常用逻辑用语

1、常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件简单的逻辑连结词全称量词与存在量词1、命题1命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的叫做命题。其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做。2命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做，叫做。二四种命题及其相互关系3四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若则；逆命题： ；否命题： ；逆否命题： 。4否命题与命题的否定是不相同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。如果原命题是“若则”，否命题是“若，则”，而命题的否

2、定是“p则”，即只否定结论。5当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。 6反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。 7常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语等于（）大于（）小于（）有是都是全是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有个且 8进行充分条件与必要条件的推理判断中要注意以下几点：一是要弄清先后顺序，“A的充分

3、不必要条件是B”是指B能推出A且A推不出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B且B推不出A；二是要善于举出反例，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，则可以举出反例来说明一个命题是错误的；三是要注意转化，根据命题之间的关系我们可以知道：如果是的充分不必要条件，那么是的必要不充分条件；同理，如果是的必要不充分条件，那么是的充分不必要条件，如果是的充要条件，那么是的充要条件。 9对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中

4、的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在或中的“或”是指 “”与“”中至少有一个成立，可以是“且”，也可以是“且”，也可以是“且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在且的“且”是指“”、“”都要满足的意思，即既要属于集合A，又要属于集合B；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非”，当为真时，非为假，当为假时，非为真。若将

5、命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集U中的补集；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。 10由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。五、例题讲解例1判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：，方程无实根.（4）（5）人类在2020年登上火星.解：（1）是命题，且是真命题

6、。（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断。（3）不是命题，是祈使句。（4）是开语句，不是命题。（5）是命题。但目前无法判断真假。例2写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。解:逆命题：若，则或，是真命题；否命题：若且，则，是真命题；逆否命题：若，则且，是真命题。命题的否定：若或，则，是假命题。例3（06年上海卷）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解:（1）证法一:设过点T(3,0)的直线交抛物

7、线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得 又 ， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题。证法二:设直线：代入抛物线y2=2x消去，得.设，则，从而=，“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题。(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上.对于(2

8、)的证明如下：证明:设直线：代入抛物线y2=2x消去，得.，设，则，=，令得或.此时直线过点()或()，故原命题为假命题。例4已知，求证：，三式中至少有一个不大于.证明:（用反证法）若，三式中都大于.则有（）而，三式相加得，此与（）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立。例5求关于的方程 的两个实根都大于1的充要条件。解法一:设方程的两个根为，则解得，故所求的充要条件是.解法二:记，故所求的充要条件是：解得，故所求的充要条件是。例6已知数列 、，其中 、是等比数列.对于任意正整数，、都成等差数列，且.试证明：“数列成等比数列”的充要条件是“数列 与公比相等”.证明:充分性 设数列 与的公比都是，则

9、，而，又，故是公比为的等比数列.充分性得证. 必要性 若数列是等比数列，设数列 ,的公比分别为，则，由得： (4)将(2)的两边平方得 (5)比较(4)(5)两式得，故，即数列 与公比相等.必要性得证.例7. 设命题;命题,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.解:设，易知，.由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，故所求实数的取值范围是例8. 已知集合，.（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件.解:（1）由 ，得，因此的充要条件是；（2）求实数的一个值，使它成为的一个

10、充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如取，此时必有；反之，未必有，故是所求的一个充分而不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故是它的一个真子集。如果时，未必有，但是时，必有，故是所求的一个必要而不充分条件.例9在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题：“第一次射击中靶”，命题：“第二次射击中靶”，试用，及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击均中靶；（2）两次射击均未中靶；（3）两次射击恰好有一次中靶；（4）两次射击至少有一次中靶.解:（1）因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需

11、用逻辑联结词“且”，应为：“且”；（2）“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是发生了，并且是与同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“且”；（3）“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“且”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“且”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“且，或且”；（4）“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“或”。例10（05年西安市模拟）指出下列命题的真假（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合，也属

12、于集合”；（4）命题“”解: （1）此命题为“非”的形式，其中：“不等式有实数解”，因为是该不等式的一个解，所以是真命题，即非是假命题，所以原命题是真命题。（2）此命题是“或”的形式，其中：“1是偶数”，：“1是奇数”，因为为假命题，为真命题，所以或是真命题，故原命题是真命题。（3）此命题是“且”的形式，其中：“属于集合”，：“属于集合”，因为为假命题，为真命题，所以且是假命题，故原命题是假命题。（4）此命题是“非” 的形式，其中：“”，因为为真命题，所以“非”为假命题，故原命题是假命题。例11（2007年华师附中）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范

13、围.解:由，得，显然，或，故或，又“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或，命题“或”为真命题时，或命题“或”是假命题，的取值范围为或. 例12写出下列命题的否定，并判断真假（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）有些实数的绝对值是正数；（4）某此平行四边形是菱形。解:（1）存在一个矩形不是平行四边形；假命题；（2）存在一个素数不是奇数；真命题；（3）所有的实数的绝对值都不是正数；假命题；（4）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。例13判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除

14、；（3）是无理数, x2是无理数；(4).解:（1）本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；（2）命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；（3）命题中含有全称量词“”，是全称命题，假命题，例如：但是有理数；（4）命题中含有特称量词“”，是特称命题，真命题。例14若：，如果对于，为假命题且为真命题，求实数的取值范围。解:由于，所以如果对于，为假命题，即对，不等式恒不成立，则；又对于，为真命题，即对于，不等式恒成立，所以，即；故对于，为假命题且为真命题，应有.六、课堂练习1、设命题p：x2是x24的充要条件，命题q：若

15、ab，则ac2bc2，则（）A、pq为真B、pq为真C、pq为假D、pq为真2、当a0时，设命题P：函数在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x2+ax+10对任意xR都成立若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A、0a1B、1a2C、0a2D、0a1或a23、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A、命题p一定是真命题B、命题q一定是真命题C、命题q可以是真命题也可以是假命题D、命题q一定是假命题4、已知命题p：xAB，则非p是（）A、x不属于ABB、x不属于A或x不属于BC、x不属于A且x不属于BD、xAB5、已知命题p、q，“非p为真命题”是“p或q是假命题”

16、的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件6、命题“若a，b都是奇数，则ab是偶数”的逆否命是（）A、若ab不是偶数，则a，b不都是奇数B、ab不是偶数，则a，b都不是奇数C、若ab不是偶数，则a，b都不是偶数D、若ab是奇数，则a，b都是偶数7、有下列命题：2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形；方程x2=1的解x=1其中使用逻辑连接词的命题有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、若p是真命题，q是假命题，则（）A、pq是真命题B、pq是假命题C、p是真命题D、q是真命题9、已知命题p1：函数y=2x2x在R

17、为增函数，p2：函数y=2x+2x在R为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）和q4：p1（p2）中，真命题是（）A、q1，q3B、q2，q3C、q1，q4D、q2，q410、已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A、（p）qB、pqC、（p）（q）D、（p）（q）11、命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（，13，+），则（）A、“p或q”为假B、“p且q”为真C、p真q假 D、p假q真12、别用“p或q”“p且q”“非p”填空（1）命题“的值不超过2”是_

18、形式；（2）命题“方程（x2）（x3）=0的解是x=2或x=3”是_形式；（3）命题“方程（x2）2+（y3）2=0的解是”是_形式13、在一次射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，用p，q及逻辑连接词“或”“且”“非”（或，）表示下列命题：两次都击中目标可表示为：_；恰好一次击中目标可表示为：_14、若命题p：不等式ax+b0的解集为x|x，命题q：关于x的不等式（xa）（xb）0的解集为x|axb，则“p且q”“p或q”及“非p”形式的复合命题中的真命题是_15、在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射

19、击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及连接词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；（2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机；（4）至少有一次击中飞机16、写出下列命题非的形式：（1）p：函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；（2）q：若x=3或x=4，则方程x27x+12=017、已知，q：1mx1+m，若非P是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围七、课后作业1、已知全集U=R，M=x|x2或x0，N=，（CUM）N=（）A、（1，0）B、x|2x0C、1，0 D、x|2x22、设集合A=a，b，集合B=a+1，5，若AB=2，

20、则AB等于（）A、1，2B、1，5C、2，5D、1，2，53、设全集U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，则N=（）A、1，2，3B、1，3，5C、1，4，5D、2，3，44、集合A=x|1x2，B=x|x1，则A（CRB）=（）A、x|x1B、x|x1C、x|1x2D、x|1x25、设I=1，2，3，4，A与B是I的子集，若AB=2，3，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是_（规定（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）6、设U=R，A=x|x0，B=x|x1，则ACUB=（）A、x|0x1B、x|0x1C、x|x0D、x|x17、已知集合

21、A=1，3，5，7，9，B=0，3，6，9，12，则ACNB=（）A、1，5，7B、3，5，7C、1，3，9D、1，2，38、已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，B=3，4，5，则集合CU（AB）=（）A、3B、4，5C、3，4，5D、1，2，4，59、已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=x|x23x+2=0，B=x|x=2a，aA，则集合CU（AB）中元素的个数为（）A、1B、2C、3D、410、设集合U=xN|0x8，S=1，2，4，5，T=3，5，7，则S（CUT）=（）A、1，2，4B、1，2，3，4，5，7C、1，2D、1，2，4，5，6，811、设全集为R，f（x）

22、=sinx，g（x）=cosx，M=x|f（x）0，N=x|g（x）0，那么集合x|f（x）g（x）=0等于（）A、B、C、D、12、已知A=x|x22x3=0，B=x|ax1=0，若BA=A，则a的值_13、如果U=x|x是小于9的正整数，A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，那么（CUA）（CUB）=_14、如果U=xN|x6，A=1，2，3，B=4，5，6，那么（CUA）（CUB）=_15、设U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，4，则A（CnB）=_16、若全集U=1，2，3，4，5，CUA=1，3，则A=_17、设全集U=R，M=m|方程mx2x1=0有实数根，N=n|方

23、程x2x+n=0有实数根，则（CUM）N=_18、设集合A=x|5x3，B=x|x2或x4，则A（CNB）=_19、已知全集U=R，集合A=x|1x3，集合B=x|log2（x2）1，则ACUB=_20、已知A=x|x2+（P+2）x+4=0，M=x|x0，若AM=，则实数P的取值范围_21、（2011陕西）设，是向量，命题“若，则|=|”的逆命题是（）A、若，则|=|”B、若=，则|C、若，则|D、|=|，则22、已知a，b，cR，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c23”的否命题是（）A、若a+b+c3，则a2+b2+c23B、若a+b+c=3，则a2+b2+c23C、若a+b+c3，则a2+b2+c23D、若a2+b2+c23，则a+b+c=323、命题“若f（x）是奇函数，则f（x）是奇函数”的否命题是（）A、若f（x）是偶函数，则f（x）是偶函数B、若f（x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数C、若f（x）是奇函数，则f（x）是奇函数D、若f（x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数24、命题“若函数f（x）=logax（a0，a1）在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是（）A、若loga20，则函数f（x