高等数学复习资料第一章第一次

1、同学们好！,-高等数学课程介绍,高等数学,同济大学数学系 编,上、下册 第六版,主讲教师： 祁晓光 授课单位： 数学科学学院,高等教育出版社,一、为什么学数学,学习数学的目的： 1、训练思维、提高分析问题与解决问题的能力； 2、为后继基础课与专业课打基础； 3、为本科毕业后的继续深造打下基础。,一、二年级全校必修数学课： 高等数学线性代数与空间解析几何概率与数理统计 选修课： 数学建模 数学实验 ,二、大学数学学什么,连续基础,离散基础,随机基础,三、高等数学内容简介,微积分,级数,方程,各部分内容比例分布,83%,9%,8%,以极限为基础 函数为研究对象,Calculus,四、学习进度、参考

2、书,学习进度： 第一学期： 第二学期： 一元函数微积分17章; 线性代数 多元函数微积分,教材类 ： 同济大学数学系 高等数学第六版 高等教育出版社 2010 指导书类： 1、同济大学数学系 高等数学少学时 第三版 高等教育出版社 2006 2、同济大学数学系 学习辅导与习题选解第六版 高等教育出版社 2010,五、学习要求与辅导答疑,开课准备一：课代表一人/ 每班 有热心、在数学学习方面上通下达 每周按时收、发作业,开课准备二： 小作业本：2 大作业本：全校统一发放,五、学习要求与辅导答疑,学习要求与建议： 怎么学： 课前预习-课堂听讲、适当笔记-课后复习-浏览参考资料-完成作业 要求： 小

3、作业本每周交一次；大作业每章结束后交一次；(周二下午之前交上),五、学习要求与辅导答疑,辅导答疑方式： 地点：7JC段102 时间：上午：8：3011：00 下午：2：305：00,开课时间：第4-18周 考试方式：闭卷 成绩评定：卷面* 80% 平时成绩* 20%,考试与成绩评定,第一章 函数与极限,1映射与函数,2数列的极限,3函数的极限,4无穷小与无穷大,5极限运算法则,6极限存在准则 两个重要极限,7无穷小的比较,8函数的连续性与间断性,9连续函数的运算与初等函数的连续性, 10闭区间上连续函数的性质,一 基本概念,二映射,三 函数,四 小结 思考,第一节 映射与函数,一、基本概念,1

4、.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,有限个元素 无限个元素,集合的表示方法,不含任何元素的集合称为空集.,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,表示“对于任意给定的”,注,注,3.邻域:,1.【定义】,设X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从X

5、 到Y 的映射,记作,元素y 称为元素x 在映射f 下的像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合X 称为映射 f 的定义域 ;记作Df =X,Y 的子集,称为 f 的值域 .,二、 映射,1.构成一个映射必须具备下列三个基本要素： （1）集合 X，即定义域 Df = X； （2）集合 Y，即限制值域的变化范围; （3）对应规则f, 使每个x X，有惟一确定的y=f(x)与之时应,2映射要求元素的像必须是惟一的,映射并不要求原像也具有惟一性,注意:,1. 映射又称算子.根据X,Y 的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称：,泛函：从非空集合X 到数集Y

6、的映射；,变换：从非空集到它自身的映射；,函数：从实数集到实数集的映射.,说明：,如： 实变函数与泛函分析,如： 线性代数中的线性变换、矩阵变换、变换群等.,如： 高等数学中的函数,对映射的分类,若,则称 f 为满射;,若,有,则称f 为单射;,若f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,满射,单射,双射,2.【逆映射与复合映射】,【逆映射】,是单射,定义,称映射 为映射 的逆映射,【注】,满且单，故而是双射,只有 f 是单射才存在逆映射.,【复合映射】,定义,【注意】,三、函数,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域，记作,1、函数概念,自变量,因变量,对应法则f,【函数的两

7、要素】,定义域与对应法则.,【约定】定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）,【注意】,两要素是判断两函数是否相同的唯一标准.,与字母无关,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。,(1)绝对值函数,几个特殊的函数举例,(2) 符号函数,(3) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(4) 狄利克雷函数,(5) 取最值函数,例,解,(1)函数的有界性,上界,下界,定义,则称函数 f (x)在X上有界.否则称无界.,2、函数的特性,表示“存在”,注,

8、有界,无界,【结论】,（P22习题 第13 题）,f (x) 在X上无界,(2) 函数的单调性:,(3) 函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,(4) 函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,周期为 ,【注】 周期函数不一定存在最小正周期 .,【例如】 常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,3、反函数与复合函数,1.【反函数】,直接函数 与反函数 在同一坐标系下的图形关于直线 y = x 对称.,例,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,2.【复合函数】,(1)【定义】,复合映射的特例.,【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数,u 称为中间变量.,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,则定义,和(差),积,商,4、函数的运算,5、初等函数,幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,1.【幂函数】,2.【指数函数】,3.【对数函数】,4.【三角函数】,正弦函数,余弦函数,正切函数,