（A）=n,则下面说法不正确的是,（A）A可逆,（B）,（C）AIn,（D）A中子式

3、全不为零,解：,（A），（B），（C）全对,只有D错，选（D）,（3）设,则,（A）A中至少有一个零行,（B）A中至少有两行对应成比例,（C）A中至少有一个行向量，可由其余行向量线性表示,（D）A中划去任一行所得矩阵B， 有R（A）=R（B）。,应选 （C）,3.5 向量空间,引例：,构成一个无穷向量集合,是一个向量空间,特征：,a、集合中任一向量乘以任一实数后仍在集合中,b、集合中任两个向量相加仍在集合中,具备这样两个特征的无穷向量集合就是一个向量空间,定义3.11,:设V是n维向量组成的非空集合，且满足条件,（1）,（2）,则称集合V为向量空间,上述两个条件中可称为V（向量空间）对向量的加

4、法和数乘是封闭的。,封闭是集合论中介绍的，这里指的是,对加法封闭,对数乘封闭,例如：,n维向量的全体组成的一个向量空间，记作：Rn,几何空间：R3,平面：R2,直线：R1,例1：,判别V1， V2， V3是否为向量空间,1、,2、,3、,解：,1、V1是向量空间满足封闭性, V1是向量空间满足封闭性,2、,但,第一个分量为2，而V2的第一个分量为1,同样，,第一个分量为2,不满足封闭,V2不是向量空间,3、, V3是向量空间,定义：,生成的向量空间：有某几个向量的线性组合所有的向量的集合称为生成的向量空间。记作：,称V为由,生成的向量空间,上例1中 3,称V为由,生成的向量空间,定义3.12,

5、子空间,设向量空间V1，V2，若,则称V1是V2的子空间,例如：,在n维向量的全体组成向量空间Rn中。总有,则V是Rn的子空间。,定义3.13:,若,为向量空间V的r个向量,满足：,（1）,线性无关,（2）向量空间V中的任一向量都可由,线性表示,则向量组,称向量空间V的一个（组）基，r称向量空间V的维数，并称V为r维向量空间,记作: dimV=r,向量空间的维数等于r,注意：,1、零向量空间没有基，零向量空间维数为0，零向量空间只有一个向量。即零向量，也是唯一的单向量空间。,2、非零向量空间含无穷多个向量（空间必须满足加法与乘法（数乘）的封闭性，即线性组合性）,3、向量的维数与向量空间的维数有

6、区别：,由有限（向量组）与无限（空间）的关系知：,V的一组基=V的一个极大无关组（不唯一性）,V的维数=向量组的秩,=R(V),=极大无关组所含向量的个数,4、n维基本单位向量组e1, e2, ，en,是Rn的一组基，称标准基。故Rn的维数为n，通常称Rn为n维向量空间，任意n个线性无关向量都是Rn的一组基,5、若,是向量空间V的一个基，,则向量空间V可表示为,定义3.14,设,为Rn的一个基，,若,则称,为在基,下的坐标，记为,例2,求向量,在标准基 e1,e2,e3,e4 和,下的坐标,解：,根据题意,同样,同样,同样,设,同时,比较,，可得非齐次线性方程组,写出线性方程组的矩阵,方程式,

7、可发现就是原第二章讲过的列排,以上向量组列排,应施行行变换,其中：,即,在基,的坐标为,称,为基（标准基）,到,的过渡矩阵,例3,求由,生成的向量空间的维数及一组基,解：,dimV=3,为一组基,例4,求向量,在基,下的坐标,解：,二、向量的内积与正交,前面讨论的向量运算只有加法与数乘，而没有向量的度量性质，但在讨论矩阵的对角化和二次型化简时，向量的度量性质占有重要地位，下面讨论向量的内积与长度。,定义3.16,设有两个n维向量,则对应分量乘积之和称为,与,的内积,记作,内积是向量的一种运算。 当,都是行向量,当,都是列向量,例5,设,求（1）,（2）,解（1）,=-2+（-6）+2=-6,或

8、,（2）,=12+22+(-2)2=9,例6,计算下列内积,（1）,解：,=-3,（2）,=21+32+21+(-5)2,=0,解：,向量内积的性质,（）,（）,（）,（）,当且仅当,时,其中,为n维向量，为实数,定义3.17,设n维向量,称,为向量,的长度,记作:,，也称,为向量,的模,长度是1的向量为单位向量。零向量的长度为零,如果,则,表明：,为单位向量。,用非零向量,的长度的倒数去乘向量,，得到 个单位向量，称为把向量,单位化,例7,将下列向量单位化,（1）,（2）,解（1）,=3,单位化,解（2）,单位化,基本单位向量的长度为1,向量长度的性质,当,线性相关时，等号成号（柯西不等式）,三角不等式,内积和长度的几何意义：,在R2中左图,而,即内积等于两向量的长度与它们夹角的余弦的乘积,再看：,表明,线性相关。,（R2中共线）,而当,时，总有,此时称,与,正交,当=0或，,三、向量的正交,定义3.18,若向量,与,的内积为零，即,则称,与,正交,显然，零向量与任何向量正交,若一组非零向量中任意两个向量