2005-2017年第1-13届北方数学奥林匹克数学试题及解答

1、 中等数学第九届北方数学奥林匹克邀请赛 中圈分类号：c424。79文献标识码：A文章编号：l005一“16(2013)ll一003604 爹篙譬工韶直线凹与枷点第一天一、求最大的正整数n(n3)，使得存在凸n边形，其各内角的正切值均为整数 (命题组供题) 二二、设石I一2，2(J|=l，2，2 013)， 且菇l+戈2+菇2013 20试求 肘=zi+戈；+茗；013 的最大值 三、如图1，已知A、B是00 上的两个定点，C是优 ，、 弧A曰的中点，D是 ，、 劣弧AB上任意一点，过D作0 D的切线，与O D在点A、曰处的切线分别交于点E、F，CE、(刘康宁供题) 图2(命题组供题) 七、设数

2、列口。满足 口l=l， =(1+鲁)口。“(肛l，2，) 求所有的正整数J|，使得数列n。中的 每一项均为整数 (张雷供题)八、3，l(n2，nN)个人，其中任图l意两个相识的人恰有n个共同的熟人，任意两个不相识的人恰有2n个共同的熟人若三个人彼此相识，则称为一个“桃园组” (1)求所有桃园组的个数； (2)证明：可将这3，1个人分成三组，每 组几个人，且从每组任取一人得到的三个人构成一个桃园组 【注】相识是指两人相互认识，否则为不 相识相识的两人称为熟人 (张利民供题) 凹与弦A曰分别交于点G、凰证明：线段伽 的长为定值(杨运新供题) 四、对于正整数n、口、6，若n=2+62，且口、6互素，

3、则称数对(口，6)为n的一个“平方 拆分”(口、6不计顺序)证明：对任意的正整数I|，13的平方拆分有且只有一个 (雷勇供题) 第二天五、求方程13i茗 13参考答案 第一天 厂 、 2+两I茗l 的所有非整数解(茗表示不超过实数菇的 最大整数)(命题组供题) 一、一方面，由于正八边形的各内角均为 135。，其正切值均为一l，故n=8满座条件 另一方面，若n9，设n边形的各个外 六、如图2，已知肼为A曰C边曰C的中 点，OD过点A、C且与胧相切，鲋的延长 2013年第11期37故伽=涨+删 =扣K+扣K=扣B(定值) 四、首先证明：若口、6、|均为正整数，且满足13=口2+62，则 口兰56(

4、mod 13)或6兰5口(mod 13) 因为52三一1(mod 13)，所以， 口2兰一62三(56)2(mod 13)， 角为么A。，么A2，么A。(0么A。么A2 么A。)则 么Al+么A2+么A。=2兀 j o么A。等詈，l 斗 号otanA。1于是，么A，相应内角的正切值不为整数 故当凡9时，没有满足条件的多边形 综上，l的最大值是8 二、由戈i一2，2(江l，2，2 013)，知z；一3戈i=(戈。一2)(戈i+1)2+22 当且仅当戈。=2或一l时，上式等号成立 翘蛆 注意到，戈。=o 即(口+56)(口一56)兰0(mod 13) 若口+56兰0(mod 13)，贝 口三一56

5、(mod 13) 故5口三一256量6(mod 13) 否贝4，口一56兰0(mod 13) 接下来用数学归纳法证明原题结论 当盂=l时，13=22+32，此组分拆存在 故肘=z；=(戈；一3茗i) 2 013 2=4 026 当菇l，菇2，茗2 013中有671个取值为2， 有l 342个取值为一l时，上式等号成立 且唯一 假设对于任意的|=m(mN+)，结论 均成立 当后=m+l时，先说明13”1存在平方分拆设13“=M2+矿显然，(，13)=1 不妨设M兰5移(mod 13) 贝013m+1=13m13=(u2+tJ2)(22+32) =(2u一3t，)z+(3“+2 秽)2 设d=(2

6、u一3秽，3H+2移) 由2u一3t7兰7口(mod 13) 因此，M的最大值是4026三、如图3，联结CD，与A曰交于点K，过点E作A曰的平行线，分别与cA、CD的延长 线交于点P、Q联结BC j(2H一3秽，13)=l j(d，13)=1 又13“+1=(2u一3tJ)2+(3M+2t，)2，贝0 d113”+j d=1 从而，(1 2“一3口I，3n+2秽)=l，即(12u一3t7I，3u+2秒)为13”1的平方分拆 再说明13”1仅存在一组平方分拆 对于13”1的一组平方分拆(口，6)，不妨设口兰56(mod 13) 于是，警，产均为正整数 注意到，(口，6)=1，则 G网3 由么尉P

7、=么c8A=么cc4曰=么删，知 PE=AE 同理，叩=伽 又鲋=ED，则PE=QE，即E为PQ的 中点 因为AKPQ，所以，G为AK的中点 同理，日为麟的中点 38中等数学又(警)2+(警)2=警邓“，LPN鼬oA LPAoN故(警，紫)加“的平方黼， 由归纳假设，知13”的平方分拆是唯一的故设于是，尸、A、D四点共圆 又MNBD，醚AMN=PAD=ACD 从而，A、M、C、四点共圆 故么删C+么APD=么PA+么APD =么P伽+么APD=900 因此，PD j-BC “三堑音堑，秽：旦孚盟( 、移为定值) “三西一，秽21r一( 、移力矩但，解得(口，6)=(2u+3tJ，3“一2)或(

8、2一3口，3u+2们) 当秽毫5u(mod 13)时，只有第1组解满足(，6)=l；当u兰5t，(mod 13)时，只有第2组解满足(口，6)=1 从而，无论哪种情形均仅有唯一的一组(口，6)满足要求 由归纳原理，知命题对JjN+恒成立 七、当J|：1时，口：3，口，：婴，不满足 条件 当后=2时、由题设得 万面丽3丽+万面丽。l口n+I口 故南=南+砉志小南从而，口。=n2为正整数，满足条件 当五3时，由题设得 第二天 五、原方程可化为 M)(1一播)=0 因为崔仨z，所以，茹一髫o于是， 竺 ! (n+1)(n+2)(，l+I|) 1一昔=oj戈石=13戈I戈J!一L 设菇=菇+r(0r0

9、时，有 戈213菇(石+1)， 无解 当菇0时，有 戈(x+1)13编辑部主编、浙江大学出版发行的高中数学竞赛课程讲座已经面世。 分初等数论：组合数学初等代数几何问题数学奥林匹克原创题集共五个分册。 本精心挑选了中等数学近十年来刊登的“数学活动课程讲座”(高中)和“命题与解题”栏目的文章，目的是引导数学竞赛活动健康有序地发展。本针对性强选材涉及从国内到国际各层次数学竞赛 教学知识点，对参与各个层次数学竞赛的学生具有较高的参考价值；权威性高作者大多为全国著名高校 研究奥林匹克数学竞赛的专家、学者，以及中学一线资深教师，他们立足通性通法传授，不仅授人以鱼，而且力 求授之以渔；示范性强作者在茫茫题海

10、中精挑细选，性、指导性、示范性。 世界各地优秀的竞赛试题，力求使材料具有典型 书名定价邮购价书名定价邮购价初等数论 1924几何问题4136组合数学2227数学奥林匹克原创题集263l初等代数全套485315l15l发行部地址：(300074)天津市河西区吴家窑大街57号增l号 电话：02223542233开户行：中国建设银行天津河北支行 传真：02223542016户名：娄姗姗账号：4367 4200 617l Oll7 055，本刊编辑部 22中等数学第12届中国北方数学奥林匹克 中图分类号：G42479 文献标识码：A文章编号：10056416(2016)100

11、02206 4能否将1，2，12排列在一个圆周 上依次为o。，口：，口。：，并使得对任何iJ 基础班1设口。，口：，o。为正实数，且 (1i、歹12)，均有I口i一口，Il i一歹I?证明你的结论(张利民供题)口l+02+口n=n 明： 2如图1，在等 腰ABC中，么酗B =么C泓=a，点P、Q分别位于线段AB 的两侧，且么甜P= ABQ=岱，么CBP =么戤Q=y证明： P、C、Q三点共线 (骞sin佛)2+(骞cos仇)2(赵建刚供题)6如图2，直线AB 上依次有四点B、E、A、F，直线CD 上依次有四点C、 G、D、日，且满足 AQ图l(王超供题)iAE AF DG一=一=一3记戈表示不

12、超过实数菇的最大整数， (n，6)表示整数口、6的最大公约数证明： (1)有无穷多个正整数n，使得 EBFBGC图2DHADHCBC 证明：朋上EG 7已知数列a。： 口。=2“+3“+68+1(凡Z+) (n，2n)=1； (2)有无穷多个正整数n，使得 (孙公春供题)(n，拉n)1(张雷供题)对于集合C的不同选取，得到不同的奇圈 由于集合C有21一南种选法，由此证明图G 字典排列更小的染法(职)。c，则这些颜色类和原来的颜色类K(ic)一起构成一个按 字典排列比染法更小的适当的染法，矛盾 对于子图Gc和(K)。c，由引理知可得 一个恰过所有下标构成集合C的颜色类的奇圈 (熊斌提供李建泉翻译

13、) 设=yK，Gc是顶点集合为的图 cCL G的子图，且有用I C 1种颜色对于K所诱导的染法这种染法当然是适当的，而且这种诱导的染法是字典最小的：若存在Gc的一个按 (2【)设6。=轰蓦湍，求数列 2016年第10期 是否存在整数尼2，使得五与数列口。 中的所有数均互素?若存在，找出最小的整数后；若不存在，说明理由(张雷供题) 8集合A=1，2，n若存在非空集合B、C，使得Bnc=g，BuC=A，且B中元 素的平方和为M，C中元素的平方和为，满足M一=2 016，求凡的最小值 (李龙山供题) n(凡+l J(n一+l J口(郝红宾供题)6。的前n项和|s。 6. 同基础班第6题 7. 同基础

14、班第7题 8. 给定集合 ，=(菇。，石：，石3，石。)k1，2，11， A为，的子集且满足：对任意的 (戈l，戈2，戈3，菇4)、(y1，y2，y3，儿)A， 均存在i、歹(1i歹4)使得 提高班1. 同基础班第1题 2. 如图3，ABC 内接于O D，么ABC的平分线与O D交于点D分别过点B、C引OD 的两条切线胎、PC交 于点P联结PD，与AC 交于点E，与O D交于点F，设曰C的中点为 坛证明：M、F、C、E四点共圆(查晓东 (戈i一菇)(yi一乃)o 试确定IA I的最大值，其中，IA I表示集 合A的元素个数 (张利民供题)参考答案基础班 1对任意正整数m(2mn)，有 P：口。

15、 一21+口。一一1 一 (1+口。)(1+吼)(1+n。) 图3李伟供题)3设m为大于1的整数，数列口。定义如下： 口o=m，口1=9(m)， 口2=9帽(m)=9(9(m)， 设6。=(1+吼)，裂项求和得 口。=9“(m)=妒(9“-1(，孔)， 其中，9(m)为欧拉函数 若对于任意非负整数后，均有口Io。，求 竺竺2_“一1(1+口)不超过2016的最大正整数m的值 (翁世有供题)小丢+塞(去一亡)小麦 注意到， 4同基础班第4题 5已知口1=2， 6。=(1+口)2“口。(凡Z+) (坐半#旦)，I=2”， 当且仅当o；=1时，上式等号成立 (1)求数列o。的通项公式； 中等数学22

16、(尼+1)一(22七一1) j 221口k“一口k22(I|+m)一122蠡 =22m一1， 则2m22m一1，矛盾 故数列o。中有无穷多个偶数，即存在。无穷多个正整数n，使得(n，在n)1 4将7、1、8、2、9、3、10、4、11、5、12、6或 2、4、6、8、10、12、1、3、5、7、9、11依次排列在 圆周上均满足要求 5由柯西不等式知 图4注意到， CDPQ2s丛cDs啪Q：PCDQ2(骞tan玩)(耋cot或) (扣而知而)-n2， 、(骞i=l sin吼，)2+(、骞f=cl os以)2，nsin2以+ncos2佛=n2 S。yPcS脚DQ2 一一 堑里垡：堑里!垡星z) s

17、in卢sin 7 CDPQ L PCDQls幽cD。s酆PQ s郑pcs批DQ 一一 堑里垡：堑坠!堡旦z 2sin卢sin 7 。 =Il=I丰kJPQl 队PCDQlPQ2 DQ2cDPQ2 。 PQl PCDQ2。DQl故式得证 6如图5，联结凹，过点G作凹脚，与 CF交于点J过焦D怍DIFH，与cF交于点 J，联结町、址，过点A作AK上叫于点K 于是，点Q。与Q：重合 从而，P、C、Q三点共线 3(1)因为素数有无穷多个，所以，取任 j(p，在p)=1 p在p2p因而，命题成立 (2)令n=2忌 则只要证明2在后I七z+中有无穷多个偶数即可 C令o。=2在忌，假设数列口。中只有有限个偶

18、数，则对于充分大的南，o。均为奇数 又22(而+1)一(22五+1)ot+1一ot 图5由优朋，知上篇L =器上L=o 嚣 J 2016年第10期于是，AIBC 类似地，可Bc 从而，么A=么E，G当p=7时，p I(23+33+63+1)； 当p=13，17，19时，均有 p l(2彳+3彳+67+1)； 当p=23时，验证得 由由等丽：2面竺2：丽等，得得AA，2：ADA，D，训饼22：剐2烈 因为韶=器，所以，们DG=肋cG 又朋佃=(肋+DG)(CG+DG) =月DCG+(厶国+DG+CG)DG =2肋CG 231、(2+3。+6+1)(i=0，1，11) 从而，满足条件的最小正整数为

19、238n的最小值为19 注意到，i22时，9(m)为偶- 从而，数列o。的通项公式为，n+l 2磊(nz+)。n”垫业鬻蔫掣 (2)由(1)知nl n十l JZ=”+丢+嘉商】六 =+吾一南)击 2万+瓦一歹可i万。设s=多弓”+参+券 则争=多专+砉+骞 数 于是，只要求出满足口，l的整数m，就有nt+1 I nt n+111设m=2“p：t，其中，p。，p：，p，均为 七=l奇素数则咖，=m(，一号凰-一身 2016年第10期 一得1l，菇，=戈。=o1，2，11， 111忍+1 对其中每个向量(菇，名：，口，口)，定义向量组 1 。 2虿5 2尹+歹+尹“+尹一歹百=刍+伊专+专)-誊 如下： 若o=1，则向量组为 (zl，菇2，1，1)，(戈1，菇2，1，2)， 刍(一去)1一号 (戈1，菇2，1，11)，(菇l，菇2，2，11)， 1 2尹+n+1一n+2 (戈1，戈2，11，11)； 若口=11，则向量组为 =石一万一万=石一尹 j s=詈一署 设r=南一壶+赤一南+ (戈l，戈2，1，1)，(戈l，戈2，2，1)， (菇l，髫2，11，1)，(戈l，菇2，11，2)， (菇1，戈2，11，11)； 若。为奇数且大于1、小于11，则向量组为 (菇1，戈2，1，1)，(戈1，