如何让不等关系“显山露水”——圆锥曲线离心率范围的探求策略

1、维普资讯 26中学数学月刊2007年第 6期如何让不等关系“显山露水圆锥曲线离心率范围的探求策略陆 建 (江 苏省滨海中学 224500)离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的范围是常见的题型，这类问题往往小题精致，大题综合，数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求求解 的思路是设法建立关于 a，b，c的齐次不等式，然后转化为关于离心率 e的不等式，进而求出 e的范围而其中的关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的不等关系，实现等量关系向不等关系的转化本文结合具体问题，研究如何寻找不等关系，探求离心率的范围1 根据点的位置，结合曲

2、线的范围，构造不等关系1 2圆锥曲线都有各自的范围，如对椭圆2+卺一1(口0，b0)有 1zla，lYl即 (口+ ex0) 一一(口+ex0)(口一 ex0)，所、 a(1+ e)以zo一又点 P 在左支上，故 z。 一 a，即一n，解得 (1，1+2 利用曲线的定义，结合焦半径范围，明确不等关系曲线的定义反映了曲线的本质属性，是进行推理和判断的依据当问题中涉及焦半径时，可借助曲线的定义建立关于焦半径的等量关系，再利用焦半径满足的范围，构造出不等关系，从而使解题目标明确，思路清晰例 2 已知双曲线一一 1(口 0，b 0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P为左支，一226；对双曲线一一 1(

3、口 0，b 0)有 lz1“ a；对抛物线 Y 一 2px(p 0)有 z 0通过对范围的把握，根据点的坐标适合的不等式，可以构造关于口，b，c的齐次不等式一22例 1 已知双曲线一一 1(口 0，b 0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为 d，并且 1PF 1为 1PF 1与 d的等比中项，求双曲线离心率 的取值范围解如图 1所 示，设lJ，点 P(z。，Y。)，则 lPF l、=一(口+exo)，1PF21=azF。口 一8z 。，一 一z 。 一a一 一Xo一 ，田由越题意忌可uJ图 1得：1PF l一 1PF 1d，上一点，若 的最J、值为 8n

4、，求双曲线离心率 e的取值范围解根据双曲线 的定义，lPF l一l，于是一一IPF l+ 4n 8 当且仅当lPF l一 2a时，原式取得最小值又因为焦半径 PF 满足 1PF 1 fa，所以 2口 f a，即 1 0，b 0)的左、右焦点分别为 F ，F。，P为右支上一点，且 fP f一 4fPF。，求双 曲线离心率 e的取值范围解 由双曲线的定义得：lPF l lPF。l+ 2口，又 lPF l一 4lPF。l，所以fPFf一要 ，fPF。f一 因为 lPF l+ lPF。l lF F。l，所 以要口+ 口2c，即11，b 0)，直线 z过点(口，0)，(0，6)，且点 A(1，0)到直线

5、z的距离与点B(一1，0)到直线 z的距离之和s 善c，求双曲线离心率 e的取值范围解如图 2所 示，过JA，O，B分别作 z的垂线，垂足分别为 A ，O ，B ，则1夕。lOO l一 (1AA l+厶9IBB I) 詈c又 z的方图 2为6z+ay：ab所以詈c，所以口b 2cz即口z(cz一口z) 4c，所以4e一25e2+250，解得P。因为OP_上_OQ，所 以zlz2+yly20，代入化简得 2一又 t。 0，所 以口。c。一 b 0，即 口。c。(口。一 C2)。，即口c 口。一 C。，故 e。+ e一 1一l0，所以 Pb0)，过其左焦点 F作直线 z交椭圆于 P，Q两00点，当

6、 时，求图 4双曲线离心率 e的取值范围解 以AB的中点0为原点，AB所在的直线为 z轴，AB的中垂线为 Y轴 ，建立直角坐标系设双曲线的方程为 一l(a0，b 0)，则 A(一 c，O)，B(c，0)，c(，)因为 AE 一 2EC，所 以 E 点坐标为( ， )，将c，E的坐标分别代入维普资讯 28中学数学月刊2007年第 6期双曲 方程得：例 7若 圆+ yz一 1(口 6 o)上fIPh 一1a始 存在一点 M，使AMB一 120。( ，B 46 一 常卜 (南 )hz长轴的左、右端点)， 求离心率 e的取 范围消去 hz得 一 ，又2 ，所解

7、点 M(acos0，bsin )(O0 b O)上，可 zoacos0，yobsin0代入运算， 做既可减少 量的个数，又可以充分tan=一一所删一又 sin0，发挥三角知 在解题中的作用可利用三角1，所以 2abc ，即 4a (口 一 C2) 3c4，函数的 性、有界性等来构造不等关系，体现了以退 为进、灵活 通的思想 解得 P 1巧变数列前 项和公式解题 敬 先 (甘 省兰州市万里中学 730070)若 ， N ，等差、等比数列前 项和分 可写成：一+1zd；厶S1一 1+q +q +q(-1)1 1，其中 d与 q分别 等差、等比数列中的公差与公比又 S。一 S 前 项 和，将各式中的“1” 成 “ ”，就得到求前 项 和的一个变形公式：一+ d； (1)厶S 一 1+q +q + +q(n-1 (2) 明不 ，留 者，在此 用 两个公式重新解答一 高考 和 本(人教版高中数学(必修)第一册第三章)部分例、 例 1 (2006浙江)设 等差数列a )的前 项和，若 S 一 10，S。一一 5， 公差 d一(用数字作答)分析由公式 (1)，一 5一 S o S522 5+ 5zd一 20+ 25d，得 d一一 1例 2 (2O06全 国 )设 S 是等差数列)的前 项和，若妾=1贝JI受一()(A) (B1(c)吉(D)吉分 析 由公式 (1)，3S。一 S 一 2